Couplage des approches non locale et à taux d’endommagement limité

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0

200 400 600 800 1000

déplacement (mm)

force (N) maillage 1

maillage 2 maillage 3

(a)τ1t= 0,1s(V=0,165 mm/s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 200 400 600 800 1000

déplacement (mm)

force (N)

maillage 1 maillage 2 maillage 3

(b) τ1t= 2s(V=0,165 mm/s)

Figure 5.23 – Réponse force/déplacement obtenue pour l’essai de traction uniaxiale sur plaque trouée (∅⁴) avec le modèle à taux d’endommagement limité : (a)τ1t= 0,1s,(b)τ1t= 2s.

Par ailleurs, la forme des réponses force/déplacement diffère selon le limitateur de localisation choisi. Dans le cas du modèle à taux d’endommagement limité, la prise en compte de l’endomma- gement des torons de fibres longitudinaux conduit à un adoucissement très progressif de la réponse structurale. L’énergie dissipée après le pic de chargement est grande. Dans le cas du modèle non local, la prise en compte de l’endommagement des torons de fibres, entraine l’apparition d’un snap-back. Cette instabilité peut s’interpréter comme le moment de défaillance de la pièce.

Pour finir, la régularisation permet de rendre les résultats des simulations indépendants du maillage. Néanmoins, la régularisation influe sur la valeur du pic de chargement. Il convient donc de se confronter aussi à la mesure expérimentale pour juger de la pertinence des résultats de telle ou telle approche. Ce point sera détaillé dans la Section5.4. Au préalable, la méthode de régularisation développée dans le cadre de cette thèse est présentée.

5.3 Couplage des approches non locale et à taux d’endommage-

Couplage des approches non locale et à taux d’endommagement limité le modèle "non retardé". Dans l’équation 5.7, la force motrice d’endommagement y^f_j^(l) est rem- placée par la force motrice non locale y_j^f(nl). La relation entre ces deux grandeurs est donnée par l’Equation de diffusion5.11. Pour finir, l’évolution de chaque variable d’endommagementd^f(nr)_j est gouvernée par la variable non localey_j^f(nl).

Les quantités d’intérêt sont données par les relations suivantes :

Loi de comportement : σ =f(ε, d^m_i , d^f_j) (5.17) Équation différentielle d’ordre 1 : ˙

d^f_j = 1 τ_j

d^f(nr)_j (y_j^f(nl))−d^f_j

(5.18) Équation de diffusion : y_j^f(nl)−ci∇²y^f_j^(nl) =y^f_j^(l) (5.19) 5.3.2 Validation numérique de l’approche de régularisation couplée

Cette partie a pour objet d’évaluer les possibilités offertes par la méthode de régularisation couplée. Pour cela, nous avons repris le cas test précédent relatif à la traction uniaxiale sur plaque trouée CMC.

La répartition de l’endommagement des fibres à l’issue de la simulation est identique quelle que soit la taille des éléments du maillage (voir Figure 5.24). La méthode de régularisation proposée garantit donc bien l’indépendance des résultats vis-à-vis du maillage. Ce test nous a ainsi permis de mettre en évidence que l’on ne perdait pas le point fort de chacune des approches de régularisation classiques.

Maillage 1 Maillage 2

0 22

f

d

Maillage 3

Figure 5.24 – Répartition de l’endommagement d^f_1t des torons fibres en bord de trou obtenue avec le modèle hybride d’endommagement pour un essai de traction sur plaque trouée (∅⁴) pour trois maillages de finesse différente.c1t= 7mm²,τ1t= 0.01s. L’endommagement est visualisé aux points de sorties représentés par des losanges à la Figure 5.25(a).

La courbe d’évolution de la force en fonction du déplacement obtenue pour les différentes fi- nesses de maillage est similaire (voir Figure 5.25(a)). Le pic de charge est suivi d’une décroissance progressive de la force sans snap-back (retour en arrière du déplacement) au contraire de la réponse observée lors de l’étude faite avec le modèle d’endommagement non local. Ce constat reste valable pour plusieurs couples de paramètres (c1t,τ1t) ainsi que l’illustre la Figure 5.25(b). La réponse glo- bale de la structure ne mettant pas en évidence de snap-back, la résolution du problème mécanique ne nécessite donc pas l’utilisation d’un algorithme de pilotage à longueur d’arc. Ce point constitue le premier avantage de notre méthode de régularisation par rapport au modèle d’endommagement non local.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0

200 400 600 800 1000 1200

déplacement (mm)

force (N)

maillage 1 maillage 2 maillage3

(a) Influence du maillage (c1t = 7mm²,τ1t = 0.01s)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 200 400 600 800 1000 1200

déplacement (mm)

force (N)

c_1t=4 mm²,τ1t=0.02 s c_1t=4 mm²,τ1t=0.1 s c_1t=4 mm²,τ1t=0.2 s c_1t=5 mm²,τ1t=0.01 s c_1t=6 mm²,τ1t=0.01 s c_1t=7 mm²,τ_1t=0.01 s c_1t=8 mm²,τ_1t=0.001 s c_1t=8 mm²,τ_1t=0.01 s

4,0.02 8,0.01

4,0.2

6,0.01

(b) Influence du couple (c1t,τ1t)

Figure 5.25 – Réponses force/déplacement obtenues pour l’essai de traction uniaxiale sur plaque trouée (∅⁴) avec la régularisation couplée :(a) influence de la taille de maille et(b)influence du couple (c1t,τ1t).

Notre approche de régularisation et l’approche à taux d’endommagement limité introduisent une viscosité numérique liée au calcul de l’endommagementd^f_j (voir Équation5.13 et Équation5.18).

L’influence de la vitesse de chargement sur la réponse force/déplacement a donc été évaluée. Pour cela, les simulations ont été reprises en multipliant et en divisant la vitesse de chargement par 2.

Le résultat obtenu avec le couplage des méthodes de régularisation (voir Figure5.26(a)) est moins sensible à la vitesse de chargement que le calcul avec le modèle à taux d’endommagement limité (voir Figure 5.26(b)). Ainsi, dans le premier cas, le pic de charge est compris entre 1040 N et 1052 N. Avec la deuxième méthode de régularisation, celui-ci est compris entre 880 N et 1080 N.

Précédemment, nous avons montré qu’il existait un ensemble de couple (c_1t,τ_1t) pour régulariser le problème. En prenantc_1t= 7mm², ordre de grandeur du paramètre de régularisation utilisé dans le cas du modèle non local, la valeur de τ_1t peut être choisie assez petite (ici,τ_1t = 0.01s). C’est la raison pour laquelle les effets du temps sont limités. Ce point correspond au premier avantage de l’approche couplée proposée par rapport au modèle à taux d’endommagement limité.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 200 400 600 800 1000 1200

déplacement (mm)

force (N)

0.5V V=0.165m/s 2V

1052 (N)

1040 (N)

1044 (N)

(a)Couplage (c1t= 7mm²,τ1t= 0,01s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 200 400 600 800 1000 1200

déplacement (mm)

force (N)

0.5V V=0.165m/s 2V

1080 (N)

880 (N)

964 (N)

(b) Effet retard (τ1t= 2s)

Figure 5.26 – Influence de la vitesse de chargement sur la réponse force/déplacement : (a) approche couplée,(b) approche à taux d’endommagement limité.

Prévision de la tenue en traction de plaques trouées CMC