Chemins essentiels sur un graphe

Consid´erons un graphe G `a r vertex, et l’espace vectoriel des chemins ´el´ementaires de longueur deux : P ath<sup>(2)</sup>. Un ´el´ement ξ<sup>(2)</sup> de cet espace sera aussi not´eξ⊗η, o`uξ et η sont des chemins de longueur un (ce sont des arcs). L’op´erateur d’annihilation d’OcneanuC₁ est d´efini par :

C₁ : P ath⁽²⁾ 7−→ P ath⁽⁰⁾ ξ⁽²⁾=ξ⊗η 7−→ δ_ξ,η−1

sµ(r(ξ))

µ(s(ξ))s(ξ) (2.4)

3La d´efinition ici adopt´ee des mots “sous-groupe” et “module” diff`ere de l’acceptation usuelle de ces termes : nous pr´ecisons dans l’AnnexeBce que nous entendons par l`a.

L’op´erateur C₁ donne un r´esultat non-nul si et seulement si le chemin de longueur deux sur lequel il agit est un aller-retour : C1[P(vivjv_k)]∼ δ_i,kvi. L’op´erateur de cr´eation d’Ocneanu C₁^† est d´efini par :

C₁^†: P ath⁽⁰⁾ 7−→ P ath⁽²⁾

v 7−→ X

ξ,s(ξ)=v

s

µ(r(ξ))

µ(s(ξ))ξ⊗ξ⁻¹ (2.5) En d’autres termes, l’op´erateurC₁^† cr´ee des allers-retours avec tous les vertex adjacents `a v.

Th´eor`eme 5 La composition de ces deux op´erateurs C<sub>1</sub>C<sub>1</sub><sup>†</sup> est un scalaire ´egal `a β, la plus grande valeur propre de la matrice d’adjacence du graphe.

d´em.: L’´equation GP =βP, o`uP_i =µ(v_i), implique : X

j

(G)ijµ(vj) =β µ(vi) =⇒ X

vjvoisin devi

µ(vj) =β µ(vi) =⇒β = X

ξ,s(ξ)=vi

µ(r(ξ)) µ(s(ξ)). En composant (2.5) et (2.4), la d´emonstration est alors imm´ediate.

D´efinition 9 Le projecteur de Jones e₁ est l’op´erateur de projection d´efini par : e₁ = 1

βC₁^†C₁. (2.6)

Il est imm´ediat de v´erifier que c’est bien un op´erateur de projection :e^†₁ =e1,e²₁=e1. Exemple : diagramme A₃ Le diagramme A₃ poss`ede 3 vertex not´es τ<sub>0</sub>, τ<sub>1</sub> et τ<sub>2</sub>, et est repr´esent´e `a la Fig.2.1. Nous donnons entre crochets la valeur de la composante du vecteur de Perron-Frobenius (dimension quantique) de chaque vertex.

t t t

τ₀ τ₁ τ₂ [1] [√

2] [1]

Fig. 2.1 – DiagrammeA₃ et dimension quantique de ses vertex

Les chemins ´el´ementaires de longueur deux sur le diagrammeA₃ sont au nombre de 6 : P(τ₀τ₁τ₀) =01~ ⊗10~ P(τ₁τ₂τ₁) =12~ ⊗21~

P(τ₀τ₁τ₂) =01~ ⊗12~ P(τ₂τ₁τ₂) =21~ ⊗12~ P(τ₁τ₀τ₁) =10~ ⊗01~ P(τ₂τ₁τ₀) =21~ ⊗10~

L’action de l’op´erateur de cr´eation C₁^† sur les vertex est donn´ee par : C₁^†(τ₀) = 2^1/4(01~ ⊗10)~

C₁^†(τ1) = 2^−1/4(10~ ⊗01 +~ 12~ ⊗21 )~ C₁^†(τ2) = 2^1/4(21~ ⊗12)~

L’action de l’op´erateur d’annihilationC₁ sur les chemins ´el´ementaires de longueur deux est donn´ee par :

C1(01~ ⊗10) = 2~ ^1/4(τ0) C1(21~ ⊗12) = 2~ ^1/4(τ2) C₁(10~ ⊗01) =~ C₁(12~ ⊗21) = 2~ ^−1/4(τ₁) C₁(01~ ⊗12) =~ C₁(21~ ⊗10) = 0~

Nous pouvons v´erifier que la composition des deux op´erateursC₁C₁^†est bien un scalaire ´egal

`

a la plus grande valeur propre de la matrice d’adjacence (β =√ 2) : C₁C₁^†(τ₀) =√

2(τ₀) C₁C₁^†(τ₁) =√

2(τ₁) C₁C₁^†(τ₂) =√ 2(τ₂)

Nous pouvons maintenant ´etendre la d´efinition de ces op´erateurs `a des chemins

´el´ementaires de longueur quelconque.

D´efinition 10 Pour tout entier n >1, l’op´erateur d’annihilation Cn, agissant sur des che- mins ´el´ementaires de longueur p, est d´efini par :

si p≤n: C_n(ξ₁. . . ξ_p) = 0, si p > n: C_n(ξ₁ξ₂. . . ξ_nξ_n+1. . . ξ_p) =

s

µ(r(ξ)) µ(s(ξ))δ_ξ

n,ξ⁻¹_n+1(ξ₁ξ₂. . .ξb_nξb_n+1. . . ξ_p), o`u le symbole ξbsignifie que l’on ´elimine l’arc ξ du chemin.

L’op´erateur C_n agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p donne donc comme r´esultat soit 0, soit un chemin ´el´ementaire de longueur p−2.

D´efinition 11 Pour tout entier n >1, l’op´erateur de cr´eationC_n^†, agissant sur des chemins

´el´ementaires de longueur p, est d´efini par : si p < n+ 1 : Cn^†(ξ1. . . ξp) = 0, si p≥n−1 : Cn^†(ξ1. . . ξn−1ξn. . . ξp) = X

η,s(η)=r(ξn−1)

s

µ(r(ξ))

µ(s(ξ))(ξ1. . . ξn−1η η⁻¹ξn. . . ξp). L’op´erateur Cn^† agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p donne donc comme r´esultat soit 0, soit une combinaison lin´eaire de chemins ´el´ementaires de longueur p+ 2.

Les projecteurs de Jonese_k sont d´efinis par : e_k .

= 1

βC_k^†C_k, (2.7)

et v´erifient les relations d´efinissant une alg`ebre de Temperley-Lieb (voir Annexe C).

D´efinition 12 L’espace des chemins essentiels de longueur n est d´efini par : Ess⁽ⁿ⁾=EssP ath⁽ⁿ⁾(G) = n

ξ ∈P ath⁽ⁿ⁾|C_kξ = 0 ∀k= (1,2,· · ·, n)o

= n

ξ ∈P ath⁽ⁿ⁾|e_kξ = 0 ∀k∈(1,2,· · ·, n)o

Un chemin est donc essentiel s’il appartient `a l’intersection du noyau de tous les op´erateurs d’annihilation C_k ( ou de tous les projecteurs de Jones e_k). Tout chemin ´el´ementaire de longueur 0 et de longueur 1 est aussi un chemin essentiel, car il appartient au noyau des op´erateurs d’annihilations. Notons qu’un ´el´ement de Ess⁽ⁿ⁾ n’est pas toujours un chemin

´el´ementaire de longueurn, mais possiblement une combinaison lin´eaire de tels ´el´ements.

Exemple : diagramme A₃ Nous avons vu que C₁(01~ ⊗12) =~ C₁(21~ ⊗10) = 0, donc ces~ deux chemins sont des chemins essentiels. Nous avons vu aussi queC1(10~ ⊗01) =~ C1(12~ ⊗21).~ Soit le chemin γ = 10~ ⊗01~ −12~ ⊗21, nous avons alors~ C₁(γ) = 0. γ est donc aussi un chemin essentiel, bien qu’il ne soit pas ´el´ementaire mais une combinaison lin´eaire de chemins

´el´ementaires.

Soit Ess⁽ⁱ⁾_a,b l’espace des chemins essentiels de longueuri partant du vertex va et arrivant au vertex v_b. Alors :

Ess⁽ⁱ⁾= X

va,vb∈V

Ess⁽ⁱ⁾_a,b. (2.8)

Th´eor`eme 6 (Ocneanu[67]) La dimension de l’espace des chemins essentiels Ess⁽ⁱ⁾_a,b est donn´ee par la formule de r´ecurrence suivante (loi mod´er´ee de Pascal) :

dim(Ess⁽ⁱ⁺¹⁾_a,b ) = X

ξ,r(ξ)=vb

dim(Ess⁽ⁱ⁾_a,s(ξ))−dim(Ess⁽ⁱ_a,b⁻¹⁾). (2.9)

Les chemins essentiels de longueur 0 et 1 sont des chemins ´el´ementaires (vertex et arcs).

La loi (2.9) nous permet alors de calculer la dimension des chemins essentiels de longueur donn´ee. Ces r´esultats sont plus facilement cod´es dans des matrices.

Matrices Fi D´efinissons les matrices carr´eesr×r Fi telles que la composante (a, b) de Fi

soit ´egale au nombre de chemins essentiels de longueurireliant le vertexv_aau vertexv_b (donc

´egale `a la dimension de Ess⁽ⁱ⁾_a,b). La loi mod´er´ee de Pascal (2.9) nous permet d’obtenir une r´ecurrence simple pour calculer ces matricesF_i :

F₀ = l1_r×r F₁ = G

F_i+1 = GF_i−F_i−1

La dimension de l’espace vectoriel des chemins essentiels de longueur iest donc donn´ee par : dim(Ess⁽ⁱ⁾) =X

a,b

(Fi)_ab (2.10)

Rappel : `A chaque diagramme de type ADE est associ´e un nombre κ (nombre dual de Coxeter), d´efini `a partir de la norme β de la matrice d’adjacence du graphe par la relation β = 2 cos ^π_κ

.

Th´eor`eme 7 (Ocneanu[67]) Pour les diagrammes de typeADE, il n’existe pas de chemins essentiels de longueur plus grande que κ−2.

Au niveau matriciel, ceci se traduit par le fait que la matrice F_κ−1 est nulle. Au vue de la correspondance de Mc-Kay, nous verrons au chapitre 3 que les matrices F_i codent la d´ecomposition du produit tensoriel τi⊗σa en irreps σ_b, o`u les irreps σa et σ<sub>b</sub> sont associ´ees aux vertexv<sub>a</sub> etv<sub>b</sub> du graphe Gde nombre de Coxeter κ, et l’irrep τ<sub>i</sub> est associ´ee au vertex v<sub>i</sub> du graphe A<sub>κ−1</sub> Les graphes A<sub>n</sub> correspondent `a un quotient H du groupe quantique U_q(sl(2)), tandis que les graphes Gsont associ´es `a des “sous-groupes” ou “modules” deH. Matrices essentielles E<sub>a</sub> Il existe une autre mani`ere de coder ces r´esultats. D´efinissonsr matrices E_a associ´ees `a chaque vertex v_a de Get appel´eesmatrices essentielles, par :

E_a[i+ 1, b] .

=F_i[a, b] (2.11)

Alors la composante (i+1, b) de la matriceE_aest le nombre de chemins essentiels de longueur ireliant le vertexv_aau vertexv_b. Pour le cas de graphesADE, nous obtenons doncrmatrices E_a, de κ−1 lignes et r colonnes.