Introduction

N’existant pas de m´ethode standard contrairement aux GLM ou aux L2M, la question de l’estimation des effets fixes et des composantes de la variance dans les GL2M a ´et´e

1.4.1 Introduction 33

consid´er´ee dans de nombreux travaux par divers auteurs. Parmi ces travaux, un certain nombre ne concernent qu’un cas particulier de loi au sein de la famille exponentielle ou une mod´elisation particuli`ere des effets al´eatoires (surdispersion ou effets al´eatoires emboˆıt´es par exemple). Moins nombreux sont ceux qui s’int´eressent `a ces mod`eles de fa¸con g´en´erale.

Nous donnerons ici un aper¸cu de ces travaux dont un certain nombre sont pr´esent´es par Trottier [63].

Un GL2M est correctement d´efini conditionnellement aux effets al´eatoires ξ. Ceci constitue l’obstacle principal `a la mise en place de proc´edures d’estimation dans la me- sure o`u ces effets al´eatoires qui se r´ealisent au cours de l’exp´erience ne sont pas observ´es directement. Cet obstacle est d’autant plus important que l’on cherche `a estimer les pa- ram`etres de leur distribution. Comme nous ne connaissons que la loi des observations conditionnellement aux effets al´eatoires, la fonction de log-vraisemblance des param`etres β etσ² s’obtient par int´egration :

L(β, σ²;y1, . . . , yn) = Z

IR^q

Yn

i=1

f(yi|ξ)ϕ(ξ) dξ.

Mais ce calcul d’int´egrale multiple n’est pas envisageable de fa¸con explicite. Diff´erentes approches ont ´et´e propos´ees menant, en tout ´etat de cause, `a des m´ethodes non exactes par le biais d’approximations r´ealis´ees `a diff´erents niveaux selon les raisonnements.

Une d´emarche classique consiste en l’obtention de la fonction de vraisemblance mar- ginale et en sa maximisation moyennant des techniques d’int´egration num´eriques. Les diff´erentes int´egrales sont ainsi approch´ees num´eriquement par quadrature gaussienne par exemple. Cette d´emarche a ´et´e notamment adopt´ee par Anderson et Aitkin [3] pour des donn´ees binaires. Mais ces m´ethodes d’int´egration multiple sont num´eriquement exi- geantes et sont difficilement pratiquables en toute g´en´eralit´e malgr´e le d´eveloppement des capacit´es informatiques. En effet, elles donnent des r´esultats plutˆot satisfaisants dans cer- tains cas (dimension q faible, effets emboˆıt´es) mais se heurtent `a des probl`emes de calcul d`es que la dimension des effets al´eatoires devient grande.

Les m´ethodes de Monte Carlo par chaˆınes de Markov sont ´egalement utilis´ees comme alternative. Zeger et Karim [69] ont, ainsi, propos´e un algorithme de Gibbs sampling pour l’estimation des param`etres. McCulloch [39] propose ´egalement une m´ethode s’appuyant sur une ´etape de Metropolis-Hastings conduisant `a la construction d’un algorithme de type Monte Carlo EM. En effet, du fait de la non accessibilit´e de la distribution conditionnelle

des effets al´eatoires sachant les donn´ees observ´ees, l’utilisation directe de l’algorithme EM se trouve confront´ee au probl`eme du calcul de l’esp´erance conditionnelle de la vrai- semblance des donn´ees compl`etes sachant les donn´ees observ´ees. Pour contourner cette difficult´e, McCulloch propose alors une variante de l’algorithme EM qui introduit un al- gorithme de Metropolis-Hastings dans le but d’approcher par Monte Carlo l’esp´erance de l’´etape E.

Puisque la distribution marginale des observations est tr`es difficile `a atteindre, une autre d´emarche est de s’inscrire dans un raisonnement conditionnel. C’est ce que fait Schall [51], par exemple, en effectuant une lin´earisation du mod`ele. Ainsi replong´e dans le cadre lin´eaire, le probl`eme du calcul int´egral est alors contourn´e. D’autres d´emarches, s’inscri- vant ´egalement dans un raisonnement conditionnel puisqu’elles n’abordent pas directe- ment le d´econditionnement, ont ´et´e d´evelopp´ees.

Dans la section suivante, nous revenons en d´etails sur l’algorithme Monte Carlo EM propos´e par McCulloch [39]. Nous avons choisi de d´ecrire cette m´ethode car nous se- rons amen´es `a l’adapter dans le cadre de l’estimation des param`etres d’un m´elange quel- conque de mod`eles lin´eaires g´en´eralis´es mixtes. Nous nous focalisons ensuite sur les ap- proches dites “de lin´earisation”. Apr`es avoir d´ecrit pr´ecis´ement, dans un premier temps, la m´ethode propos´ee par Schall, nous revenons sur quelques-unes de ces m´ethodes qui

´evitent le calcul int´egral et qui vont s’av´erer ˆetre diff´erentes fa¸cons de justifier la m´ethode de Schall.

Dans toute la suite, on consid`ere le vecteur d’observationsy = (y1, . . . , yn)^′, r´ealisation du vecteur al´eatoire Y mod´elis´e par un GL2M de fonction de lien g et de fonction de variance v. On notera X = (x₁, . . . , x_n)^′ et U = (u₁, . . . , u_n)^′ les matrices d’incidence suppos´ees connues de dimensions respectives n ×p et n × q associ´ees respectivement aux effets fixes β et aux effets al´eatoires ξ. Le vecteur ξ regroupera K effets al´eatoires : ξ = (ξ₁^′, . . . , ξ_K^′ )^′ et on supposera : ∀j ∈ {1, . . . , K}, ξj ∼ Nqj(0, σ_j²Aj) avec les ma- trices Aj, de dimension qj ×qj, (q = PK

j=1qj) connues. Ainsi ξ ∼ N^q(0, D) avec D = diag{σ_j²Aj}^j=1,...,K. Les composantes de la variance, not´ees σ² = (σ₁², . . . , σ_K² ), sont des param`etres inconnus. Remarquons que dans les GL2M, une information suppl´ementaire est apport´ee par la fonction de variance. Elle implique, en effet, qu’il n’y a pas de pa- ram`etre σ²₀ associ´e `a la variance des r´esidus contrairement aux L2M. Cependant, notons tout de mˆeme, qu’il nous est aussi laiss´e la possibilit´e d’estimer un param`etre de surdis-