Probl`emes d’ordonnancement avec coˆuts d’avance et de retard
Safia Kedad-Sidhoum
CEDRIC- CNAM safia.kedad sidhoum@cnam.fr
Master MPRO, BOR, 2022-2023
Safia Kedad-Sidhoum (CNAM) Ordonnancement avec avance/retard 2022-2023 1 / 33
Contexte Juste `a Temps
Juste-`a-temps
Politique de production qui permet de limiter les stocks et de fabriquer des produits qui correspondent exactement `a la demande.
Dates de toutes les op´erations sont fix´ees de mani`ere `a ´eviter les temps morts dans la chaˆıne de fabrication.
Ordonnancer en JAT
Eviter les retards et le stockage important
Introduction du crit`ere d’avance p´enalisation d’une tˆache ex´ecut´ee trop tˆot
Crit`eres irr´eguliers.
Safia Kedad-Sidhoum (CNAM) Ordonnancement avec avance/retard 2022-2023 2 / 33 Contexte Juste `a Temps Notations
Probl`eme et Notations
Un ensemble de n tˆaches doivent ˆetre ex´ecut´ees.
Notations
date de fin souhait´eedi
date de fin r´eelle Ci
dur´ees op´eratoirespi
retard de la tˆache Ti = max(0,Ci −di) avance de la tˆache Ei = max(0,di −Ci)
Contexte Juste `a Temps Notations
Tˆache
Definition
Early
di Ei
i pi
fi(Ci) =αiEi+βiTi
Contexte Juste `a Temps Notations
Approches de r´esolution
Premi`ere approche: Contraindre chaque variable Ei `a ne pas ˆetre trop grande : imposer une date de disponibilite ri pour chaque tˆache (probl`eme d’ordonnancement classique).
Deuxi`eme approche: Combinaison lin´eaire des coˆuts d’avance et de retard �
iαiEi+βiTi.
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Contexte Juste `a Temps P´enalit´es d’avance
P´enalit´es d’avance
La prise en compte des coˆuts d’avance implique l’obligation d’ins´erer des p´eriodes d’inactivit´e volotairespour les machines.
Safia Kedad-Sidhoum (CNAM) Ordonnancement avec avance/retard 2022-2023 6 / 33 Contexte Juste `a Temps Classification de l’Ordonnancement en JaT
Typologie
Crit`eres :
D´efinition desdates defin souhait´ees (dates dues) D´efinition ducrit`ere `a optimiser
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Contexte Juste `a Temps Classification de l’Ordonnancement en JaT
Dates defin souhait´ees : Fix´ees
Inconnues (mod`eles CON, SLK, TWK, NOP...)
Dates defin souhait´ees :
Communes (restrictive ou non restrictive) Quelconques
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Contexte Juste `a Temps Classification de l’Ordonnancement en JaT
Fonctions `a optimiser :
Avance est d´efinie par rapport aux dates definau plus tard Ei = max(0,di −Ci).
Avance est d´efinie par rapport aux dates de d´ebutsouhait´ees Pi = max(0,si −ti)(promptitude).
Si Ci =si +pi alors Ei =Pi. Fonctions usuelles:
|Ci −di| E +T αE +βT
�
iαiEi+βiTi
C Prise en compte la minimisation des en-cours
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Contexte Juste `a Temps Classification de l’Ordonnancement en JaT
P´enalit´es :
Sym´etriques αi =βi
Asym´etriques
P´enalit´es :
Ind´ependantes αi =α, βi =β Quelconques
Safia Kedad-Sidhoum (CNAM) Ordonnancement avec avance/retard 2022-2023 10 / 33 Probl`emes `a une machine - due date commune
Minimisation de la d´eviation totale
Pour toutes les tˆaches Ji, on a di =d On s’int´eresse `a 1||�n
i=1|Ci−d|
Version restrictiveou non restrictive Version non restrictive
La s´equence optimale ne contient aucun temps mort(preuve par contradiction).
Ordonnancement en Voptimal (Ji avecCi ≤d class´es selon la r`egle LPT, J avec C >d class´es selon la r`egle SPT).
Probl`emes `a une machine - due date commune Version non restrictive
Analyse
B ensemble des tˆaches se terminantavant ou `a d avecb=|B|. A ensemble des tˆaches se terminant apr`esd avec a=|A|. Bi index de la ie tˆache deB, Ai index de laie tˆache deA.
Principe
P´enalit´e totale pour B:
f(SB) = 0pB1+ 1pB2+· · ·+ (b−2)pBb−1+ (b−1)pBb. P´enalit´e totale pour A:
Probl`emes `a une machine - due date commune Version non restrictive
Analyse-Suite
Pour minimiser cette somme il faut affecter it´erativement le plus petit coefficient `a la plus grande dur´ee op´eratoire.
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Probl`emes `a une machine - due date commune Version non restrictive
Analyse-Suite
Si n est pair alors a=b, sinon b=a+ 1.
Dans un ordonnancement optimal, la be tˆache se termine `a la date d avec b est le plus petit entier sup´erieur ou ´egal `an/2.
Si n est pair alors b=n/2, sinon b=n+ 1/2.
Ordonnancement optimal
Si l’on opte pour la minimisation de la longueur de B (crit`ere secondaire), on affecte la tˆache la plus courte `a l’ensemble B pour toute paire de tˆaches candidates.
La longueur de B est alors Δ=pn+pn−2+pn−4+· · ·. (pn est la plus longue tˆache, indexation selon les dur´ees croissantes)
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Analyse-Suite
Complexit´e
La date dued est non restrictivepour toutd ≥Δ.
Calcul enO(nlogn).
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Probl`emes `a une machine - due date commune Version non restrictive
Application
On consid`ere le probl`eme suivant avecn= 5 et d = 18 i 1 2 3 4 5
pi 2 4 3 5 2
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Probl`emes `a une machine - due date commune Version restrictive
Version restrictive
Cas o`u d <Δ.
La s´equence optimale ne contient aucun temps mort(preuve par contradiction).
Ordonnancement optimal en V.
Propri´et´e ”Une tˆache se termine exactement `a la dated” n’est plus vraie (Tˆache ”`a cheval” sur d).
Probl`eme est np-complet.
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Probl`emes `a une machine - due date commune Version restrictive
Propri´et´es - version pond´er´ee
Probl`eme ´etudi´e : 1||�
iwi|Ci −d|Hoogeveen, Van de Velde (1991) Cas o`ud <Δ.
La s´equence optimale ne contient aucun temps mort.
Ordonnancement optimal : tˆaches qui se terminent avant ou `a la date d ordrewi/pi croissant au sens large et les tˆachesqui commencent `a ou apr`es d ordre wi/pi d´ecroissant au sens large . Dans tout ordonnancement optimal, la premi`ere tˆache commence `a 0 ou d coincide avec la date de d´ebut ou la date de fin de la tˆache poss´edant le plus grand ratio wi/pi. (PREUVE)
Probl`eme est np-complet.
Algorithme pseudo-polynomial O(n2d).
Il est `a noter que le probl`eme est ´egalement np-complet dans le cas o`ud est non restrictive.
Safia Kedad-Sidhoum (CNAM) Ordonnancement avec avance/retard 2022-2023 18 / 33 Probl`emes `a une machine - due dates quelconques Complexit´e
R´esultats de complexit´e
Minimiser des coˆuts d’avance et de retard sous la contrainte que 2 tˆaches ne doivent pas ˆetre ex´ecut´ees simultan´ement est un probl`eme np-complet.
Minimiser la somme des retards pour un ensemble de tˆaches sur une machine est un probl`eme np-difficileau sens faible.
Minimiser la somme pond´er´ee des retards pour un ensemble de tˆaches sur une machine est un probl`eme np-difficileau sens fort.
