4.2.1 L’algorithme RMT
Dans de nombreuses situations pratiques on souhaite réduire le bruit en des points où, pour des raisons pratiques, il n’est possible de disposer des microphones que lors d’une phase préliminaire
de mesures. Une possibilité consiste alors à déterminer à chaque fréquence, à partir des mesures hors-ligne, une matrice Gde transfert du bruit primaire entre des points où l’on pourra laisser ensuite des microphones et les points de minimisation désirés ; pour viser un contrôle déporté sur ces points de minimisation dits «virtuels», on pourra y estimer le vecteur des pressions primaires ppv à partir des pressions primaires sur les microphones dits «réels»ppr :
ppv =Gppr (4.2)
Le contrôle usuel parfeedforward avec un algorithme FXLMS utilise comme signaux de minimi- sationela somme des pressions primairespp et secondairesps. En notantHretHv les matrices, qu’on peut mesurer hors ligne, de transfert entre la commande des sources secondaires u et les microphones réels et virtuels, le signal à minimiser pour un contrôle déporté de la pression sur les microphones virtuels s’écrit, à partir de la pressionpr sur les microphones réels ;
e=Gppr+Hvu =G(pr−psr) +Hvu=G(pr−Hru) +Hvu (4.3) L’algorithme de minimisation FXLMS du signal de minimisation 4.3 a été baptisé RMT pour Remote Microphone Technique par Alain Roure qui l’a appliqué avec succès au contrôle, dans les avions à hélice, du bruit au niveau de la tête des passagers à partir de mesures au niveau des compartiments à bagages à main [53].
4.2.2 L’algorithme SRMT
L’algorithme RMT mis en œuvre au LMA présentait deux inconvénients : d’abord le calcul du signal de minimisation 4.3, qui triple approximativement les ressources en mémoire et en temps machine requises pour un contrôle FXLMS, ne permettait de traiter en pratique avec le contrôleur COMPARS du LMA que des sons purs stationnaires. Ensuite, d’un point de vue plus théorique, une infinité de matricesGpermettent de passer d’un vecteur de pressions réelles à un vecteurs de pressions virtuelles données ; on ne savait a priori pas laquelle retenir pour un fonctionnement optimal de l’algorithme et avec une matrice arbitraire un fonctionnement pathologique de l’algorithme n’était pas à exclure. Dans sa thèse [30], Colas Gronier a suggéré de retenir comme matrice G celle qui conduit à l’estimation deppv la plus robuste aux erreurs de mesure sur les microphones réels mais cette sélection s’avère numériquement coûteuse ; en cherchant à réduire le coût des calculs à conduire en temps réel, j’ai abouti à une autre solution baptisée Simplified-RMT.
La première idée de l’algorithme SRMT consiste à contraindre la matrice de transfert G à satisfaire, outre l’équation 4.2, une équation aussi valable pour le transfert de tous les bruits secondaires Hv =GHr. Du coupGdoit vérifier :
(Hv ppv) =G(Hr ppr) (4.4)
Sous cette contrainte on peut constater que le calcul 4.3 du signal de minimisation dégénère en e = Gpr. D’un point de vue purement algébrique, il existe une matrice ˆG et une seule qui vérifie 4.4 si le nombre de microphones réels est égal au nombre total de sources primaires et secondaires. D’un point de vue plus physique, quelles que soient les sources de bruit, la
considérées et du nombre de microphones utilisés. Il est donc légitime de vouloir construire une matrice de passage ˆGquel que soit le nombre de transducteurs et, si le problème 4.4 s’avère mal posé, on peut utiliser les techniques usuelles de régularisation pour en identifier une solution approximative.
La deuxième idée de l’algorithme SRMT consiste à utiliser un algorithmeFiltered-Error LMS, plutôt que l’habituel algorithme FXLMS. Avec l’algorithme FELMS la formule de mise à jour en temps réel des coefficients des filtres de contrôle s’écrit, à comparer à celle du FXLMS présenté en annexe A.4 :
Wk(n+ 1) =Wk(n)−αhh†∗e(n−τ +1−k)ix(n) (4.5) oùh†représente la réponse impulsionnelle du transfert secondaire, de longueurτ, lueà l’envers. Si ˆg est l’approximation FIR d’une composante de la matrice de transfert ˆG, alors, pour un contrôle sur les microphones virtuels, la formule de mise à jour s’écrit :
Wk(n+ 1) =Wk(n)−αh(h†v∗g)∗e(n−τ +1−k)ix(n) (4.6) La convolution entre le transfert secondaire virtuel h†v et le transfert ˆg de passage des micro- phones réels aux microphones virtuels peut être effectuée hors ligne. Par conséquent le contrôle du bruit sur des microphones virtuels avec l’algorithme SRMT ne demande guère plus de res- sources machine qu’un contrôle FXLMS usuel ; les filtresh†v∗g sont simplement à réponse plus longue a priori queh†v et le nombre de signaux d’erreur à filtrer est en général plus grand que le nombre de signaux de référence filtrés dans l’algorithme FXLMS. L’identification préliminaire des FIR de passage ˆgconstitue la seule étape supplémentaire nécessaire au contrôle déporté par rapport à un contrôle direct.
Quelques exemples de mise en œuvre au laboratoire de l’algorithme SRMT sont présentés plus en détail dans [27] et [28]. La figure 4.5, tirée de [28], montre, pour un bruit primaire de type
«sinus balayé», un résultat de contrôle du bruit sur un microphone situé juste au-dessus d’un siège de la cavité de la figure 1.3. Le contrôle SRMT, obtenu à partir de microphones réels situés en paroi de la cavité, donne des résultats tout à fait comparables à la minimisation FXLMS directe du bruit. On peut penser que le «sens physique» injecté dans la matrice ˆG rend assez robuste l’estimation des signaux virtuels ; un changement de température créera par exemple une erreur systématique sur les signaux de minimisation virtuels qui ne reviendra finalement qu’à légèrement décaler les points où le champ est estimé. Pour terminer on mentionnera le fait que l’algorithme SRMT est un élément de la stratégie, présentée dans la section suivante, proposée récemment au LMA pour le contrôle du champ diffracté par une surface.
Fig. 4.5 – Comparaison des contrôles FXLMS et SRMT du bruit dans la cavité de la figure 1.3