n’importe quel crit`ere classique bas´e sur la vraisemblance.
L’utilisation de ces crit`eres est confront´ee ici et de fa¸con g´en´erale dans les GL2M au probl`eme de la non accessibilit´e de la vraisemblance marginale. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement le crit`ere IC dans le cadre des GL2M et devons chercher `a approximer la vraisemblance. Pour r´esoudre ce probl`eme, nous proposons de traiter la question du choix de mod`ele conjointement `a la proc´edure d’estimation des param`etres. En effet, diff´erentes d´emarches d’estimation sont envisag´ees menant toutes `a la construction de mod`eles lin´earis´es. Pour chacune de ces d´emarches, nous d´efinissons alors des crit`eres de choix de mod`ele bas´es sur la vraisemblance marginale calcul´ee dans le mod`ele lin´earis´e obtenu `a la convergence de la proc´edure d’estimation utilis´ee.
Dans le cadre des mod`eles exponentiels mixtes lien log, nous envisageons plusieurs m´ethodes d’estimation et proposons, pour chacune d’entre elles, un crit`ere associ´e. Tout d’abord, nous nous int´eressons, dans la section 2.4, `a une m´ethode pr´esent´ee au chapitre 1 et utilisable quelque soit le GL2M : la m´ethode de Schall. Nous pr´esentons ensuite en section 2.5 une seconde m´ethode sp´ecifique `a la loi exponentielle et d´eveloppons un crit`ere associ´e `a cette m´ethode. Dans ces deux approches, les approximations ne sont pas faites aux mˆemes endroits, ce qui induit un calcul diff´erent des crit`eres de choix de mod`ele. Des r´esultats de simulations sont pr´esent´es pour observer le comportement des deux crit`eres d´evelopp´es. Pour finir, en section 2.7, nous d´efinissons un autre crit`ere bas´e, cette fois-ci, sur une approximation directe de la vraisemblance. Nous le comparons sur simulations aux crit`eres pr´ec´edents afin de mesurer l’impact des lin´earisations sur la qualit´e de la s´election.
2.2 Mod´elisation de donn´ees de d´efaillance 51
Lorsqu’on s’int´eresse `a la mod´elisation de donn´ees de d´efaillance de mat´eriels c’est-`a- dire des dur´ees de fonctionnement avant une panne, la mod´elisation par la loi exponentielle traduit une hypoth`ese de non vieillissement : la probabilit´e de d´efaillance `a un instant donn´e est ind´ependante du temps pass´ee en ´etat de fonctionnement (loi sans m´emoire).
La loi exponentielle va donc jouer ici un rˆole central et la param´etrisation consid´er´ee est :
Y ∼ Exp(λ)
Fdr F(y) =P(Y < y) = 1−exp(−yλ) Fiabilit´e R(y) = 1−F(y) = exp(−λy) Densit´e f(y) = 1λexp(−λy),
d’o`u E(Y) =λ et var(Y) =λ2.
Si l’on observait de fa¸con ind´ependante une seule d´efaillance pour n mat´eriels de mˆeme type, l’´echantillon (y1, y2, ..., yn) serait constitu´e de n r´ealisations ind´ependantes de la loi E(λ). La log-vraisemblance serait alors :
L(λ, y) =−nln(λ)− Xn
i=1
yi λ, et l’estimation du param`etreλ par maximum de vraisemblance :
bλ= 1 n
Xn
i=1
yi.
Dans une situation o`u on dispose de I mat´eriels r´eparables et o`u on observe plusieurs d´efaillances pour chacun d’entre eux (ni pour le mat´eriel i), les observations ne peuvent plus ˆetre consid´er´ees a priori ind´ependantes mˆeme si on suppose que chaque r´eparation remet le mat´eriel dans son ´etat de fonctionnement d’origine (“as good as new”). En effet, il intervient un effet “mat´eriel”. Cet effet mat´eriel est inconnu et nous ne nous int´eressons pas `a l’estimation de ses niveaux. Au contraire, nous les consid´erons comme ´echantillonn´es d’une famille infinie de niveaux possibles. L’effet mat´eriel est alors mod´elis´e comme effet al´eatoire par une variable al´eatoireξi que nous supposerons suivre une loi normale. Ainsi l’effet al´eatoire introduit une d´ependance marginale entre les donn´ees de d´efaillance pour un mˆeme mat´eriel. Par contre, pour un mat´eriel donn´e, les d´efaillances successives seront suppos´ees ind´ependantes entre elles et de loi exponentielle de mˆeme param`etre, ce qui traduit l’hypoth`ese “as good as new”.
On aboutit `a la mod´elisation des ni d´efaillances yij du mat´eriel i (i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , ni) :
Yij|ξi ∼ Exp(µξ,ij)
en consid´erant µξ,ij comme une variable al´eatoire qui est ici mod´elis´ee par : µξ,ij = exp(Θij) avec Θij ∼ N(x′ijβ, σ2),
ou encore :
µξ,ij = exp(x′ijβ+ξi) avec ξi ∼ N(0, σ2),
lesξi´etant des variables al´eatoires ind´ependantes etβun param`etre inconnu de dimension p×1 associ´e au vecteur de covariables xij de dimension p×1.
Notons que le fait de relierµξ,ij aux effets par la fonction exponentielle assure la positivit´e du param`etre de la loi exponentielle. Rappelons ´egalement que les coefficients β (effets fixes), identiques quels que soient les mat´eriels, mesurent l’effet moyen des covariables.
L’effet al´eatoire, quant `a lui, permet de mesurer la variabilit´e inter-mat´eriel. Par la suite, dans les simulations, nous consid`ererons la mod´elisation la plus simple des effets fixes par une constante commune `a toutes les observations. Evidemment, ces effets fixes peuvent ˆetre mod´elis´es de fa¸con plus approfondie si on dispose d’information suppl´ementaire au travers de covariables.
De fa¸con ´equivalente, en consid´erant pour le mat´erieliles observationsyi = (yi1, . . . , yini)′ r´ealisation du vecteur al´eatoire Yi, on peut r´esumer le mod`ele de la fa¸con suivante pour tout i= 1. . . , I :
Yi|ξi ∼ Exp(µξ,i) avec
( µξ,i = exp(Xiβ+Uiξi) ξi ∼ N(0, σ2)
o`uXi est la matrice d’incidence de dimension ni×passoci´ee aux effets fixes,Ui le vecteur de 1 de dimensionni×1 associ´e au mat´erielietβ le vecteur des param`etres fixes inconnus de taille p.
Notons que toutes les op´erations d´efinies sur le vecteur sont ici des op´erations effectu´ees terme `a terme.
Finalement, en utilisant une notation matricielle, nous avons Y de taille n = PI
i=1ni, ξ