4.3 Recalage
4.3.2 Estimation des transformations globales
image est décrite dans (Subsol et al., 1998; Guéziec et Ayache, 1992). Cette approche nécessite d’extraire d’abord une surface de l’objet étudié puis les lignes de crête sur cette surface.
(Clarysse et al., 1997) proposent un algorithme de mise en correspondance de surfaces. Ils uti- lisent des descripteurs géométriques basés sur la courbure locale des points des deux surfaces. Le critère d’appariement des morceaux de surface fait intervenir simultanément une mesure de distance des courbures et la proximité spatiale.
Enfin, de nombreux travaux reposent sur le recalage d’une image dans son ensemble avec une autre. Ce recalage peut être rigide (Ourselin et al., 1998) ou non-rigide, élastique (Miller et al., 1993), ou visqueux (Thirion, 1998; Christensen et al., 1996). Dans ce dernier cas, le modèle s’apparente plutôt à un modèle déformable volumique.
Si les données sont définies par un nuage de points comme c’est le cas dans la figure 4.4,PPP(pi) est simplement le Point le Plus Proche depi. Dans le cadre des images médicales 3D nous verrons dans le chapitre 5 comment les appariements sont déterminés.
4.3. Recalage 111
rigide (au sens deC'(R,t) =:ni=1#RPPP(pi) +t−pi#2) qui recale les données sur le modèle.
En résolvant l’équation ∂C(R,t)∂t = 0, on montre que : t= 1
n
n
0
i=1
(PPP(pi)−Rpi).
Pour estimer la rotation, on utilise le formalisme des quaternions. Un quaternion q est un élé- ment de l’espace à quatre dimensionsQ/ constituant une généralisation des nombres complexes. Un quaternion est identifiable à un vecteurq= (a,vT)T oùa∈IRetv∈IR3. On appelleq¯= (a,−vT)T le quaternion conjugué de q. Un quaternion de la forme (0,vT)T est dit pur. Le produit de deux quaternionsp= (a,vT)T etq= (b,wT)T est défini par pq= (ab−v.w,(v∧w+aw+bv)T)T. Une norme est définie surQ/ :|q|2 =a2+#v#2. Pour tout quaternion unitaire q, la relation :
Rq : Q/ → Q/ p (→ qpq¯
définit un automorphisme de Q/ qui conserve les quaternions purs. Sa restriction à IR3 représente une rotation deIR3. Les quaternions admettent deux représentations matricielles. SoitSv la matrice produit vectoriel à gauche par le vecteur v:
Sv=
0 −vz vy vz 0 −vx
−vy vx 0
.
Siq= (a,vT)T, la matrice Mq de dimensions 4×4 associée est : Mq=aI+
* 0 −vT v Sv
- .
Le produit matriciel est équivalent au produit des quaternions, c’est à dire que∀p,q∈Q,M/ pMq= Mpq. De la même manière, la matrice :
M¯q=aI+
* 0 vT
−v Sv
-
fournit une autre représentation des quaternions vérifiant ∀p,q ∈Q,/ M¯pM¯q = ¯Mpq. On appelle M¯q l’anti-quaternion deq.
Soitp
i = (0,(pi−n1 :ni=1pi)T)T etPPP(pi) = (0,(PPP(pi)−1n:ni=1PPP(pi))T)T les positions des points appariés dans le repère barycentrique, identifiés à des quaternions purs. Exprimons le critère de la rotation dans le repère barycentrique en utilisant les quaternions :
C(q) =
n
0
i=1
#qp
iq¯−PPP(pi)#2 =qTAq avec
A=
n
0
i=1
(MPPP(pi)+ ¯Mp
i)2.
Pour minimiser le critèreC(q) sous la contrainte |q|= 1on utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Le Lagrangien :
L(q) =C(q)−ρ(|q|2−1) =qT.(A−ρI)q+ρ
est minimum si ∂L(q)∂q = 0, c’est à dire(A−ρI)q= 0. Les optimums sont les vecteurs propres de la matrice Aet le minimum absolu est celui qui est associé à la plus petite des valeurs propres.
Similitudes
Une similitude est la composition d’une transformation rigide et d’une homothétie. Les simili- tudes ont donc sept degrés de liberté. SoitTsimilitudele groupe des similitudes deIR3. La transformée d’un point ppar la similitude de translation t, de rotation Ret de facteur d’échelle eest :
∀T = (R,t,e)∈Tsimilitude,T(p) =ERp+t,
oùE= diag(e, . . . ,e). Comme dans le cas des transformations rigides, on écrit le critère à optimiser issu de l’équation 4.2 :
C(R,t,e) =
n
0
i=1
#ERpi+t−PPP(pi)#2.
Ce critère n’est plus symétrique mais il correspond au critère optimal qui minimise la norme du bruit des points de données.
La translation test déterminée par les barycentres comme dans le cas précédent. En travaillant dans le repère barycentrique, le critère se simplifie :
C(R,e) =
n
0
i=1
#ERp
i−PPP(pi)#2 =e2σx2−2eTr(RΣTxy) +σ2y,
où σx2 = :i#pi#, σ2y = :i#PPP(pi)# et Σxy = :iPPP(pi)pTi . Le minimum de la rotation est obtenu comme dans le cas de la transformation rigide et et le facteur d’échelle vérifie ∂C(R,e)∂e = 0, c’est à dire :
e= Tr(RΣxy) σx2 . Transformations affines
Une transformation affine est une transformation qui, en plus des sept degrés de liberté d’une similitude, ne conserve pas les angles. Il s’agit d’une transformation à douze degrés de liberté qui peut s’exprimer comme une matrice de changement de base A de dimensions 3×3 quelconque et une translation t:
∀T = (A,t)∈Taffine,T(pi) =Api+t.
La translation optimale s’obtient toujours par le déplacement du barycentre et le critère à optimiser dans le repère barycentrique s’exprime :
C(A) =
n
0
i=1
#Ap
i−PPP(pi)#2.
4.3. Recalage 113
L’optimum (qui minimise la norme du bruit des données) est obtenu pour ∂C(A)∂A = 0, c’est à dire : A=Σyx(Σxx)−1,
où Σxx =:ni=1pipTi .
Transformations B-splines
Les déformations de forme libre (Free-Form deformations, ou FFD, en anglais) sont définies comme le produit tensoriel de polynômes (Bardinet, 1995; Coquillart, 1990; Sederberg et Parry, 1986). Un cas particulier de déformations libres sont les transformations B-splines pour lesquelles les polynômes de base sont des courbes B-splines.
Une courbe B-spline monodimensionnelle est définie comme une courbe polynomiale par mor- ceaux. Soitm etndeux entiers et (t0,t1, . . . ,tn+m)une suite de réels ordonnés appelés nœuds de la transformation. On définit les fonctions B-splines de degré mde manière récursive :
∀i∈!0,n−1",
Bi0(x) =
6 1 si ti≤x≤ti+1 0 sinon
Bim(x) = x−ti
ti+m−tiBim−1(x) + ti+m+1−x
ti+m+1−ti+1Bi+1m−1(x).
Une transformation volumique B-spline est définie par un produit tensoriel de courbes B-splines.
Soit{cijk}ijkun ensemble de points de contrôle deIR3et{Bx,im}i,{Bmy,j}jet{Bz,km}k, trois ensembles de fonctions B-splines monodimensionnelles sur les coordonnéesx,yetz. La transformée d’un point p par la transformation volumique B-splineT s’exprime :
∀T ∈TB-spline,T(p) =
Tx(p) =:ni=0x−1:nj=0y−1:nk=0z−1cijkx Bi,xm(x)Bj,ym(y)Bk,zm (z) Ty(p) =:ni=0x−1:nj=0y−1:nk=0z−1cijky Bi,xm(x)Bj,ym(y)Bk,zm (z) Tz(p) =:ni=0x−1:nj=0y−1:nk=0z−1cijkz Bi,xm(x)Bj,ym(y)Bk,zm(z).
Le critère de distance aux données s’exprime pour les transformations B-splines : Cdistance(T) =
n
0
i=1
#T(pi)−PPP(pi)#2.
Comme dans (Champleboux, 1991), nous utilisons une critère supplémentaire qui permet d’estimer la régularité de la transformation. On exprime l’énergie de la déformation par un stabilisateur de Tikhonov et le critère de régularité de la déformation correspondant comme :
Crégularité(T) = 4
IR3#H(T)#2= 4
IR3
+∂2T
∂x2 ,2
+ +∂2T
∂y2 ,2
+ +∂2T
∂z2 ,2
+2
*+
∂2T
∂x∂y ,2
+ +∂2T
∂x∂z ,2
+ +∂2T
∂y∂z ,2-
oùH(T) est la matrice Hessienne de T. D’après Euler-Lagrange, la transformation minimisant ce critère vérifie nécessairement∆∆T = 0. Il est à noter que ce critère s’annule pour une transformation affine. Il mesure une «distance» de la transformationT à une transformation affine.
Le critère total à optimiser s’exprime :
C(T) =Cdistance(T) +ρCrégularité(T),
oùρest un paramètre pondérant l’importance du critère de régularité. Siρest nul, la transformation est purement B-spline tandis que si ρ augmente jusqu’à l’infini, le terme de régularité devient prépondérant. À la limite, seul le critère de régularité entre en compte et la transformation estimée possède des dérivées quatrièmes nulles.
Le critère C(T) peut être minimisé sur l’espace de paramètres (les coordonnées des points de contrôle de la transformation) en utilisant l’une des méthodes proposées dans le chapitre 1.3.7. Nous utilisons une méthode de gradient conjugué. Le nombre de degrés de liberté dépend du nombre de points de contrôle considérés. Plus ce nombre est élevé et plus les déformations peuvent être locales, au prix d’un plus grand nombre d’itérations de l’algorithme de minimisation.
L’utilisation de transformations B-splines s’approche des déformations locales dans la mesure où elles permettent d’introduire un très grand nombre de degrés de liberté et donc des déformations avec une forte composante locale. Cependant, la minimisation du critère proposé ci-dessus est beaucoup plus coûteuse que le calcul des formes analytiques des transformations rigides, des similitudes ou des transformations affines.