1.7 Mesure de force par mouvement brownien
1.7.2 Analyse fréquentielle
Bien que l’analyse des enregistrements dans l’espace réel permette de calculer la force, l’analyse par transformée de Fourier permet une étude plus complète et plus rigoureuse du mouvement de la bille.
Le spectre de puissance des fluctuations de la bille¬
¬δx2(f)¬
¬, lorentzien, est identique à celui d’un oscillateur amorti (pour lequel on néglige le terme inertiel):
¬
¬δx2(f)¬
¬= 12πkBT ηd kx2
1
1 + (f /f0)2 (1.4)
oùf0 = kx/(6π2ηd) est la fréquence de coupure (exprimée en Hertz). La mesure de f0 permet d’effectuer deux tests cruciaux :
– le signal n’est pas sous-échantillonné, c’est-à-dire que la fréquence de Nyquist est bien supé- rieure à la fréquence de coupurefN yquist = 25/2Hz½f0)
– la durée d’enregistrementT est suffisamment longue pour obtenir une estimation statistique- ment robuste dehzimais surtout deª
δx2«
. Ceci est vérifié sif0Tr½1
f0 dépend de la taille de la billed, de la viscositéηet est proportionnelle à la raideur du système (donc à la force appliquée). En conséquence, les mesures à basse force (typiquement en dessous de 1
FIG. 1.6 – Principe de la mesure de force. a) Les fluctuations thermiques déplacent la bille hors de sa position d’équilibre, de telle sorte qu’une force de rappel δF ≈ F δx/z due à la force magnétique tend à la replacer à sa position initiale. b) et c) Enregistrements typiques des positionsx etzde la bille en fonction du temps. Ici,hzi= 2.75µm etª
δx2«
= 170nmdonc F=0.38 pN. d) Spectre de puissance du déplacement suivant xet ajustement par une lorentzienne¬
¬δx2¬
¬(f) =A/(f02+f2). La coupure du spectre est liée à la friction de la bille dans la solution, de viscositéη. Dans le cas présent,f0 = 1.8Hz. Cette mesure permet de vérifier que le signal n’est pas sous-échantillonné (c’est à dire de vérifier que la fréquence de NyquistfN yquist= 25/2Hz½ f0), et que le temps d’enregistrement T est suffisamment long pour donner une moyenne statistiquement pertinente (f0T ½1). En intégrant le spectre des fluctuations, on obtient les fluctuations moyennes totales ªδx2«
, dont on dérive la raideur puis la force appliquée à la molécule.
pN) nécessite une acquisition relativement longue (jusqu’à quelques dizaines de minutes).A contra- rio, les mesures à hautes forces (au dessus de 1 pN) sont courtes mais sont d’autant plus altérés que f0 est proche de la fréquence de Nyquist. Dans ce cas, en effet, les fluctuations de hautes fréquences sont sous-estimées par rapport à la réalité et le spectre des fluctuations est affecté par le spectre de réponse de la caméra. Connaissant celui-ci, on peut corriger celui-là et ainsi obtenir une mesure fiable de la force.
Le calcul dekxse déduit de l’intégrale du spectre de puissance corrigé : ªδx2«
= 2 Z ∞
0
¬
¬δx2(f)¬
¬df = 2kBT /kx (1.5)
Le calcul def0se déduit de l’ajustement d’une lorentzienne sur le spectre de puissance. Connais- sant la viscositéηetkx, ce calcul, outre la possibilité de vérifier les conditions précédemment expo- sées, permet de mesurer la taille de la bille.
Chapitre 2
Propriétés mécaniques d’une molécule unique d’ADN
Les expériences de micromanipulation de molécules uniques d’ADN (ou de protéines) ont sus- cité un vif intérêt ces dix dernières années parce qu’elles ont permis une validation directe et un développement considérable des modèles de polymères. Dans ce chapitre nous exposons la réponse mécanique d’une molécule unique d’ADN plus ou moins super-enroulée soumis à une force. Ceci a fait l’objet de plusieurs thèses dans le laboratoire (Térence Strick et Jean-François Allemand) et de nombreux articles depuis une dizaine d’année. Nous passerons donc brièvement en revue les résul- tats indispensables à la compréhension des expériences qui seront présentées plus loin.
2.1 Courbe force-extension de l’ADN
L’échelle de force pertinente pour étirer une molécule d’ADN, comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, se situe entre quelques dizaines de fN et quelques centaines de pN. La combinai- son des différents dispositifs décrits plus haut permet de couvrir cette large gamme de force. Cepen- dant, il s’est avéré suffisant pour l’étude des topoisomérases de travailler entre'0.1pN et'5pN.
La borne inférieure définit la limite acceptable de qualité du signal (rapport signal sur bruit). La li- mite supérieure est imposée par l’enzyme elle-même (dont l’activité cesse rapidement vers quelques pN). Nous nous contenterons de décrire le comportement de l’ADN dans ce régime limité de force.
L’étirement d’une molécule unique soumise à une force a été pour la première fois observé en 1992[110], en accrochant une molécule sur une surface de verre par une extrémité et par l’autre extré- mité à une bille magnétique micrométrique. Ces expériences permettent de tracer la réponse force- extension dans le domaine entropique de l’ADN et furent étendues à des forces plus élevées quelques années après[22, 109, 65].
La figure 2.1 montre une courbe force-extension typique obtenu à l’aide des pinces magnétiques entre 50 fN et 10 pN[116].
FIG. 2.1 –Réponse force extension d’une molécule d’ADN dans son régime entropique.Les points expérimentaux sont en vert. Les barres d’erreur représentent les erreurs statistiques. L’ajustement du modèle du ver permet d’extraireξ= 51.6±2nm (courbe en noir). La courbe bleue est le modèle de la chaîne librement jointe en prenant comme taille de segmenta= 2ξ. Les points rouges sont le résultat d’une simulation Monte- Carlo de chaîne semi-flexible, dont les paramètres sont expliqués dans le texte. L’écart maximal à la courbe théorique est de l’ordre de2%.