Approximation et implantation d’une équation de diffusion anomale

2.4.3.1 Méthode d’implantation sous le logiciel Comsol

Pour traiter le problème de l’implantation d’une équation de diffusion anomale, notamment au moyen d’un logiciel basé sur les éléments finis, l’équation suivante à une dimension est considérée :

( ) ( )

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂

∂

∂∂

−

∂ =

∂ −

−

2 1 2 1 1

1 , ,

x x t C D t

t x t C

γ γ

. ( 2.83)

Il s’agit d’une équation de diffusion anomale de type ADIb. L’équation (2.83) peut se réécrire de la manière suivante :

( )

γ

γ

−

−

∂

− ∂

∂ =

∂

1 1

1 , ( , )

t x t D U

t x t

C avec

( ) ( )

2 1

2 ,

, x

x t x C

t

U = ∂ ∂ . ( 2.84)

74

Comme indiqué dans [80], la dérivée non entière de U(t,x) peut être approximée par les équations suivantes :

( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ −

=

=

−

−

∂ + ∂

=

∫

dt t Z d dt

t Z t d

Y

dz t z w t

Z t

Z

t t z C w t R

z w x t U

f i

Z

Z i f

k k

f

i

, ,

, ,

,

, , 1

,

ζ ζ ζ

ζ ^{( 2.85)}

Afin d’appliquer la méthode définie précédemment, il est nécessaire de créer deux géométries. Dans la première géométrie de type 1D, l’équation (2.84) est implantée. Afin de prendre en compte le système diffusif (2.85), une seconde géométrie de type 2D est créée.

La valeur minimale Zi et la valeur maximale Zf de la géométrie 2D suivant l’axe z permettent de définir la gamme de pulsation [ωi, ωf] pour laquelle l’approximation de la dérivation non entière est valide, soit :

Zi

i =e

ω ^et ωf =e^{Zf . ( 2.86)}

Les figure 2.8 et figure 2.9 présentent les différentes géométries mises en place sous l’environnement logiciel COMSOL. Sur la figure 2.8, il est supposé que C1 et C2 ne varient qu’entre x=-1 et x=1.

Figure 2.8 Représentation de la géométrie 1D à créer

Figure 2.9 Représentation de la géométrie 2D à créer

Le maillage des deux géométries suivant l’axe x doit être identique. Chaque résultat de calcul effectué en un point x_i du maillage de la géométrie 1D est exporté sur chaque point de maillage d’abscisse x_i de la géométrie 2D. L’intégration suivant l’axe z, des résultats obtenus aux abscisses x_i de la géométrie 2D sont exportés vers le point de maillage x_i de la géométrie 1D. Des fonctions, notées g et ƒ, permettent de calculer les variables à exporter d’une géométrie à l’autre.

Afin de mieux appréhender la procédure de calcul sous COMSOL d’un tel système, les liaisons existantes entre les deux géométries ainsi que le protocole de calcul défini précédemment, sont présentés figure 2.10.

2 2

x C

∂

∂

( )^zt

w , ( ) ^Y( )^x,t

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂∂ ∫

− dz f

i t z t w

Z

Z ,

( )^xt

C , ^U( )^x,t

( ) ( )

2 2 1 , ,

x x t x C t

U ∂

=∂

( )^{zt C w}( ) ( )_t^{zt Ut}

w

G_{k k} =

∂

+ ∂ ,

, ^w( )^z,t

( ) ^{( ) f ( )dz}

i t z w t Z t Z

Z

Z i

f ∫

−

=

−

− , ,

, ζ ζ

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ − −

= dt

t Z d dt

t Z t d

Y ζ ^f, ζ ⁱ,

( )_t^{t x DY}( )^xt

C₁ , . ,

−

∂ =

( )^tx ∂ C₁ ,

Figure 2.10 Liaisons et échange de données entre les deux géométries

2.4.3.2 Réponse temporelle à un échelon de la fonction de transfert p^1-γ implémenté sous Comsol

Afin de valider l’implantation d’un dérivateur non entier sous Comsol, la réponse à un échelon d’amplitude 10 de la partie modélisant cet intégrateur approximé par la relation (2.85) est préalablement étudiée. Pour cela, seules les équations liées à la géométrie 2 et la fonction f sont considérées sur le schéma de la figure 2.11.

76

( )^{zt C w}( ) ( )^z_t^{t U t}

w

Gk + k∂ ∂, =

, ^w( )^z,t

( )

( ) ^f ( )^dz

i t z w t Z t Z

Z

Z i

f ∫

−

=

−

− , ,

, ζ

ζ

( )

( )

( )

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ − −

= dt

t Z d dt

t Z t d

Y ζ ^f, ζ ⁱ,

( )^{t,x 10.heaviside(0)}

U =

( )^t

Y γ

−

p1 ^Yv( )^t

Figure 2.11 Test de validation de l’implantation sous Comsol du système non entier p^1- Dans cette étude, il a été choisi de définir la géométrie 2 en définissant z_i=-5 et z_f=7.

Cela signifie que l’intégration non entière a été approximée, d’après la relation (2.86), entre la pulsation ωi=6,73.10^-3 rad/s et ωf=1,09.10³ rad/s. Le système non entier a été simulé avec une valeur de de 0.5.

La réponse Y(t) obtenue est comparée ensuite à la réponse temporelle Yv(t) d’un système p^1- à un échelon d’amplitude 10, soit dans le domaine de Laplace :

( )

^γ _γ

p p p t

Y_v 10 10

1 . =

= ⁻ . ( 2.87)

En appliquant la transformée inverse de Laplace, la relation (2.87) devient :

( )

^{t =L−1⎢}_⎣^{⎡10pγ ⎥}_⎦^{⎤ =Γ10}

( )

γ ^tγ−1

Y_v ( 2.88)

Les deux réponses temporelles ont été comparées. Les résultats sont présentés figure 2.12.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0

1 2 3 4 5 6

Temps ( s )

Reponse à un echelon d amplitude 10

Y(t) Yv(t)

Figure 2.12 Comparaison de la réponse à un échelon du système implanté sous Comsol et de l’expression analytique

La comparaison des réponses temporelles Y(t) et Yv(t) révèle une erreur très faible ce qui implique donc que la modélisation proposée sous l’environnement logiciel Comsol permet de simuler parfaitement un système non entier. Dans la suite de l’étude, le comportement d’un système diffusif classique est comparé au comportement d’un système diffusif de type anomal.

2.4.3.3 Diffusion classique et diffusion anomale

Le comportement d’un système décrit par une équation de diffusion anomale est comparé au comportement d’un système diffusif classique basé sur les lois de Fick. La concentration liée à la diffusion anomale est notée C1 et la concentration liée à la diffusion classique est notée C2. Les systèmes correspondants sont décrits par les équations :

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 1 2 1 1 1

, ,

, ,

x x t D C

t x t C

x x t C D t

t x t C

∂

− ∂

∂ =

∂ ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂

∂

∂∂

−

∂ =

∂

−

− γ γ

. ( 2.89)

Les conditions initiales pour les deux systèmes sont les suivantes :

( )

^{0, 0}

1 x =

C , C2

( )

^0,x =⁰. ( 2.90)

Les conditions aux limites sont définies de la manière suivante :

( ) ( )

( )

^,1

( )

^,1

1 , , ,

1 ,

2 1

1

2 1

1 1

∂ =

⎤=

⎡∂

∂

∂ =

= ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ ∂

∂∂

−

−

−

t C t

C

x J t D C x J

t C D t

γ γ γ

( 2.91)

78

Les deux systèmes sont soumis à un flux d’espèces, Jli, en x=1. En x=-1, les systèmes sont fermés. Le flux J_li est un flux unitaire apparaissant à t=50 secondes et s’arrêtant à t=100 secondes. Dans les deux cas, le coefficient de diffusion D est de 1 m/s.

Les réponses des deux systèmes à l’excitation J_li sont présentées figure 2.13 et figure 2.14.

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1 1.5

Temps ( s )

Flux ( mol/(s.m3 ) ) J_li(x=1)

0 100 200 300 400 500

0 10 20 30 40

Temps ( s ) Concentration ( mol/m3 )

C1(x=1) C2(x=1)

Figure 2.13 Evolution du flux J_li et des concentrations C₁ et C₂ au cours du temps en x=1

0 100 200 300 400 500

0 10 20 30

Temps ( s ) Concentration ( mol/m3 )

C1(x=0) C₂(x=0)

0 100 200 300 400 500

0 10 20 30

Temps ( s ) Concentration ( mol/m3 )

C1(x=-1) C2(x=-1)

Figure 2.14 Evolution des concentrations C1 et C2 au cours du temps en x=0 et x=-1 Etant donné que le coefficient de diffusion est élevé, dans le cas du système de diffusion classique, les espèces diffusent rapidement dans le milieu. L’évolution de la concentration est identique en chaque point du milieu. La seule différence est un retard entre le moment où le flux est appliqué et l’instant où les espèces diffusent au point considéré. Ce

retard est d’autant plus important que le point considéré est proche de x= -1. Lorsque le flux est stoppé, le système s’équilibre instantanément.

Dans le cas de la diffusion anomale, le comportement diffère. Etant donné que la diffusion des espèces dans le milieu est plus difficile, lorsque le flux est appliqué, une partie des ions est concentrée en x=1. Les ions diffusent dans le milieu avec une dynamique propre au système non entier. Une fois le flux stoppé, les espèces présentes en x=1 diffusent dans le milieu. L’impact de la diffusion anomale est notable en x=-1. La concentration en espèce augmente progressivement, cependant 400 secondes après l’arrêt du flux le système n’est pas encore à l’équilibre. Le système tend vers l’équilibre, mais il ne sera jamais réellement atteint.

No documento Caractérisation électrique, mise en évidence des phénomènes physicochimiques et modélisation (páginas 76-82)