2.4 Analyse en r´egime forc´e
2.4.4 Examen de quelques couplages
On se propose ici d’examiner plus pr´ecis´ement les r´egimes quasip´eriodiques relev´es plus haut, `a la lumi`ere des analyses modales du gong. Apr`es la premi`ere bifurcation, il apparait syst´ematiquement une relation de r´esonance d’ordre 2, du type :
(2.7)
o`u les sont `a prendre parmi les fr´equences de r´esonance du gong et la fr´equence d’excitation
(Cf.Ü5.1.1). Le Tab. 2.5 r´ecapitule les combinaisons de r´esonance rencontr´ees lors de nos exp´eriences sur le gong. Les exp´eriences 1 et 2 de la section pr´ec´edente sont d´etaill´ees sur les figures des pages suivantes.
L’exp´erience 1 ( ) est remarquable, car elle met en ´evidence au moins 4 combinai- sons de r´esonances. Lors du r´egime quasi-p´eriodique, la dynamique parait ˆetre gouvern´ee par les deux fr´equences½ et¾ correspondant aux modes (2,1) et (3,1), qui apparaissent en premier. En- suite, les fr´equences multiples du type½
"
¾ apparaissent, et un certain nombre d’entre elles coincident avec d’autres fr´equences de r´esonance du gong, r´ecapitul´ees dans le Tab. 2.5. En revanche, l’exp´erience 2 est plus simple, et ne fait apparaˆıtre qu’une seule combinaison de r´esonances.
Un cas int´eressant est pr´esent´e Fig. 2.27 et 2.28, o`u une r´esonance sous-harmonique apparaˆıt.
Le param`etre de contrˆole est ici la fr´equence d’excitation, alors que c’est l’amplitude du forc¸age qui est gard´ee constante, `a l’inverse des cas ´evoqu´es pr´ec´edemment. Ici, une fr´equence½ apparaˆıt, qui coincide avec le mode (1,1), et telle que :
½ (2.8)
Ces exp´eriences montrent qu’un mod`ele de comportement du gong en r´egime forc´e quasi-p´erio- dique doit comporter plusieurs degr´es de libert´e, prenant en compte plusieurs modes de vibration.
En particulier, l’exp´erience 1 fait intervenir 4 r´esonances internes, dont une (celle des modes (2,1) et (3,1)) parait pr´epond´erante. Il est logique de prendre en compte dans un ´eventuel mod`ele les modes (2,1) et (3,1) en plus du mode (0,3) directement excit´e. En revanche, doit-on consid´erer les 6 autres modes, correspondant aux 3 r´esonances internes suppl´ementaires ? Si tel est le cas, un mod`ele `a 9 modes propres est n´ec´essaire. `A ce stade de l’´etude, et sans calculs, il est difficile de d´eterminer combien de modes doivent ˆetre consid´er´es dans un mod`ele de comportement.
Temps [s] − ∆ t = 0.0929 s
Fréquence [Hz] − δ f = 5.36 Hz
0 10 20 30 40 50 60 70
0 1000 2000 3000 4000
FIG. 2.17 – EXPERIENCE´ 1 - Suite de deux bifurcations menant au chaos. Spectrogramme de l’acc´el´eration du gong, pour le mˆeme signal que Fig. 2.23. Excitation au centre `a
Hz constante et amplitude croissante ( ¿ N jusqu’`as ; augmentation de N `a N entre ets, date `a partir de laquelle l’amplitude est gard´ee constante, jusqu’`as o`u elle est annul´ee).
Temps [s] − ∆ t = 0.0929 s
Fréquence [Hz] − δ f = 5.36 Hz
0 10 20 30 40 50 60 70
0 1000 2000 3000 4000 5000
FIG. 2.18 – EXPERIENCE´ 2 - Suite de deux bifurcations menant au chaos. Spectrogramme de l’acc´el´eration du gong excit´e au centre `a Hz constante et amplitude croissante ( N jusqu’`a s, puis N ; N de `a s, puis N jusqu’`a s et N ensuite).
2.4. ANALYSE EN R ´EGIME FORC ´E
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 1000 2000 3000 4000 5000
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
0
Temps t [s]
Signal s(t)
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 1000 2000 3000 4000 5000
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
9.005 9.01 9.015 9.02 9.025 9.03
0
Temps t [s]
Signal s(t)
FIG. 2.19 – ´Evolution temporelle de l’acc´el´eration, reconstruction bidimensionelle et spectre de Fou- rier du signal `a plusieurs dates correspondant `a la Fig. 2.17. Param`etres : d´ecalage de
´echantillons pour le diagramme de phase, spectre sur´echantillons, Hz, fenˆetrage de Hanning.
−1 0
1
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t+T) s(t)
s(t+2T)
0 1000 2000 3000 4000 5000
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
15.005 15.01 15.015 15.02 15.025 15.03 15.035 15.04 0
Temps t [s]
Signal s(t)
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 1000 2000 3000 4000 5000
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
47.01 47.02 47.03 47.04 47.05 47.06
0
Temps t [s]
Signal s(t)
FIG. 2.20 – Suite de la figure pr´ec´edente.
2.4. ANALYSE EN R ´EGIME FORC ´E
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
0
Temps t [s]
Signal s(t)
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
14.005 14.01 14.015 14.02 14.025 14.03 14.035 14.04 0
Temps t [s]
Signal s(t)
FIG. 2.21 – ´Evolution temporelle de l’acc´el´eration, reconstruction bidimensionelle et spectre de Fou- rier du signal `a plusieurs dates correspondant `a la Fig. 2.18. Param`etres : d´ecalage de
´echantillons pour le diagramme de phase, FFT sur´echantillons, Hz, fenˆetrage de Hanning.
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
20.005 20.01 20.015 20.02 20.025 20.03 20.035 20.04 0
Temps t [s]
Signal s(t)
−1 0 1
−1
−0.5 0 0.5 1
s(t)
s(t+T)
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−60
−40
−20 0
Fréquence [Hz]
Amplitude [dB]
78.005 78.01 78.015 78.02 78.025 78.03 78.035 78.04 0
Temps t [s]
Signal s(t)
FIG. 2.22 – Suite de la figure pr´ec´edente.
2.4. ANALYSE EN R ´EGIME FORC ´E
Fig. Fr´equence d’excitation [Hz] Fr´equences en combinaisons Fr´equences propres de r´esonance mesur´ees [Hz] correspondantes [Hz]
2.24 ; ;
;
;
;
;
; ;
2.26 ; ;
– – ;
– – ;
– –
2.28
TAB. 2.5 – R´ecapitulatif des combinaisons de r´esonances identifi´ees exp´erimentalement. Les deux premi`eres lignes correspondent aux exp´eriences 1 et 2 de la section pr´ec´edente, et les spectres correspondants sont repr´esent´es Fig. 2.24 et 2.26. Les deux lignes suivantes font r´ef´erences `a des exp´eriences non pr´esent´ees ici. Les deux derni`eres lignes se rapportent `a des r´esonances sous- harmoniques, dont la premi`ere est illustr´ee Fig. 2.28.
Temps (s) − ∆ t = 0.372 s
Fréquence (Hz) − ∆ f = 1.35 Hz
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0 200 400 600 800 1000 1200
FIG. 2.23 – Apparitions de plusieurs combinaisons de r´esonances, au d´ebut de l’exp´erience 1 Fig. 2.17. Spectrogramme de l’acc´el´eration du gong excit´e au centre `a
Hz constante et
amplitude croissante ( N jusqu’`as, puis N).
0 200 400 600
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 0 s
0 200 400 600
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 7 s
0 200 400 600
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 15 s
0 200 400 600
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 35 s
(a) (b)
(c) (d)
exc
exc
exc exc
FIG. 2.24 – Spectre de Fourier `a 4 dates de la Fig. 2.23 pr´ec´edente. (a) : 0 s, (b) : 7 s, (c) : 15 s et (d) : 37 s. FFT sur 2048 points, fenˆetrage de Hanning.
Hz, Hz.
2.4. ANALYSE EN R ´EGIME FORC ´E
Temps (s) − ∆ t = 0.372 s
Fréquence (Hz) − ∆ f = 1.35 Hz
0 5 10 15 20 25
0 200 400 600 800 1000 1200
FIG. 2.25 – Apparitions de plusieurs combinaisons de r´esonances, au d´ebut de l’exp´erience 2 Fig. 2.18. Spectrogramme de l’acc´el´eration du gong excit´e au centre `a
Hz constante et
amplitude croissante ( N jusqu’`as, puis N).
0 200 400 600
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 5 s
0 200 400 600
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 20 s
(a) (b) exc
FIG. 2.26 – Spectre de Fourier `a 2 dates de la Fig. 2.25 pr´ec´edente. (a) : 5 s, (b) : 20 s. FFT sur 2048 points, fenˆetrage de Hanning.Hz, Hz.
Temps (s) − ∆ t = 0.372 s
Fréquence (Hz) − ∆ f = 1.35 Hz
0 5 10 15 20 25
0 200 400 600 800 1000 1200
FIG. 2.27 – Apparition d’une r´esonance sous-harmonique. Spectrogramme de l’acc´el´eration du gong excit´e au centre `a amplitude N constante et fr´equence variable (
Hz avant s, puis Hz).
0 200 400 600
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 5 s
0 200 400 600
−80
−60
−40
−20 0 20
Fréquence [Hz]
Module de la FFT [dB]
Temps: 20 s
(a) (b)
exc.
exc.
FIG. 2.28 – Spectre de Fourier `a 2 dates de la Fig. 2.27 pr´ec´edente. (a) : 5 s, (b) : 20 s. FFT sur 2048 points, fenˆetrage de Hanning.
Hz, Hz