Discussion

Toutes ces d´emarches (l’algorithme MCEM mis `a part) s’inscrivent dans un raisonne- ment conditionnel puisqu’elles m`enent `a la maximisation de la vraisemblance jointe de (Y, ξ). Et mˆeme si la m´ethode de Breslow et Clayton se justifie par une approximation de la vraisemblance marginale, cela concerne surtout le param`etre β et moins les compo- santes de la variance qui sont estim´ees dans une ´etape ult´erieure. En tout cas, toutes ces m´ethodes ´evitent le calcul int´egral.

La d´emarche de Breslow et Clayton et celle de Wolfinger se sont av´er´ees ˆetre deux fa¸cons de justifier la m´ethode de Schall mise en place en 1991 puisqu’elles aboutissent aux mˆemes ´equations. La m´ethode de Engel et Keen, quant `a elle, diff`ere au niveau de la proc´edure d’estimation avec le calcul de la matrice de variance marginale des erreurs.

Notons, cependant, que dans toutes ces m´ethodes, l’estimation des param`etres des effets fixes et des composantes de la variance se fait moyennant une pr´ediction de l’effet al´eatoire ξ.

Comme nous l’avons d´ej`a ´evoqu´e, la m´ethode de quasi-vraisemblance p´enalis´ee de Bres- low et Clayton [7] s’appuie sur le fait que les param`etres maximisant la vraisemblance marginale approch´ee par approximation de Laplace sont ceux qui maximisent la quasi- vraisemblance p´enalis´ee de Green [24]. Notons que cette approximation de Laplace a

´et´e reprise dans le cadre g´en´eral des HGLM (Hierarchical Generalized Linear Models) qui englobent les GL2M par Lee et Nelder [35]. Dans ces mod`eles, ils d´efinissent la h- vraisemblance comme la vraisemblance jointe d´efinie `a partir de la loi jointe comme le produit de la loi deY|ξ et deξ. Dans le cas des GL2M, la maximisation de cette vraisem- blance jointe est identique `a la maximisation de la quasi-vraisemblance p´enalis´ee. Or, Lee

1.4.4 Discussion 47

et Nelder montrent que la solution en β de la maximisation de la h-vraisemblance maxi- mise la vraisemblance marginale approch´ee par approximation de Laplace. La solution en ξ est ensuite utilis´ee pour l’estimation des composantes de la variance par une proc´edure de nouveau ´equivalente dans le cas des GL2M `a celle de Schall [51].

Il est ´egalement int´eressant de souligner ici que la m´ethode de Schall trouve une justifi- cation du point de vue bay´esien consid´er´e par Stiratelli, Laird et Ware [57] qui s’int´eressent au mode a posteriori lorsque l’on suppose un a priori non informatif uniforme sur β. En effet, comme l’a sugg´er´e Schall [51], en notant g(β|G) la distribution a priori normale centr´ee, de variance G du vecteur de param`etre β, et ind´ependante de g(ξ|D), la distri- bution normale des effets al´eatoires consid´er´ee comme distribution a priori, nous avons :

f(β, ξ|Y, G, D) ∝ f(Y|β, ξ)g(β|G)g(ξ|D)

∝ f(Y, ξ|β, D)g(β|G).

Ainsi, en prenant un a priori non informatif (avec une variance infinie ou plus exactement en terme matriciel tel queG⁻¹ →0), on a :

f(β, ξ|Y, G, D)∝f(Y, ξ|β, D).

La maximisation de f(β, ξ|Y, G, D) (la densit´e a posteriori de β etξ) correspond alors `a la maximisation de la vraisemblance jointe de (Y, ξ). Ce raisonnement bay´esien conduit donc aux mˆemes ´equations (1.11).

Par la suite, nous reviendrons sur la m´ethode de Schall pr´esent´ee pr´ec´edemment et bas´ee sur un principe de lin´earisation du mod`ele. On cherchera pr´ecis´ement `a d´efinir des crit`eres de choix de mod`ele `a partir des mod`eles lin´earis´es obtenus `a convergence de la proc´edure d’estimation.

Chapitre 2

S´ election de mod` ele dans le mod` ele exponentiel mixte lien log

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous nous int´eressons au probl`eme du choix de mod`ele dans les GL2M.

Plus pr´ecis´ement, nous nous pla¸cons ici dans le cadre particulier du mod`ele exponentiel lien logarithme `a effets al´eatoires gaussiens. Ce probl`eme a ´et´e guid´e, au d´epart, par la mod´elisation de donn´ees de d´efaillance en fiabilit´e sur lesquelles nous revenons en section 2.2.

Pour traiter de la question de la s´election de mod`ele en statistique, il existe de nombreux crit`eres permettant de choisir le “meilleur” mod`ele parmi plusieurs mod`eles consid´er´es.

Parmi eux, un certain nombre sont bas´es sur la vraisemblance dont les plus connus sont les crit`eres AIC et BIC. Nous pr´esentons ainsi en section 2.3 les principaux fondements de ces deux crit`eres classiques de s´election de mod`ele.

Dans ce travail, nous cherchons `a utiliser ces crit`eres d’information usuels bas´es sur la vraisemblance. Par commodit´e, nous noterons, par la suite,IC le crit`ere g´en´eral d’infor- mation d´efini par :

IC =−2 logf(y|θ) +ˆ pen K

o`upen d´esigne la p´enalit´e impos´ee pour chaque param`etre introduit dans le mod`ele etK le nombre de param`etres du mod`ele. Notons que la d´emarche que nous proposons ici et que nous pr´esentons dans le cadre du crit`ere g´en´eral IC s’adaptera tout naturellement `a

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n’importe quel crit`ere classique bas´e sur la vraisemblance.

L’utilisation de ces crit`eres est confront´ee ici et de fa¸con g´en´erale dans les GL2M au probl`eme de la non accessibilit´e de la vraisemblance marginale. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement le crit`ere IC dans le cadre des GL2M et devons chercher `a approximer la vraisemblance. Pour r´esoudre ce probl`eme, nous proposons de traiter la question du choix de mod`ele conjointement `a la proc´edure d’estimation des param`etres. En effet, diff´erentes d´emarches d’estimation sont envisag´ees menant toutes `a la construction de mod`eles lin´earis´es. Pour chacune de ces d´emarches, nous d´efinissons alors des crit`eres de choix de mod`ele bas´es sur la vraisemblance marginale calcul´ee dans le mod`ele lin´earis´e obtenu `a la convergence de la proc´edure d’estimation utilis´ee.

Dans le cadre des mod`eles exponentiels mixtes lien log, nous envisageons plusieurs m´ethodes d’estimation et proposons, pour chacune d’entre elles, un crit`ere associ´e. Tout d’abord, nous nous int´eressons, dans la section 2.4, `a une m´ethode pr´esent´ee au chapitre 1 et utilisable quelque soit le GL2M : la m´ethode de Schall. Nous pr´esentons ensuite en section 2.5 une seconde m´ethode sp´ecifique `a la loi exponentielle et d´eveloppons un crit`ere associ´e `a cette m´ethode. Dans ces deux approches, les approximations ne sont pas faites aux mˆemes endroits, ce qui induit un calcul diff´erent des crit`eres de choix de mod`ele. Des r´esultats de simulations sont pr´esent´es pour observer le comportement des deux crit`eres d´evelopp´es. Pour finir, en section 2.7, nous d´efinissons un autre crit`ere bas´e, cette fois-ci, sur une approximation directe de la vraisemblance. Nous le comparons sur simulations aux crit`eres pr´ec´edents afin de mesurer l’impact des lin´earisations sur la qualit´e de la s´election.