L’algorithme FXLMS monovoie

L’algorithme FXLMS (Filtered-X Least Mean Square,Xdésignant traditionnellement le signal de référence) est une variante de l’algorithme LMS bien adaptée en contrôle actif à la détermination

«en boîte noire» des signaux de commandes optimaux pourvu qu’on dispose d’un signalx, dit

«de référence», bien corrélé avec le bruit à minimiser et non affecté par le contrôle. On parle alors d’une configuration, schématisée par la figure A.5, de contrôle actif parfeedforward. Si, sur la figure A.5, on «permute» les fonctions de transfertHetW, on constate que le problème de contrôle actif se ramène alors au problème d’identification de la figure A.4 avec comme signaux à traiterH∗x et −d. Le signal e sera donc minimisé par le filtre W si, dans la formule A.22, on remplace le vecteur des signaux de référence passés x(n) = (x(n). . . x(n−K+ 1))^t par sa convolution par la fonction de transfert secondaire. On appelle le vecteur qui résulte de cette convolution laréférence filtrée(sous-entendu : par le transfert secondaire). Une estimationR de la référence filtrée peut être calculée en approchant la fonction de transfert par un filtre FIR de réponse impulsionnelle{h₀, . . . , hL−1}, (lui-même peut-être identifié avant contrôle à l’aide d’un

algorithme LMS comme au paragraphe précédent) : R(n) =

L−1

X

l=0

hlx(n−l) = h∗x (A.23)

La formule de récurrence donnant les coefficient du filtreW est alors finalement :

wn+1 = wn − βR(n)e(n) (A.24)

Cette formule définit l’algorithme FXLMS. On démontre que l’algorithme FXLMS converge vers la filtre FIR de contrôle optimal même si la réponse impulsionnellehn’est qu’une approximation grossière de celle du transfert secondaire. On démontre notamment que la marge de phase de l’algorithme est supérieure à 90 degrés, ce qui s’interpréte en disant que l’algorithme converge tant que le signe du transfert secondaire est correct. Comme pour l’algorithme LMS, la forme récurrente de l’équation A.24 lui permet d’être adaptatif à des changements du bruit primaire.

Le fait que le transfert secondaire n’ait besoin que d’être grossièrement connu rend également l’algorithme très robuste à une évolution du milieu de propagation, par exemple de la célérité du son avec la température.

Extensions et limites

L’algorithme FXLMS s’étend aisément au cas multivoies de plusieurs capteurs de minimisation, de plusieurs sources secondaires et de plusieurs signaux de référence [11]. Il se prête également au calcul parallèle des signaux de commande. De nombreuses variantes de l’algorithme existent également par exemple pour pénaliser les signaux de commande (cf.3.2) ou réduire le volume des calculs dans des cas particuliers (cf.4.2). Il est également possible de «normaliser» le coefficient de convergenceβ qui apparaît dans les relations de récurrence A.22 et A.24 (cf.2.2.2).

Dans le cas multivoies, les propriétés de stabilité de l’algorithme sont préservées mais sa bonne convergence, et donc les performances du contrôle, sont tributaires du conditionnement de la matrice de transfert secondaire. On montre aussi que l’algorithme FXLMS converge moins bien dans le cas de cas de signaux de référencex au spectre contrasté [11]. Les résultats de contrôle obtenus avec l’algorithme FXLMS sont en général excellents dans le cas de bruits primaire «son pur» et bons dans le cas de signaux «bruit blanc» non pénalisés par la contrainte de causalité (cf.2.1.2) ; ils sont en général moins bons dans le cas de signaux musicaux.

B.1 Curriculum Vitae

Emmanuel FRIOT

Chargé de Recherche au Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique (CNRS - UPR 7051)

31 Chemin Joseph Aiguier Tél. : +33 4 91 16 40 84

13 402 Marseille Cedex 20 Fax : +33 4 91 16 40 80

France adresse mail :friot@lma.cnrs-mrs.fr

Etat-civil :

• Né le 14 novembre 1966 à Nantes ;

• de nationalité française ;

• marié, 3 enfants.

Formation initiale :

• baccalauréat C mention TB (1984) ;

• classes préparatoires Mathématiques Supérieures et Spéciales M’ au lycée Clémenceau de Nantes (1984-86) ;

• Ingénieur de l’Ecole Centrale Paris, option “Océan” (1989) ;

• Docteur de l’Université d’Aix-Marseille II, spécialité “Mécanique” mention “Acoustique et dynamique des vibrations” ; thèse intitulée “Contrôle semi-actif d’une suspension de Groupe Moto-Propulseur avec un support hydro-élastique adaptatif”, dirigée par Robert Bouc et sou- tenue en mai 1993, mention “très honorable avec les félicitations du jury”.

Parcours professionel :

• depuis le 1^er décembre 1993 : Chargé de Recherche au LMA ; en service réduit à 80% de 1998 à 2000. Voir les autres éléments de ce mémoire pour la présentation de mes activités de recherche

• De juin à décembre 1993 : Ingénieur de Recherche au service H6 (confort acoustique et vibra- toire) de la Direction de la Recherche du groupe Renault.

• De janvier 1992 à mai 1993 : Volontaire du Service National (coopérant) en tant qu’ingénieur à l’ETSII (Université de Valladolid - Espagne)

• De septembre 1989 à décembre 1991 : Ingénieur de Recherche Renault, inscrit en thèse et partiellement détaché au LMA dans le cadre d’une convention CIFRE.

• 1986-1989 : stages divers en entreprise (Elf-Aquitaine, Alsthom...) dans le cadre de la formation d’Ingénieur à L’ECP.

Autres compétences diverses :

• français (langue maternelle), espagnol et anglais lus, parlés et écrits couramment.

• titulaire du permis de conduire B, du diplôme de secouriste du travail, d’un classement inter- national FIDE pour le jeu d’échecs, du brevet de pilote confirmé et de la qualification pour le vol biplace en parapente.

B.2 Publications

B.2.1 Revues à comité de lecture

Epain N., Friot E.,Active control of sound inside a sphere via control of the acoustic pressure at the boundary surface, Journal of Sound and Vibration (2006), 299(3), p.587–604

Friot E.,Infinite non-causality in active cancellation of random noise, Journal of Sound and Vibration, (2006), 290(3-5), p.597–618

Friot E., Guillermin R., Winninger M.,Active control of scattered noise : a real-time im- plementation for a three-dimensional object, Acta Acustica united with Acustica (2006), 92(2), p.278–288

Friot E., Bordier C.,Real-time active suppression of scattered acoustic radiation, Journal of Sound and Vibration (2004), 278(3), p.563–580

Friot E., Contrôle optimal par rétroaction de la transparence acoustique d’une plaque munie de transducteurs piéezo-électriques, Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences (1998), série IIb, 326, p.47–54

Friot E., Bouc R., Fast synthesis of ARMA models for the recursive simulation of a scalar random process with a given target spectrum, Journal of Sound and Vibration (1994), 170(3), p.415–421

Friot E.,Causality Constraints in Multi-Channel Active Control of Random Noise, CFA/DAGA’04, Strasbourg, 22-25 mars 2004, sur CD-ROM, 4 pages

Friot E., Bordier C., Contrôle actif en temps réel du champ diffracté par une cible, CFA 2002, Lille, 8-11 avril 2002, sur CD-ROM, 6 pages

Friot E.,Suboptimal feedback control of sound radiating from a plate with piezoelectric trans- ducers, Euromech 341-Smart Structures and Materials, Giens, 1995

B.2.3 Actes de colloques à comité de lecture (avec rapports d’expertise)