Simulations num´eriques

La correction `a la fr´equence d’oscillation pendant le r´egime transitoire est obtenue par int´egration par rapport au temps de (3.32) ce qui m`ene `a

θ(t) =−2 9

B² ω₁C

½2c

` (Y −A)t−ln

· 1 +

µ4(Y −A) 3Cρ²₀ −1

¶

e^2c(Y−A)t/`

¸¾

+K₂, (3.40) o`uK<sub>2</sub> est une constante d´etermin´ee avec les conditions initiales. Supposant qu’`a l’instant initialθ(t₀ = 0) =θ₀, il vient pour la correction de la fr´equence en r´egime transitoire

θ(t) =−2 9

B² ω₁C

½2c

` (Y −A)t−ln

· 3Cρ²₀ 4(Y −A) +

µ

1− 3Cρ²₀ 4(Y −A)

¶

e^2c`(Y−A)t

¸¾ +θ₀.

(3.41) La pr´esence de la non-lin´earit´e entraˆıne avec l’accroissement de l’amplitude de l’oscillation, une variation de la fr´equence d’oscillations du syst`eme. La modification de la fr´equence est ici tr`es faible (inf´erieur au dixi`eme de cent pour (ζ = 0,35,γ = 0,42,η = 0,0228) et la validit´e de (3.41) est limit´ee puisque l’effet des termes non-lin´eaires sur la p´eriode n’a pas ´et´e correctement pris en compte dans les d´eveloppements pr´ec´edents (il aurait fallu

´ecrireω =ω₁+² ω₂(T₀,T₁,T₂) +. . .). Enfin, on note que le fait d’imposer pour conditions initialesρ₀ =ρ^{P F} redonnent (3.36) et (3.37).

sous la forme canonique d’un syst`eme dynamique que l’on obtient en posant y = ˙p. Ce faisant, on aboutit `a

( p˙ = y ,

˙

y = −^2c_` £

(Y −A−2B p−3C p²¤

y−ω₁²p . (3.44) Il convient de sp´ecifier au solveur les bornes d’int´egration et les conditions initiales. L’erreur relative maximale est choisie ´egale `a 10<sup>−5</sup> et les autres propri´et´es du solveur prennent les valeurs par d´efaut. Le temps de calcul est de l’ordre de la dizaine de secondes pour une seconde du signal lorsqu’un seul mode est consid´er´e. Pour une description de la m´ethode de Runge-Kutta, on renvoie le lecteur `a un ouvrage classique d’analyse num´erique (par exemple [70]) et on se contentera de rappeler simplement que l’algorithme construit la solution `a l’instant t<sub>n+1</sub> en combinant les r´esultats de plusieurs ´evaluations `a l’instantt_n. Les signaux pr´esent´es sont r´e´echantillonn´es apr`es calcul `a la fr´equencef_e= 44100Hz.

Oscillations en r´egime permanent

Les figures 3.1 illustrent le comportement non-lin´eaire du syst`eme. Elles montrent, en r´egime permanent, respectivement la forme d’onde et le spectre de puissance associ´es pour trois jeux de param`etres de contrˆole : (ζ;γ)=(0,2 ; 0,40), (ζ;γ)=(0,35 ; 0,42) et (ζ;γ)=(0,8 ; 0,48). La premi`ere configuration est telle que le syst`eme est au seuil d’oscillation. L’os- cillation est alors sinuso¨ıdale et son amplitude relativement faible. Augmentant les deux param`etres, on observe une augmentation de l’amplitude des oscillations et l’apparition d’harmoniques d’ordre sup´erieurs. Le syst`eme est “loin” du seuil et l’influence des termes non-lin´eaires sur l’oscillation plus importante. Augmentant `a nouveau les param`etres de jeu, le syst`eme se rapproche du r´egime “anche battante” : la non-lin´earit´e est forte et l’oscil- lation diff´erente d’une sinuso¨ıde. On note cependant que cette configuration est “extrˆeme”

au sens o`u elle n’est certainement pas repr´esentative d’une situation de jeu r´eelle. Il ressort que les simulations sont en accord avec les mesures de Meynial [59] qui observe des signaux de pression interne quasi-sinuso¨ıdaux pour un r´esonateur monochromatique<sup>5</sup> quelle que soit la valeur de la pression d’alimentation. N´eanmoins, on observe un enrichissement du spectre (mˆeme si cela n’est pas nettement visible `a l’oeil sur les formes temporelles) et une augmentation de l’amplitude des signaux suivant la force de la non-lin´earit´e, qui sont caract´eristiques du comportement non-lin´eaire du mod`ele.

Finalement, ces figures mettent en ´evidence la diff´erence fondamentale entre la d´ecompo- sition modale propos´ee et la d´ecomposition en s´erie de Fourier qu’utilise la m´ethode d’´equilibrage harmonique par exemple. Les harmoniques sont ici g´en´er´es (par la non- lin´earit´e) puis amplifi´es au cours du temps et aucune hypoth`ese n’est faite sur le contenu spectral de la solution.

Comparaison des solutions analytique et num´erique

Le report de l’amplitude (3.39) et de la correction de fr´equence (3.41) dans la solution (3.35) permet de d´ecrire le d´emarrage des oscillations suite `a une petite perturbation de l’´etat d’´equilibre. Pour valider la formulation analytique propos´ee et pour simplifier l’´ecriture des conditions initiales, l’instant initial est pris `a t₀ = 0 pour lequel on impose

5. Un tel r´esonateur est constitu´e de deux cylindres de sections diff´erentes de sorte que la courbe d’imp´edance d’entr´ee ne pr´esente qu’un seul pic de r´esonance principal et de petits pics secondaires tr`es inharmoniques.

5.885 5.89 5.895 5.9 5.905 5.91 5.915 5.92 5.925 5.93

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s)

p

ζ=0.2 γ=0.4 N=1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

Frequence (Hz)

Spectre de Puissance (dB)

ζ=0.2 γ=0.4 N=1

5.885 5.89 5.895 5.9 5.905 5.91 5.915 5.92 5.925 5.93

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s)

p

ζ=0.35 γ=0.42 N=1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

Frequence (Hz)

Spectre de Puissance (dB)

ζ=0.35 γ=0.42 N=1

5.9 5.905 5.91 5.915 5.92 5.925 5.93 5.935

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s)

p

ζ=0.8 γ=0.48 N=1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

Frequence (Hz)

Spectre de Puissance (dB)

ζ=0.8 γ=0.48 N=1

Fig.3.1 –Forme d’onde et spectre de puissance pour la r´eduction `a un mode - formulation avec condition de Neumann `a l’entr´ee. Les figures vont par deux, la force de la non- lin´earit´e augmentant (ζ et γ augmentent). On remarque l’augmentation de l’amplitude et la g´en´eration d’harmoniques sup´erieurs `a laquelle est associ´ee la d´eformation du signal.

une perturbation telle que

p(t₀= 0) = u₀₀ 1−A et,

·d dtp

¸

t0=0

= 0.

La figure 3.2 pr´esente les solutions analytique et num´erique pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42). Au d´ebut du transitoire, les deux courbes sont identiques puis on observe un d´ephasage qui apparaˆıt vers la fin du transitoire en raison de l’influence de la non-lin´earit´e pendant le transitoire. On note que le syst`eme est ici “loin” du seuil d’oscillation et que cet ´ecart dimi-

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Temps (s)

p(t)

ζ=0.35 γ=0.42

Analytique Numerique Enveloppe

Fig.3.2 –R´eduction `a un mode - formulation avec condition de Neumann `a l’entr´ee : forme d’onde obtenue par approche analytique et par calcul num´erique en r´egime transitoire pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42). Si la fr´equence de l’oscillation n’est pas tr`es bien estim´ee par le calcul analytique, on constate le bon accord entre l’approximation de l’enveloppe calcul´ee par (3.39) et celle obtenue par calcul num´erique `a partir de (3.44).

nue pour des valeurs des param`etres de jeu plus faible. Ceci est en accord avec l’hypoth`ese retenue pour l’approche analytique qui n’est valable qu’au seuil d’oscillation. Quant `a l’enveloppe temporelle de la solution, on constate le tr`es bon accord entre l’expression analytique et l’enveloppe de la solution num´erique ce qui rend envisageable l’utilisation de (3.39) dans des algorithmes de synth`ese (synth`ese additive par exemple) pour simuler les transitoires d’attaque. Des r´esultats similaires sont pr´esent´es `a la figure (3.3) en r´egime permanent. Comme pour le r´egime transitoire, le d´ecalage dans le temps observ´e pour des configurations “loin” du seuil provient d’une mauvaise estimation de la fr´equence d’oscil- lations (voir figure3.3). L’approche analytique suppose la pulsation ωconstante alors que les termes non-lin´eaires agissent ´egalement sur la fr´equence de l’oscillation. On observe une diff´erence de 13 cents entre les deux fr´equences d’oscillation qui provient de l’insuffisance des d´eveloppements analytiques concernant l’estimation de la fr´equence de l’oscillation (voir§ 3.2.2).

Comparaison des deux formulations

Jusqu’`a pr´esent, l’´etude d’un r´esonateur `a un seul mode ne concernait que la formulation du probl`eme avec condition de Neumann `a l’entr´ee et on a remarqu´e que, pour la seconde

0.825 0.83 0.835 0.84 0.845

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s) p (t)m

ζ=0.2 γ=0.4

Analytique Numerique

0.825 0.83 0.835 0.84 0.845

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s) p (t)m

ζ=0.35 γ=0.42

Analytique Numerique

Fig.3.3 –R´eduction `a un mode - formulation avec condition de Neumann `a l’entr´ee : forme d’onde obtenue par approche analytique et par calcul num´erique en r´egime permanent pour deux configurations. Gauche : (ζ ,γ)=(0,2 ; 0,4). Droite : (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42). On constate que lorsque l’on s’´eloigne du seuil d’oscillation, la fr´equence de l’oscillation n’est plus correctement estim´ee par le calcul analytique. En revanche, l’estimation de l’amplitude, mˆeme si elle n’est pas exacte, reste correcte.

formulation propos´ee, la r´eduction `a un mode n’aboutit pas `a une ´equation de type Van der Pol. Cette remarque soul`eve la question du degr´e de similitude entre les composantes p<sub>n</sub> des deux formulations pour un n donn´e. La figure 3.4 montre les formes d’onde en r´egime permanent et les spectres de puissance associ´es pour les deux formulations lorsqu’un seul mode est consid´er´e pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42). La forme temporelle des signaux et le spectre de puissance sont sensiblement les mˆemes ; les fr´equences de l’oscillation, en r´egime permanent, diff`erent de 0,02 Hz soit environ 0,2 cents. L’´ecart des amplitudes pour l’harmonique 1 est inf´erieur `a 0,2 dB soit environ 2% et les rapports de l’harmonique 2 sur l’harmonique 1 (P<sub>2</sub>/P<sub>1</sub>) diff`erent de moins de 1%. Le cas du r´egime transitoire sera discut´e lors de l’analyse temps-fr´equence. Finalement, ces observations laissent supposer que les deux d´ecompositions propos´ees sont tr`es semblables.

0.37 0.371 0.372 0.373 0.374 0.375 0.376 0.377 0.378 0.379

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Temps (s)

p(t)

formulation 1 formulation 2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−80

−60

−40

−20 0 20 40

Frequence (Hz) 10 log( | P |2)

formulation 1 formulation 2

Fig. 3.4 – R´eduction `a un mode. Forme d’ondes et spectres de puissance : r´esolutions num´eriques pour les deux formulations pr´esent´ees. On appelle formulation 1 celle avec condition de Neumann `a l’entr´ee, et formulation 2, celle avec condition absorbante. Au regard du spectre et de la forme d’onde, on constate que les deux formulations conduisent

`a des r´esultats tr`es proches.

Analyse temps-fr´equence

Dans ce travail, les propri´et´es temporelles des harmoniques d’un son sont obtenues `a partir de la transform´ee de Fourier inverse `a “court-terme fr´equentiel” [76]. La m´ethode consiste

`a isoler par fenˆetrage une composante du spectre du signal pour aboutir, par transform´ee de Fourier inverse, `a l’expression d’un signal analytique. Cette repr´esentation complexe d’une composante monochromatique permet de d´efinir la fr´equence instantan´ee not´ee f_i qui, pour une onde monochromatiquex(t) telle que

x(t) =a(t) cos(Φ(t)), est obtenue par la d´eriv´ee de la phase soit en ´ecrivant

f_i(t) = 1 2π

d dtΦ(t).

On note qu’une premi`ere estimation de la fr´equence centrale de chaque composante est effectu´ee `a partir du spectre du signal total et qu’ensuite chacune des composantes harmo- niques est isol´ee `a l’aide d’une fenˆetre de Hanning dont la taille est ajust´ee selon la largeur du pic dans ce spectre.

L’analyse temps/fr´equence des signaux met en ´evidence une variation de fr´equence entre le r´egime transitoire et le r´egime permanent. Cependant, il convient de pr´eciser que la variation observ´ee ne semble pas correspondre `a celle calcul´ee analytiquement avec la for- mulation avec condition absorbante. A ce stade, nous devons signaler que les simulations montrent que le mod`ele fonctionne en r´egime lin´eaire pendant la premi`ere demi-p´eriode seulement c’est-`a-dire pendant un tr`es court instant (voir figure3.5). Or la fenˆetre d’ana-

0.005 0.01 0.015 0.02

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4

Temps (s)

p(t)

ζ=0.35 γ=0.42 N=1

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.08

0.1 0.12 0.14 0.16

p(t)

u(t)

u = F(p) u = u₀₀+Ap

Fig. 3.5 – R´eduction `a un mode - formulation avec condition de Neumann `a l’entr´ee : trois premi`ere p´eriodes. Forme d’onde et relation pression-d´ebit. On constate que l’ap- proximation lin´eaire de la caract´eristique pression-d´ebit n’est d´ej`a plus correcte apr`es trois p´eriodes : l’influence du termeB (responsable de la courbure) se fait sentir d`es la seconde demi-p´eriode. Par ailleurs, on remarque que la d´etermination des conditions initiales `a partir du r´egime lin´eaire cause une erreur d’environ 5 % sur la d´etermination de la pres- sion `a l’instant initial.

lyse a une certaine taille dans le domaine temporel qui s’av`ere ˆetre plus grande qu’une

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22

−0.5 0 0.5

p(t)

ζ=0.35 γ=0.42 N=1

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 128

129 130

Frequence (Hz)

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22

−30

−20

−10

Temps (s) 20 log10 | P| (dB)

Fig. 3.6 –R´eduction `a un mode - formulation avec condition absorbante : forme d’onde (haut), variation de la fr´equence du premier harmonique (milieu) et amplitude du premier harmonique (bas). Pendant que l’amplitude de l’oscillation croˆıt, on assiste simultan´ement

`a une variation de la fr´equence de jeu et une amplification de l’harmonique 1. On si- gnale que les variations g´en´erales observ´ees sont identiques pour les deux formulations du probl`eme except´e `a l’attaque de la note (voir figure 3.20).

demi-p´eriode et notre analyse est “aveugle” au changement de fr´equence mis en ´evidence analytiquement. Par ailleurs, la m´ethode d’analyse utilis´ee poss`ede un biais pour des si- gnaux d’amplitude tr`es faible : cela se traduit par des oscillations au niveau du module et de la fr´equence instantan´ee du signal analytique, qui ne permettent pas de conclure sur les valeurs exactes de ces deux grandeurs apr`es l’attaque de la note (voir figure3.6). En- fin, une application num´erique de l’´equation (2.28) faite pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42) conduit

`a une variation de fr´equence d’environ 1,3 cents par rapport `a la fr´equence th´eorique f₁=c/4`=129,7 Hz, ce qui est inaudible (pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,48), l’´ecart est de 2 cents).

N´eanmoins, on observe une variation de fr´equence d’environ 10 cents pendant le r´egime transitoire comme montr´e `a la figure 3.6, qui provient de l’effet de la non-lin´earit´e sur la fr´equence de l’oscillation. On signale que cette variation est observ´ee avec les deux formu- lations ce qui confirme que les composantesp<sub>1</sub> des deux formulations sont tr`es proches. A ce stade, il convient de pr´eciser que les deux formulations ne donnent pas exactement les mˆemes fr´equences de jeu apr`es l’attaque de la note comme nous l’avons montr´e analytique- ment (voir chapitre 2). Nous verrons au paragraphe 3.3.3, que l’on observe effectivement un ´ecart d’environ 1 cent en extrapolant les courbes des fr´equences instantan´ees. En- fin, on constate que la r´eduction `a une composante conduit `a une mauvaise estimation de la fr´equence en r´egime permanent, la fr´equence attendue ´etant f<sub>1</sub> = c/4`=129,7 Hz.

En effet, l’absence des pics d’imp´edance aux fr´equences nf₁ (n > 1) fait qu’il est facile pour les termes non-lin´eaires, d’influencer la fr´equence de l’oscillation, la position du pic d’imp´edance pouvant ainsi ˆetre modifi´ee.

Discussions

Mˆeme si en pratique le r´esonateur peut ˆetre vu comme un filtre passe-bas, l’hypoth`ese d’un r´esonateur `a un seul mode est une approximation brutale. L’approche analytique a mis en ´evidence l’apparition de termes de pulsation nω (n >1, n∈IN) dans la solution

qui peuvent exciter d’autres composantes p_n. En particulier, pendant un court instant, toutes les composantes vont ˆetre excit´ees ; ensuite, puisque les fr´equences propres de toutes les composantes sont proches de former une s´erie harmonique en r´egime transitoire, on devrait assister `a des ´echanges d’´energie entre elles, par couplage, favorisant l’´emergence des harmoniques impairs. Enfin, la figure 3.7 montre les formes d’onde et les spectres de puissance calcul´es en se restreignant `a une et huit composantes pour (ζ ,γ)=(0,35 ; 0,42).

On observe une diff´erence tr`es nette entre les signaux. Pour le cas N = 8, on retrouve l’allure temporelle caract´eristique de la pression pour une clarinette [38, 51] qui diff`ere nettement d’un signal quasi-sinusos¨ıdal. Aussi, le spectre de puissance met en ´evidence la n´ecessit´e de ne pas se limiter `a un seul pic d’imp´edance pour d´ecrire le r´esonateur : l’´energie est (principalement) concentr´ee dans les cinq premiers harmoniques impairs et non pas dans un seul. Ces consid´erations conduisent `a la section suivante dont l’objet est l’´etude d’un r´esonateur `a plusieurs pics de r´esonance.

0.23 0.232 0.234 0.236 0.238 0.24 0.242 0.244 0.246

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Temps (s)

p(t)

N=8 N=1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

Frequence (Hz) 10 log( | P |2)

N=8 N=1

Fig. 3.7 –Forme d’onde (gauche) et spectre de puissance (droite)-formulation avec condi- tion de Neumann `a l’entr´ee. Comparaison des solutions pourN = 1etN = 8. Formulation avec condition de Neumann `a l’entr´ee. ζ = 0,35, γ = 0,42, η = 0,0228. L’insuffisance du mod`ele `a un mode est manifeste : les allures temporelles des signaux diff`erent fortement lorsque l’ordre de troncature augmente, ainsi que le contenu spectral dans lequel on re- marque l’importance des harmoniques d’ordre sup´erieurs qui ne sont pas excit´es dans le syst`eme `a un mode.

No documento et calcul des auto-oscillations par décomposition modale (páginas 92-99)