5. Implantation
6.3. Exemple de Ramis-Sibuya
Les directions singulieres de resommation de la serie formelle solution de l'equation de Ramis- Sibuya sont les directions 2 + 2l (l 2ZZ).
La serie formelleetant egale a ^f(x) = ^E(x)+ ^E(x2), la somme est egale af(x) =E(x)+E(x2) =
e 1
x
E
1(1x) +ex12E1(x12) (voir 6:1). Nous obtenons a l'aide de la table de E1 :
f(0:25) =e4E1(4) +e16E1(16) = 0:265353775
f(0:5) =e2E1(2) +e4E1(4) = 0:567674269
f(1) = 2eE1(1) = 1:192694722
Pour calculer la somme en ces points par l'algorithme de Balser, nous choisissons comme di- rection de resommation pour ^l(x) et ^l(x) (l = 0;1) la droite ei8IR+ (il ne faut pas passer trop pres du pointx= 1=4 qui est une singularite pour les series convergentes ^l(x) (l= 0;1)).
Nous obtenons ainsi :
f(0:25) = 0:26535392 + 4:7525175:10, 7i
f(0:5) = 0:56545058 + 0:0025003453i
f(1) = 1:1387162 + 0:080168043i
Nous remarquons que plus nous nous eloignons de l'origine, moins la precision est bonne. Nous pourrions choisir d'autres chemins (pas forcement les m^emes pour les series ^l(x) et ^l(x)) et un nombre de pas d'integration plus eleve pour ameliorer la precision du calcul. Une autre facon de calculer la somme en 1 consiste par exemple a calculer la somme et sa derivee en 0:25 (ou l'on a une assez bonne precision) et a eectuer le prolongement analytique de la somme le long du chemin [0:25;1] par une methode de Runge-Kutta, a partir de l'equation dierentielle dont est solution la somme et des conditions initiales en 0:25. Nous avons choisi une methode de Runge-Kutta a pas xe egal a 0:015 et obtenons
f(1) = 1:16035002 ,0:00016311899i La precision obtenue est meilleure.
Nous souhaitons a present calculer la somme au point x=,0:25.
On considere d'une part la direction de resommation d, = , ( > 0 petit). La direc- tion de resommation au premier niveau est 1d, = 2(,); celle du deuxieme (et dernier) niveau est 21d, = 2(,). La droite de direction 21d, est proche de la singularite 14 des fonctions 0(x) et 1(x). Nous avons teste l'algorithme avec dierents chemins, et il se trouve que 0(x) et 1(x) se prolongent analytiquement dans la direction IR+ (de plus, elles tendent vers 0). Nous allons considerer comme chemin d'integration 2 :
105
O
&%
Le chemin sur lequel nous allons integrer les fonctions 0(x) et 1(x) est la droite de direction
IR
+. Le point P1 a partir duquel est utilisee la methode de Runge-Kutta est le point (0:5;0:).
Nous obtenons alors comme resultat :
f
,(,0:25) =,0:3009568828 + 0:05767302121i:
D'autre part, nous pouvons egalement calculer la somme en ,0:25 en considerant comme di- rection de resommation la direction 2( +). En prenant les symetriques par rapport a l'axe des reels des chemins precedents, nous obtenons
f
+(,0:25) =,0:3009568828,0:05767302121i:
La dierence des deux valeurs est
f
,(,0:25),f+(,0:25) = 0:1153460424i:
La dierence n'est pas nulle : nous avons traverse la direction singuliere IR,. Il s'agit du phenomene de Stokes.
Nous allons comparer ce resultat avec la valeur exacte. La serie formelle ^^ f(x) est egale a
f(x) = ^E(x) + ^E(x2). La serie ^E(x) est 1-sommable, etant la direction singuliere (mod- ulo 2). La serie ^E(x2) est 2-sommable, de directions singulieres 2 + ZZ. La dierence
f
,(,),f+(,) (> 0) est egale a E,(,),E+(,), ce que nous calculons aisement par la methode des residus. Nous obtenons :
E
,(,),E+(,) = 2iexp,1:
Pour = 0:25, la dierence est egale a 0:1150806i. Le resultat obtenu est donc de l'ordre de 2:10,4.
7. Conclusion
Les exemples que nous avons testes sont des cas d'ecole. Nous avons pu comparer nos resultats avec ceux obtenus par d'autres methodes et ceux fournis par les tables. Ceci constitue un premier test de validite de l'ensemble des algorithmes.
Il reste un point important a etudier, a savoir le test de validite des resultats numeriques 106
obtenus. Les resultats que nous avons obtenus pour la serie d'Euler et la serie formelle 2- sommable sont bons. Il semble cependant plus dicile d'obtenir une bonne precision pour la serie de Ramis-Sibuya qui est (2;1)-sommable. Nous avons constate une sensibilite des calculs par rapport aux chemins.
Il y a trois niveaux d'approximation qui ne sont pas encore ma^trises actuellement : le cal- cul des conditions initiales oues au point P a un niveau intermediaire (mis a part le dernier niveau), le prolongement analytique (pour l'instant, il s'agit de la methode de Runge-Kutta) et le calcul des transformees de Laplace. Dans l'etat actuel d'avancement des travaux, nous n'avons pas a notre disposition des calculs de bornes d'erreurs numeriques.
L'apport de Compas permet pour l'instant de palier a l'abscence de bornes d'erreurs. En pratique, nous calculons un resultat en dierents chemins (et par dierentes methodes). Par ses methodes de visualisation, Compas permet de tester la regularite des resultats obtenus sur les chemins dans les dierents plans de Borel et de constater quand il y a un decrochement des methodes numeriques (ce qui arrive si le chemin est trop proche d'une singularite). Mon travail n'a pas porte sur la qualite des methodes numeriques de prolongement (par exemple, la methode de Runge-Kutta que nous avons implantee est une methode d'ordre 4 a pas xe). Ce travail reste encore a faire.
Quoi qu'il en soit, l'algorithme de Balser que nous avons implante est pr^et a ^etre utilise. Nous avons ainsi a notre disposition un outil souple, susceptible d'^etre interactif (cet aspect est en voie de realisation) et pratique a l'emploi, comprenant les bonnes primitives, permettant de tester la validite des resultats par des recoupements.
Il fallait donner a l'utilisateur la possibilite de faire un choix entre dierentes methodes de prolongement analytique sur les chemins choisis dans les plans de Borel. Pour l'instant, peu de methodes sont disponibles, plusieurs sont a l'etude. Le logiciel dans son etat actuel permettra l'insertion et le test de ces methodes dans le contexte general de la multisommation.
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113
115
Annexe 1
Convergence des series de factorielles q-analogues
Nous allons etudier la convergence de series de factorielles q-analogues de la forme
^
f
q(x) =+1X
n=0 a
n
,q(x)
,q(x+n+ 1); jqj6= 0;1:
Ces series n'ont un sens que si x est dierent des valeurs ,l+ logq2 ik; 8l2 IN;8k 2ZZ. Nous exclurons toujours dans ce qui suit ces points exceptionnels.
Les series deq-factorielles sont desq-analogues des series de facultes ^f(x) =Pn0 x(x+1):::(x+n)an =
P
n0 a
n ,(x)
,(x+n+1).