Approche de la solution au seuil d’oscillation

La m´ethode des ´echelles multiples peut ˆetre utilis´ee pour approcher la solution suite `a la bifurcation du point fixe [63]. L’id´ee de la m´ethode est de rectifier les d´efauts de synchro- nisation entre l’oscillateur lin´eaire et l’oscillateur non-lin´eaire en supposant les param`etres de la solution lin´eaire comme fonctions de plusieurs variables (ou ´echelles) ; la subtilit´e consiste `a ´eliminer les termes s´eculaires, termes for¸cants `a la pulsation ω de l’oscillateur qui engendreraient des solutions non-p´eriodiques et non-born´ees [57,78].

D´efinissant plusieurs ´echelles de temps `a l’aide d’un petit param`etre ² introduit artifi- ciellement⁴

T_i=²ⁱt ;i≥0,

on cherche une ´ecriture de la solution sous la forme d’un d´eveloppement

p(t) =p_eq+² p₁(T₀,T₁,T₂) +²²p₂(T₀,T₁,T₂). . . (3.20) o`u p_eq = 0 est le point d’´equilibre. Nous nous limitons ici au premier ordre en². On note que pour une description pr´ecise de la solution, il conviendrait de prendre en compte aussi l’´evolution de la pulsation au cours du temps : on ´ecrirait alorsω=ω₁+² ω₂(T₀,T₁,T₂)+. . .).

Nous nous contentons de l’approche pour laquelle ω est suppos´ee constante (ω =ω₁).

Suite au changement d’´echelles, les d´eriv´ees temporelles deviennent

∂_t=D₀+²D₁+²²D₂+· · · ,

∂_tt² =D²₀+ 2²D₀D₁+²²(D²₁+ 2D₀D₂) +· · · (3.21) o`u les op´erateurs D<sub>i</sub> correspondent `a D_i = ∂/∂T_i. Au regard de (3.14), il apparaˆıt que ce sont les termes cubiques p²p˙ qui vont modifier la dynamique du syst`eme puisque des termes de fr´equenceω<sub>1</sub> et 3ω<sub>1</sub>leur sont associ´es. En cons´equence, l’influence du param`etre de contrˆole µ = Y −A et du terme non-lin´eaire C n’apparaˆıt qu’`a l’ordre O(²<sup>3</sup>) ce qui conduit `a poser en utilisant le param`etre ²

µ=²²µ₂, (3.22)

Effectuant les changements de variables et injectant la solution d´evelopp´ee dans l’´equation (3.14) puis identifiant les puissances en², il vient:

ordre O(²)

D₀²p₁+ ω²₁p₁ = 0, (3.23)

4. On verra que le param`etre²permet de commander l’arriv´ee des termes non-lin´eaires dans les calculs.

A la fin des calculs, on pose²= 1 [64].

ordre O(²²)

D²₀p₂+ ω₁²p₂ =−2D₀D₁p₁+4c

` B p₁D₀p₁, (3.24) ordre O(²³)

D₀²p₃+ ω²₁p₃ =−2D₀D₁p₂−2c

` µ₂D₀p₁−2D₂D₀p₁−D²₁p₁+ 4c

` B[p₁(D₀p₂+D₁p₁) +p₂D₀p₁] +6c

` C p²₁D₀p₁. (3.25) La solution de (3.23) s’´ecrit simplement

p₁=a₁(T₁,T₂)e^{j ω1t}+c.c, (3.26) o`u c.c d´esigne le complexe conjugu´e du terme pr´ec´edent et o`u le terme d’amplitude a₁(T₁,T₂) sera d´etermin´e ult´erieurement. Introduisant cette solution dans (3.24), des termes de pulsationω₁apparaissent dans le terme de droite. Lacondition de solvabilit´equi consiste

`a annuler les termes for¸cants r´esonnants [57], s’´ecrit:

D₁a₁(T₁,T₂) = 0, (3.27)

ou encore

a₁ =a₁(T₂). (3.28)

Compte tenu de (3.28), la solution de (3.24) s’´ecrit p₂ =

·

a₂(T₁,T₂)e^{j ω1t}−j 4c

3ω₁`B a²₁(T₂)e^j2ω1t

¸

+c.c, (3.29)

qui fait appraˆıtre le lien d´ej`a ´evoqu´e, entre le termeBet la g´en´eration d’harmoniques pairs.

Le report des solutions (3.26) et (3.29) dans (3.25) conduit `a la condition de solvabilit´e suivante pour l’ordreO(²³)

−j

·2c

` µ₂a₁− 6c

` C a²₁a₁+ 2a⁰₁

¸ + 8c

3ω₁`B<sup>2</sup>a<sup>2</sup><sub>1</sub>a<sub>1</sub> = 0, (3.30) o`ua₁ d´esigne le complexe conjugu´e dea₁ et⁰ d´esigne maintenant la d´erivation par rapport

`a T<sub>2</sub>. Notant a<sub>1</sub>(T<sub>2</sub>) = <sup>1</sup><sub>2</sub>ρ(T<sub>2</sub>)e<sup>jθ(T2)</sup> o`u ρ et θ sont r´eels (a₁ est suppos´e sinuso¨ıdal) et imposant²= 1 (µ₂ devientµ), l’identification des parties r´eelles et imaginaires de (3.30) donne un syst`eme dynamique gouvernant l’amplitude complexe de la solution `a l’ordre O(²)apr`es la bifurcation. Il vient :

˙ ρ=−c

`ρ(µ−3

4Cρ²), (3.31)

θ˙=− c

3ω₁`B²ρ². (3.32)

Solution en r´egime permanent

Pour C6= 0, l’´equation (3.31) poss`ede 3 points fixes : ρ^{P F} = 0, ρ^{P F} =−2

r µ

3C, et, ρ^{P F} = +2 r µ

3C . (3.33)

Pour µ < 0, le point fixe ρ^{P F} = 0 est instable tandis que les deux autres points fixes sont respectivement stables sous la condition C < 0 et instables sinon, les bifurcations correspondantes ´etant qualif´ees de directe et inverse. Pour qu’un r´egime permanent stable soit ´etabli, le mod`ele `a un mode confirme deux r´esultats publi´es dans [39] : la n´ecessit´e du terme C dans le d´eveloppement de la fonction non-lin´eaire et C <0. Pour les solutions non triviales, ρ^{P F} 6= 0, la correction pour la fr´equence de l’oscillation est donn´ee par

θ=− c

3ω₁`B<sup>2</sup>(ρ<sup>P F</sup>)<sup>2</sup>t +θ<sub>0</sub>. (3.34) o`u θ₀ est une constante. En d´efinitive, une approximation du signal de pression en r´egime permanent est

p(t) =A cos(ω_mt+θ₀), (3.35) avec

A= 2

rY −A

3C , (3.36)

ω_m=ω₁

·

1− 4c

9`ω₁²B²Y −A C

¸

. (3.37)

A l’ordre O(²) c’est-`a-dire pour des valeurs du param`etre de contrˆole proche de z´ero, les oscillations sont sinuso¨ıdales, la fr´equence d’oscillations ´etant tr`es l´eg`erement inf´erieure

`a la fr´equence c/4`. L’amplitude de l’harmonique P₁ en r´egime permanent est identique

`a celle donn´ee dans [39, 53], le facteur deux venant du fait que l’on donne ici l’ampli- tude r´eelle. Le r´esultat (3.36) fait apparaˆıtre un ph´enom`ene typiquement non-lin´eaire : la d´ependance en amplitude de la solution. Revenant sur le d´eveloppement (3.20), la solution

`a l’ordre O(²<sup>2</sup>) illustre l’autre caract´eristique des ph´enom`enes non-lin´eaires : la distortion non-lin´eaire. Des termes de pulsation 2ω₁ apparaissent dans la solution et la forme des oscillations pourra fortement s’´eloigner de celle d’une sinuso¨ıde.

Solution en r´egime transitoire

Une fois connu le comportement du syst`eme en r´egime permanent, on s’int´eresse `a l’´evolution du syst`eme depuis le point de bifurcation jusqu’au r´egime permanent en int´egrant les

´equations (3.31) et (3.32).

La r´esolution de (3.31) se fait par la m´ethode des variables s´epar´ees. On a µ < 0 et

|ρ| < 2p

(Y −A)/3C. La s´eparation des variables ρ et t dans (3.31) puis le calcul de la primitive de chaque membre de l’´equation conduit `a l’expression de ρ(t) pendant le transitoire d’attaque donn´ee par

ρ²(t) = 4(Y −A) 3C

e^{−2c`(Y−A)t+2K1}

1 +e<sup>−2c`(Y−A)t+2K1</sup> , (3.38) o`u K₁ est une constante donn´ee par les conditions initiales et C 6= 0. Supposant qu’`a l’instant initial ρ(t₀ = 0) =ρ₀ 6= 0, l’amplitude de p(t) est finalement donn´ee par

A(t) = 2

rY −A 3C

r 1 1 +

³4(Y−A) 3Cρ²₀ −1

´

e^2c`(Y−A)t

, (3.39)

qui, pourt→ ∞, est identique `a (3.36).

La correction `a la fr´equence d’oscillation pendant le r´egime transitoire est obtenue par int´egration par rapport au temps de (3.32) ce qui m`ene `a

θ(t) =−2 9

B² ω₁C

½2c

` (Y −A)t−ln

· 1 +

µ4(Y −A) 3Cρ²₀ −1

¶

e^2c(Y−A)t/`

¸¾

+K₂, (3.40) o`uK<sub>2</sub> est une constante d´etermin´ee avec les conditions initiales. Supposant qu’`a l’instant initialθ(t₀ = 0) =θ₀, il vient pour la correction de la fr´equence en r´egime transitoire

θ(t) =−2 9

B² ω₁C

½2c

` (Y −A)t−ln

· 3Cρ²₀ 4(Y −A) +

µ

1− 3Cρ²₀ 4(Y −A)

¶

e^2c`(Y−A)t

¸¾ +θ₀.

(3.41) La pr´esence de la non-lin´earit´e entraˆıne avec l’accroissement de l’amplitude de l’oscillation, une variation de la fr´equence d’oscillations du syst`eme. La modification de la fr´equence est ici tr`es faible (inf´erieur au dixi`eme de cent pour (ζ = 0,35,γ = 0,42,η = 0,0228) et la validit´e de (3.41) est limit´ee puisque l’effet des termes non-lin´eaires sur la p´eriode n’a pas ´et´e correctement pris en compte dans les d´eveloppements pr´ec´edents (il aurait fallu

´ecrireω =ω₁+² ω₂(T₀,T₁,T₂) +. . .). Enfin, on note que le fait d’imposer pour conditions initialesρ₀ =ρ^{P F} redonnent (3.36) et (3.37).

No documento et calcul des auto-oscillations par décomposition modale (páginas 89-92)