3 Estimation du gradient thermique par une m´ethode ana- lytique 1D
L’int´erˆet de l’essai de fatigue avec gradient thermique de paroi est de cr´eer un gradient ther- mique dans la paroi, pour avoir un ´etat de contrainte repr´esentatif d’une aube refroidie. Afin de pouvoir atteindre ce gradient thermique durant les essais, il est important de bien dimension- ner les syst`emes de chauffage et de refroidissement. Ceci passe notamment par l’estimation du champ thermique dans l’´epaisseur en fonction des d´ebits d’air mis en œuvres.
Il existe plusieurs m´ethodes pour calculer le gradient thermique dans l’´epaisseur. Deux m´ethodes num´eriques seront pr´esent´ees au (Chapitre 3), et auront pour but, de d´eterminer de mani`ere pr´ecise le gradient dans l’´epaisseur. Toutefois, ces m´ethodes sont lourdes `a manipuler et s’adaptent mal `a une ´etape de dimensionnement. Elles n’ont par ailleurs, pu ˆetre mise en place que durant la fin de ce travail de th`ese. Il a donc fallu utiliser une m´ethode plus simple pour cette ´etape de dimensionnement du syst`eme de refroidissement. Nous nous sommes donc tourn´es vers une approche analytique 1D de type ing´enieur. Cette m´ethode est bas´ee sur l’utili- sation de nombres adimensionn´es, qui permettent de faire des analogies entre des g´eom´etries, des fluides et des conditions diff´erentes. Ainsi, `a partir des corr´elations ´etablies empiriquement,
`a partir de r´esultats exp´erimentaux dans des conditions donn´ees, il est possible d’appliquer ces mˆemes corr´elations dans des cas analogues. De telles corr´elations ont ´et´e r´ealis´ees `a partir de mesures datant du d´ebut du XXi`eme si`ecle, et on se propose de les utiliser ici. Dans cette partie, nous ferons appel `a 3 nombres adimensionn´es :
– Le nombre de Reynolds globalReDest le rapport entre les forces d’inertie et les forces visqueuses. Il caract´erise la nature du r´egime d’´ecoulement (laminaire, transitoire, tur- bulent).
– Le nombre de Nusselt globalNuDest le rapport entre le transfert thermique global et le transfert par conduction. Il repr´esente l’´echange fluide/paroi. Il
– Le nombre de PrandtlPr, intrins`eque au fluide
Le r´egime de l’´ecoulement peut ˆetre laminaire ou turbulent. En laminaire, le champ de vi- tesse du fluide est parall`ele `a l’´ecoulement alors qu’en turbulent, il y a apparition de tourbillons dans le fluide. Il r´esulte de ces deux r´egimes, des mod´elisations diff´erentes.
FIGURE 1.11 – Sch´ema du probl`eme 1D du tube refroidi
notation d´efinition unit´e SI ordre de grandeur (SI)
˙
mair D´ebit massique d’air kg/s [0 ;0.04]
µ Viscosit´e dynamique de l’air kg.m.s [1.8.10−5; 4.9.10−5] ρ Masse volumique de l’air kg.m−3 [0.3-1.2]
kair Conductivit´e thermique air W.m−1.K [0.03-0.08]
kam1 Conductivit´e thermique AM1 W.m−1.K [8.5-22.5]
h Coef d’´echange interne W.m−2.K [0-5000]
˙
qc Flux surfacique chauffage W.m−2
˙
qcond Flux surfacique conduction W.m−2
˙
qre f Flux surfacique convection W.m−2
˙
qrad Flux surfacique radiatif W.m−2
FIGURE1.12 – R´ecapitulatif des notations utilis´ees pour le calcul thermique et ordres de gran- deur approximatifs
Les propri´et´es de l’air sont issues de l’ouvrage [Incropera et DeWitt, 1996] `a pression atmosph´erique. La temp´erature de surface int´erieure est n´ecessaire pour le calcul du coefficient d’´echange. Comme elle est initialement inconnue, une temp´erature initiale est suppos´ee et des it´erations sont r´ealis´ees jusqu’`a convergence (FIGURE 1.13), avec une erreur maximaleε de 1◦C.
Pour un ´ecoulement interne dans un tube circulaire le nombre de Reynolds est donn´e par : ReD= 4 ˙mair
πdiµ (1.1)
avec le d´ebit massique d’air ˙mair,di le diam`etre int´erieur du tube etµla viscosit´e dynamique du fluide. De plus, le nombre de Nusselt, qui peut ˆetre vu comme un coefficient d’´echange h adimensionn´e, est d´efini par :
TSi - T ' Si ≥ ε
< ε TSi - T ' Si TSi= Tinit T 'Si = f(..., T )
TSi= T 'Si
T 'Si
Si
FIGURE 1.13 – Sch´ema des it´erations sur la temp´erature TSi pour le calcul des propri´et´es de l’air
NuD= hD
kair (1.2)
o`u D est une longueur caract´eristique de l’´ecoulement, ici le diam`etre interne du tube di. Consid´erons un d´ebit d’air ˙mair =20 g/s, d´ej`a obtenu par le mˆeme r´eseau d’air [Chaboche et al., 1997]. Le nombre de Reynolds vaut alors ReD=67 109. Dans le cas d’un ´ecoulement pleinement ´etabli, un Reynolds inf´erieur `a 2 300 correspond `a un ´ecoulement laminaire et un Reynolds sup´erieur `a 10 000 correspond `a un ´ecoulement turbulent. Il faut donc s’orienter vers des mod`eles turbulents. Diff´erentes corr´elations analytiques, applicables au cas du tube infini en ´ecoulement turbulent existent. Les quatres pr´esent´ees ici sont les plus courantes pour ce type de probl`eme :
1. Dittus et Boelter [Dittus et Boelter, 1930] not´ee DB ( ´Equation (1.3)) 2. Sieder et Tate [Sieder et Tate, 1936] not´ee ST ( ´Equation (1.4)) 3. Gnielinski [Gnielinski, 1976] not´ee G. ( ´Equation (1.5)) 4. Petukhov [Petukhov, 1970] not´ee P. ( ´Equation (1.6))
NuDBD =0,023Re4/5D Prn si
0.76Pr6160 ReD>10 000
L D >10
(1.3)
avec nest un param`etre ´egal `a 0.3 ou 0.4 suivant si l’´ecoulement chauffe ou refroidi la paroi (pourn=13 on retrouve le tr`es utilis´e mod`ele de Colburn [Colburn, 1933]).
NuSTD =0,027Re4/5D Pr1/3( µ
µsi)0,14 si
0,76Pr616.700 ReD>10 000
L D >10
(1.4)
NuGD= (f/8) (ReD−1000)Pr
1+12.7(f/8)1/2 Pr2/3−1 si
0,56Pr62 000 3 0006ReD65·106
L D>10
(1.5)
NuPD= (f/8)ReDPr
1.07+12.7(f/8)1/2 Pr2/3−1 si
0,56Pr62 000 1046ReD65·106
L D >10
(1.6)
avec f, un facteur de friction donn´e pour un tube lisse par :
f = (0.790·lnReD−1.64)−2 si 3 0006ReD65.106 (1.7) La longueur du tube L entre l’arriv´ee d’air et l’´eprouvette est sup´erieure `a 10 fois le diam`etre du tube. De mˆeme entre 300 et 1200◦K, Pr varie entre 0.686 et 0.728, soit quasi- ment les conditions requises. Le mod`ele DB est un des plus utilis´es pour ce type de probl`eme.
Le mod`ele ST est une am´elioration du pr´ec´edent avec une correction pour prendre en compte des diff´erences importantes de temp´erature entre la paroi et le fluide. Les deux autres mod`eles G et P font quant `a eux, intervenir le coefficient de friction f qui correspond ici `a celui d’une surface lisse.
Ayant calcul´e le nombre de Nusselt avec les corr´elations, on est capable de remonter au coefficient d’´echangehpar l’ ´Equation (1.2) (FIGURE 1.14). Ici seule la corr´elation ST prend en compte la temp´erature de paroi. Il est trac´e pour deux temp´eratures de surface externe, 350 et 950◦C, la temp´erature de l’air ´etant prise ´egale `a 20◦C.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Debit massique (g/s) h (W.m2 .K−1 )
ST 350° C ST 950° C P G DB
FIGURE 1.14 – Coefficient d’´echangehen fonction du d´ebit d’air pour un ´ecoulement ´etabli et turbulent pour diff´erentes temp´eratures de surface ext´erieure
On constate des ´ecarts entre les diff´erents mod`eles. `A 40g/s l’´ecart est d’environ 150W.m−2.K entre les corr´elations ST et P. Entre les deux temp´eratures de paroi externe, la corr´elation ST donne de faibles ´ecart, d’environ 40W.m−2.K, pour le mˆeme d´ebit d’air. Cette variation est due
`a une variation des propri´et´es de l’air en fonction de la temp´erature. Le coefficient d’´echange reste toutefois peu sensible `a la temp´erature de paroi.