Le seuilts est appliqué sur la statistique S =
sFi,j . On note µs=E{S} et σ2s =En
(S−µs)2o . On suppose ainsi que la statistique S est stationnaire sur l’image analysée, et donc que ses paramètres ne dépendent pas de la fenêtreFi,j sur laquelle elle est calculée. Un groupement de pixels centré en (i, j) sera alors détecté si |sFi,j−µs|
σs ≥ts.
On a (estimateur sans biais de la variance) : sFi,j = 1
NF2 −1· X
(m,n)∈Fi,j
(p(m, n)−mF)2≈ 1
NF2 · X
(m,n)∈Fi,j
(p(m, n)−mF)2 (A.4)
Par hypothèse, on sait que lesp(m, n) sont indépendants et suivent une loi gaussienne de moyenneµ et de varianceσ2.
Théorème A.1 (Fisher-Cochrane) Soit un vecteur aléatoire gaussien centré réduitX∼ N(0, Ik).
Soient qmatrices symétriques définies non négatives,{Ai}1≤i≤q, de rangsr1, . . . , rq et telles que : A1+. . .+Aq =Ik etr1+. . .+rq=k (dimension de l’espace vectoriel)
Alors :
les formes quadratiques Zj =X>AjXsont des variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Pearson (aussi appelées lois du chi-deux) à rj degrés de liberté
En appliquant le théorème de Fisher-Cochrane avec : – X=
X1 . . . Xk . . . XN2 F
>
avecXmNF+n= p(m,n)−mσ Fi,j, oùe= (1 1 · · · 1)> et (m, n)∈Fi,j. On a bienX∼ N(0,1) en prenant l’approximation µ≈mFi,j
– A1=N12 F
ee> etA2=IN2 F −N1
Fee>
on a bienr1+r2=NF2, etA1etA2des matrices définies non négatives (ce sont des matrices de projection deX, respectivement sur le vecteureet sur le sous espace orthogonal àe). On applique donc le théorème
A.3. Détermination de ts 159
τ f a 10−5 10−6 5.73×10−7 10−7 10−8 10−9 10−10 10−11 tp 4.417 4.892 5.000 5.327 5.731 6.109 6.467 6.807
TableA.3 – Seuilstsà appliquer en fonction du taux de fausse alarme. En gras, le seuil utilisé en pratique.
de Fisher-Cochrane à X, on obtient alors notamment : Z2 = X>A2X=X>
IN2
F − 1
NF2ee>
X∼χ2(NF2−1) (A.5)
= X>X− 1
NF2X>ee>X (A.6)
= kXk2−
1 NF
NF2
X
k=1
Xk
2
(A.7)
=
NF2
X
k=1
p(αk, βk)−mF
σ
2
aveck=αkNF +βk,(αk, βk)∈N2, βk< NF (A.8)
= 1
σ2
NF2
X
k=1
(p(αk, βk)−mF)2 (A.9)
= 1
σ2 X
(m,n)∈Fi,j
(p(m, n)−mF)2 (A.10)
= NF2
σ2 sFi,j (A.11)
On déduit alors que NσF22Ssuit une loi duχ2àNF2−1 degrés de liberté. On a seulementNF2−1 degrés de liberté car la moyenne mF doit être estimée à partir des données, ce qui enlève un degré de liberté (ceci se traduit par la projection sur l’espace orthogonal àeà l’aide de la matrice de projection A2).
Finalement, on peut dire que S ∼ Nσ22 F
χ2(NF2 −1). En pratique, on a NF >> 1 (typiquement, on prend des tailles de ROIs variant entreNF = 15 etNF = 60. On peut donc approcher la loi du chi-deux obtenue pour S par une loi normale : S ∼ Nσ22
F−1N NF2 −1,2(NF2−1
∼ Nσ22 F
N NF2,2NF2
. On déduit donc de cette approximation queS est gaussienne, puisque elle peut s’écrire comme combinaison linéaire de variables gaussiennes.
Pour déterminer le seuilts, on est donc ramené aux cas précédents car S−µσ S
S ∼ N(0,1).
La courbe du choix du seuilts en fonction du taux de fausse alarme (voir figure A.1) est identique à celles utilisées pour fixertp et tm.
Pour une utilisation pratique, nous avons choisits= 5 ce qui correspond à un taux de fausse alarme théorique deτ f a= 5.73×10−7. Avec un raisonnement identique à celui mené pour le réglage detm, sur une image de 3002×3002 pixels et un découpage en ROIs de 15×15 pixels, on obtient en moyenne 1 fausse alarme (qui est une ROI de 15×15 pixels par image traitée.
Annexe B
Etude psychovisuelle pour la fixation des seuils t p , t m et t s
Sommaire
B.1 Choix du seuiltp . . . 163 B.2 Choix des seuilstmet ts . . . 163
161
B.1. Choix du seuil tp 163 On remarque la présence des deux seuilstm ettsdans l’équation 2.19 qui permettent de paramétrer la sensibilité de détection. Comme pour le seuil tp de l’équation 2.12, ces seuils peuvent être réglés de manière à assurer, sous l’hypothèse que pi,j suit un modèle gaussien, un taux de fausse alarme constant sur les trois détections (détection d’un pixel, détection d’une zone à valeur moyenne atypique, détection d’une zone à valeur de variance atypique). Le calcul théorique des trois seuils par cette méthode peut être trouvé en annexe A.
Néanmoins, dans cette section, nous avons préféré privilégier une approche empirique pour le réglage de ces seuils. En effet, la méthode de détection exposée vient en début de chaîne, et nous avons vu qu’elle doit avoir une bonne sensibilité car les défauts non détectés ici ne pourront plus l’être dans les étapes suivantes, et seront donc définitivement exclus de l’analyse de qualité de l’image. Dans ce contexte, il est alors préférable de régler les seuils de détection afin d’avoir la performance en terme de détection voulue, plutôt que de se fixer un taux de fausse alarme cible.
Afin de régler les trois seuilstp,tmet ts, nous procédons donc par observation visuelle : le but est de déterminer le seuil se trouvant à la limite de visibilité des défauts détectés par chacune des méthodes. Dans cette section, nous allons, à partir d’observations faites sur des images simulées, décider empiriquement de la valeur des seuils à adopter.
B.1 Choix du seuil t
pLe choix du seuiltpa été obtenu de la manière suivante : on a simulé des images de bruit blanc gaussien, de variance σ2 de taille 60×60 pixels, dans lesquels on a introduit un pixel atypique à une position aléatoire sur chaque image. Nous avons fait croître la valeur de ce pixel de moyenne de l’image +σ à moyenne de l’image + 8σ. Nous avons ensuite calculé dix réalisations différentes du bruit (échantillons 1 à 10), créant ainsi 8×10 = 80 imagettes à évaluer. Une série d’imagettes pour une seule réalisation de bruit est représentée sur la figure B.1.
Chacune de ces imagettes à été évaluée par quatre experts humains. Il leur a été demandé d’identifier les imagettes où ils voyaient un pixel défectueux. Ces experts industriels sont initiés au problème de détection de défauts dans notre contexte, et savent donc à partir de quel seuil un pixel peut être considéré comme défectueux.
Le contraste des images visualisées a été réglé de manière à ce que toute la dynamique de l’image soit visualisable sur les 256 niveaux de gris affichés par l’écran.
Les tables B.1 et B.2 représentent les résultats de ce test effectué par quatre observateurs humains, sur dix réalisations de bruit différentes (la position du pixel défectueux a été changée à chaque réalisation).
Pour chaque réalisation, lorsque la majorité des observateurs, c’est à dire au moins trois observateurs sur quatre, a indiqué la présence d’un pixel défectueux, on a considéré que le pixel inséré est un pixel à détecter par la méthode de détection. Ces pixels sont resensés dans la table B.1. On constate que tous les pixels ayant un niveau de 7σ au dessus du niveau moyen sont détectés, comme la grande majorité des pixels ayant un niveau de 6σ au dessus du niveau moyen. Le seul cas où ces derniers n’ont pas été détectés correspond à une configuration où le pixel défectueux a été placé au bord de l’image, ce qui l’a rendu difficilement détectable.
La table B.2 synthétise les résultats. Elle permet de voir, si on exclut le cas du pixel défectueux présent dans un bord de l’image, que dans tous les cas le pixel a été détecté à partir d’un seuil correspondant à tp= 6. Dans un cas, un pixel à tp = 5 a été détecté par les observateurs. A partir de cette étude, nous pouvons raisonnablement choisirtp= 6, ce qui correspond à la grande majorité des défauts de type pixel isolé à détecter.