5.2 Vibrations de flexion axisym´etriques
5.2.1 Solution perturbative en r´egime forc´e
L’´equation du mouvement (5.4b) est une classique ´equation de Duffing forc´ee. On utilise ici une m´ethode perturbative pour en d´eterminer une solution approch´ee lorsque-(Eq. (4.14)) est petit. Ces techniques consistent `a consid´erer que les termes non-lin´eaires et l’amortissement ne sont que des petites perturbations de l’´equation lin´earis´ee correspondante, dont on connait une solution analytique.
On utilise ici la m´ethode des ´echelles multiples [74, 65]. Pour cela, on introduit plusieurs ´echelles de temps :
-
(5.6)
et la solution est cherch´ee sous la forme d’un d´eveloppement en puissances de-:
5.2. VIBRATIONS DE FLEXION AXISYM ´ETRIQUES
On mesure l’´ecart entre la pulsation d’excitation et la pulsation propre par le param`etre4, d´efini par :
!
¼
-4 (5.8)
o`u on a not´e!¼ !¼. Les d´eriv´ees temporelles s’´ecrivent :
,
, 7
¼ -7
½ -
¾
7
¾
(5.9a)
,
,
¾ 7
¾
¼ -7
¼ 7
½ -
¾
7
¼ 7
¾ 7
¾
½
(5.9b)
o`u 7
. Par substitution des ´equations (5.7), (5.8) et (5.9) dans l’´equation (5.4b), et en identifiant les puissances de-, on obtient le syst`eme suivant :
ordre 1 : 7¾
¼
¼ !
¾
¼
¼
(5.10a)
ordre-: 7¾¼
½ !
¾
¼
½
7
¼ 7
½
¼
¿
¼
#7
¼
¼
!
¼
¼ 4
½
(5.10b)
o`u##¼. La solution g´en´erale de (5.10a) s’´ecrit :
¼
½
),- !
¼
¼
(5.11)
o`u est une fonction complexe de ½ `a d´eterminer, et d´esigne le complexe conjugu´e du terme pr´ec´edent. Par substitution de (5.11) dans (5.10b), on obtient :
7
¾
¼
½ !
¾
¼
½
!
¼
¼
#
¾
),-!
¼
¼
¿
),-!
¼
¼
),-!
¼
¼ 4
½
℄
(5.12) o`uest le complexe conjugu´e de , et¼ 7½. On remarque alors qu’un terme r´esonant (c’est
`a dire un terme correspondant `a un forc¸age `a la fr´equence de r´esonance!¼de l’oscillateur consid´er´e) apparait dans l’´equation (5.12). Cela introduit un terme non born´e dans la solution de (5.12), appel´e terme s´eculaire, qui donne `a cette solution une validit´e limit´ee dans le temps. On obtient une solu- tion uniforme en temps en annulant le facteur du terme r´esonant. On obtient alors la condition de solvabilit´e [74, 65], qui donne une relation sur le param`etre libre, comme suit :
!
¼
¼
#
¾
),-4
½
(5.13)
On note :
½
½
),-/
½
(5.14)
o`uet/sont des fonctions r´eelles, ce qui permet de s´eparer la partie imaginaire et la partie r´eelle de (5.13) :
¼
#
!
¼
4
½
/ (5.15a)
/
¼
!
¼
¿
!
¼
4
½
/ (5.15b)
On rend alors le syst`eme (5.15) homog`ene avec le changement de variable3 4½
/. On s’int´eresse de plus au r´egime permanent, c’est-`a-dire lorsque¼ 3¼, ce qui s’´ecrit :
#
!
¼
3 (5.16a)
¿
(5.16b)
4
!
¼
¾
¾
#
¾
¾
¾
!
¾
¼
(5.17) si bien que la solution de l’´equation (5.4b) est, au premier ordre et en r´egime permanent :
3*- (5.18)
soit encore
<
¼
< 3 (5.19)
avecd´efini par (5.17) et3par (5.16a,b).
Hyst´er´esis et ph´enom`enes de saut
−100 −5 0 5 10 15 20
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Amplitude a
−10 −5 0 5 10 15 20
0.5 1
Désaccord σ
Déphasage γ [π rad]
B
B
A A Backbone curve
FIG. 5.2 – Amplitude et phase de la solution d’un oscillateur de Duffing, forc´e en r´egime permanent,
`a amplitude constante, en fonction du d´ephasage-4 !¼
Ainsi, au premier ordre, c’est-`a-dire pour des amplitudes de vibration pas trop importantes, les oscillations sont sinuso¨ıdales. Les ´evolutions deet3en fonction de4sont repr´esent´ees sur la figure 5.2. On constate que pour certaines valeurs de 4, trois valeurs de sont possibles. Une ´etude de stabilit´e montrerait que parmi ces trois solutions possibles, seules deux sont stables [74]1, Elles sont trac´ees en trait plein sur la figure. En r´egime permanent, le syst`eme se stablise sur l’une ou l’autre
1Les pointsetsont des points de bifurcation nœud-col, qui fait apparaˆıtre une solution stable (un nœud dans le plan de phase) et une solution instable (un col) [117]. Ici, l’apparition des deux solutions se fait pour une augmentation deau
5.2. VIBRATIONS DE FLEXION AXISYM ´ETRIQUES
−100 0 10 20
1 2 3 4 5 6 7 8
Amplitude a
ω0=1 − Γ=1 − µ=1 − Q∈{2,5,10,15}
−10 0 10 20
0.5 1
Désaccord σ
Déphasage γ [π rad]
0 5 10
0 1 2 3 4 5
Amplitude a
ω0=1 − Γ=1 − µ∈{0.1,0.2,0.5,1} − Q=1
0 5 10
0.5 1
Désaccord σ
Déphasage γ [π rad]
−400 −20 0 20 40
0.5 1 1.5 2 2.5
Amplitude a
ω0=1 − Γ∈±{0,5,15} − µ=1 − Q=5
−40 −20 0 20 40
0.5 1
Désaccord σ
Déphasage γ [π rad]
FIG. 5.3 – Courbes de r´esonance de l’oscillateur de Duffing pour plusieurs valeurs des param`etres
,#et (de gauche `a droite).
des solutions stables, en fonction des conditions initiales. Cela est `a l’origine de ph´enom`enes de sauts li´es `a un comportement en hyst´er´esis, lorsque l’on fait varier lentement la fr´equence d’excitation, `a amplitude d’excitation constante. Cela a d´ej`a ´et´e ´evoqu´e au paragraphe 2.4.2 `a propos du gong, pour lequel on observe une r´eponse similaire, et une validation exp´erimentale sera propos´ee au chapitre suivant (Ü6.2).
La figure 5.3 montre des courbes de r´esonance pour plusieurs valeurs des param`etres. Lorsque varie, le sommetde la courbe de r´esonance d´ecrit une courbe qui est appel´ee couramment “back- bone curve”2 [74]. Elle est repr´esent´ee sur la figure 5.2. Lorsque #varie, c’est aussi la “backbone curve” que d´ecrit le point. On remarque aussi que la valeur de impose l’incurvation g´en´erale de la courbe, et que la valeur de l’amplitude maximum atteignable par le syst`eme ne d´epend pas de .
D’un point de vue physique, pour une plaque donn´ee, seule la figure 5.3 `a gauche a un sens, puisque est le seul param`etre que l’on peut faire varier, # et ´etant impos´es pour chacun des modes. De plus, tous les sont positifs dans le cas des plaques (Cf. Tab. 5.1), si bien que les courbes de r´esonance sont toutes incurv´ees vers les fr´equences positives. Le cas des gongs apparaˆıt moins simple, puisque certains modes sont raidissants ( A) et d’autres assouplissants ( F, Cf.Ü2.4.2).
On ´etudiera cette propri´et´e en fonction de la courbure au chapitre 8 (Ü8.2) Distorsion harmonique du signal de vibration
Avec l’annulation des termes s´eculaires au premier ordre, la solution g´en´erale de l’´equation (5.10b) s’´ecrit :
½
¿
!
¾
¼
),-!
¼
¼
(5.20)
!
et3sont ici des fonctions deet, car on doit aller `a un ordre sup´erieur3si on veut tenir compte de l’harmonique. Nous n’expliciterons pas les valeurs de et3. Les effets du second ordre seront
´evoqu´es lors de l’´etude du r´egime libre, au paragraphe suivant.
Cela nous permet n´eanmoins de constater que les non-lin´earit´es introduisent une distortion du si- gnal de vibration en ajoutant des harmoniques, qui sont dans le cas de la plaque, uniquement d’ordre impair (de fr´equences ,, etc...). Cela est directement li´e `a l’absence de non-lin´earit´es quadra- tiques dans l’´equation (5.4b), elle-mˆeme li´ee `a l’absence de courbure de la structure. En revanche, les signaux mesur´es sur le gong en r´egime forc´e, et expos´es au chapitre 2 ( 2.4) pr´esentent tous un spectre complet. Cela montre encore une fois que les ´equations d´ecrivant les vibrations du gong, et plus g´en´eralement de coques, pr´esentent des termes quadratiques, qui cr´eent une distorsion harmo- nique compl`ete.
5.2.2 Solution perturbative en r´egime libre conservatif