discrétisation de l’équation d’évolution. Cette approche permet de plus de manipuler simplement la topologie des surfaces considérées. Elle conduit à une résolution rapide de l’équation d’évolution ce qui permet de proposer des applications interactives où le praticien peut guider et corriger le modèle en cours de déformation.
Chapitre 2
Maillages simplexes
L
es maillages simplexes constituent une repré- sentation discrète des modèles déformables surfaciques. Ce sont des maillages discrets régu- liers topologiquement duaux des triangulations. Ils sont fondés sur un formalisme élégant permettant de définir la forme d’une surface localement en chaque sommet du maillage. Ils permettent de re- présenter des surfaces avec n’importe quelle topolo- gie. Nous rappelons ici la définition des maillagessimplexes (Delingette, 1994a). Nous définissons des notions de qualité géométrique et topologique des maillages simplexes et nous proposons des algo- rithmes de raffinement et de décimation (Monta- gnat et al., 2000; Scapel, 1999). Nous introduisons un algorithme de changement automatique de to- pologie que nous comparons à l’approche classique par ensembles de niveaux (Delingette et Montagnat, 2000a).
2.1 Topologie
Les maillages simplexes ont été introduits par (Delingette, 1994a). Dans ce paragraphe, nous définissons les maillages simplexes complets de IR3 que nous utilisons pour représenter des surfaces déformables. Nous nous intéressons plus particulièrement aux 1- et aux 2-maillages simplexes per- mettant de représenter des contours et des surfaces respectivement. Le lecteur désireux d’étudier la généralisation auxk-maillages simplexes pourra se reporter à (Delingette, 1994a).
Sommets
Unk-maillage simplexe deIRn, est un maillage dont chaque sommet possède exactement (k+ 1) voisins. Il est défini par l’ensemble de ses sommets {i}i∈!0,d−1" et des relations de voisinage pour chaque sommet (PP1(i), . . . ,PPk+1(i))∈(IN →IN)k+1 vérifiant les propriétés suivantes.
• Unicité. Un sommet ne peut pas être son propre voisin et un sommet ne peux pas posséder deux fois le même voisin :
∀i∈!0,d−1",∀j∈!1,k+ 1",PPj(i).=i
∀i∈!0,d−1",∀j.=l∈!1,k+ 1",PPj(i).=ietPPl(i).= PPj(i).
• Réciprocité. Si iest un voisin de lalors l est un voisin de i:
PPj(i) =l⇒ ∃m∈!1,k+ 1",PPm(l) =i.
On notepi la position du sommeti.
Arêtes
Les relations de voisinage permettent de définir lesarêtesqui relient certains sommets du maillage entre eux. D’après la définition donnée ci-dessus, unk-maillage simplexe ne peut avoir au plus qu’une arête reliant deux sommets.
Fig. 2.1 – 1-maillage simplexe ouvert et 2-maillage simplexe fermé deIR2.
Faces
On appellefaced’un2-maillage simplexe un ensemble de sommets{PFi(0),PFi(1), . . . ,PFi(m− 1)} vérifiant le propriétés suivantes.
• Fermeture. Les sommets d’une face sont reliés deux à deux par une succession d’arêtes jointives fermée :
∀j∈!0,m−1",∃l∈!1,3" tel que PPl(PFi(j)) = PFi((j+ 1)[m]).
2.1. Topologie 49
• Unicité. Aucune arête ne partage une face en deux :
∀j,h∈!0,m−1",∀l∈!1,3",PPl(PFi(j)) = PFi(h)⇒h= (j+ 1)[m]∨j= (h+ 1)[m].
Une face définit donc un polygone (pPFi(0),pPFi(1), . . . ,pPFi(m−1)) généralement non plan de som- mets adjacents. D’après les propriétés précédentes, deux faces partagent au plus une arête. Deux faces partageant une arête sont dites adjacentes. Les faces d’un maillage réalisent une partition de l’ensemble des sommets, chacun appartenant à exactement trois faces.
Orientation
Les relations de voisinage induisent une orientation des arêtes autour des sommets et donc une orientation des sommets d’unk-maillage simplexe. On impose à tous les sommets d’une face d’être orientés de manière cohérente, induisant ainsi une orientation de la face. La figure 2.2 illustre une face orientée à partir de l’orientation de ses sommets (à gauche) et l’orientation de l’ensemble des sommets et des faces d’un 2-maillage simplexe (à droite).
Fig. 2.2 –Orientation des sommets d’une face, orientation induite de la face (à gauche) et orien- tation induite sur l’ensemble d’un 2-maillage simplexe (à droite).
2.1.1 Maillages simplexes et triangulations
Il existe une équivalence topologique entre les k-maillages simplexes et les k-solides. Dans le cas des 1- et des 2-maillages simplexes, le tableau 2.3 définit la dualité entre les composants d’un simplexe et ceux d’un solide.
1-maillage simplexe ⇔ polygone 2-maillage simplexe ⇔ triangulation
sommet ⇔ arête sommet ⇔ face
arête ⇔ sommet arête ⇔ arête
triangle ⇔ sommet Fig. 2.3 – Dualité entre les maillages simplexes et les solides.
En particulier, un 2-maillage simplexe est topologiquement dual d’une triangulation, comme l’illustre la figure 2.4. Cette dualité est purement topologique et il n’existe pas d’homéomorphisme transformant les coordonnées d’un maillage simplexe en les coordonnées du solide dual.
La figure 2.5 montre plusieurs surfaces simplexes, de différentes topologies.
Fig. 2.4 –1-, 2-maillage simplexe (en traits pleins) et leurs duaux topologiques (en tirets disconti- nus).
Fig. 2.5 – Quatre exemples de2-maillages simplexes de IR3.
2.1. Topologie 51
2.1.2 Bord d’un maillage simplexe
Un bord d’un k-maillage simplexe est un (k−1)-maillage simplexe. Un 1-maillage simplexe possède exactement zéro ou un bord (il est soit ouvert, soit fermé). Un bord d’un1-maillage simplexe est une arête marquée absente qui relie deux sommets correspondant aux extrémités du maillage.
Un 2-maillage simplexe peut posséder plusieurs bords. Chaque bord est une face marquée absente qui constitue un trou dans la surface.
La figure 2.6 représente un1- et un2-maillage simplexe avec bord.
bords
Fig. 2.6 – 1- et 2-maillage simplexe avec un bord.
2.1.3 Contour d’un 2-maillage simplexe
Un contour d’un 2-maillage simplexe M est un 1-maillage simplexe dont les sommets et les arêtes coïncident avec des sommets et des arêtes de M. Les contours sont utiles pour définir des opérations topologiques et appliquer des contraintes localement sur la surface d’un maillage. On définit un contour Ci de longueur l sur un 2-maillage simplexe M de d sommets à l’aide d’une fonction d’adjacence :
PCi : !0,l−1" → !0,d−1"
j (→ PCi(j) le rang d'un sommet deM qui vérifie les propriétés :
• Fermeture. Le contour est nécessairement fermé : ∀j ∈ !0,l−1",∃k∈ !1,3",PCi((j+ 1)[l]) = PPk(j).
• Contour simple.Un contour ne peut pas se recouper : ∀j,k∈!0,l−1",PCi(j).= PCi(k).
• Indépendance.Un sommet appartenant à un contour ne peut pas avoir ses trois voisins sur le contour :∀j ∈!0,l−1",∃k∈!1,3",∀m∈!0,l−1",PPk(PCi(j)).= PCi(m).
2.1.4 Voisinage d’un sommet
On appelle voisinage d’ordre η d’un sommet i et on note Vη(i) l’ensemble des sommets du maillage qui sont topologiquement distants de i d’au plus η. C’est à dire qu’il existe un chemin d’arêtes jointives de longueur au plusη entre iet chaque sommet de Vη(i). La figure 2.7 illustre les voisinages d’ordre1,2 et3 d’un sommet d’un2-maillage simplexe.
p pi
pi i
Fig. 2.7 –Voisinages d’ordre 1, 2 et 3 d’un sommet d’un 2-maillage simplexe.
On note |Vη(i)|le nombre de sommets du voisinageVη(i).