Outils formels

A chaque niveau de l'algorithme nous aurons besoin de scinder des series formelles, de conna^tre leur transformee de Borel formelle et de chercher des equations dierentielles. Toutes ces operations vont ^etre eectuees par des algorithmes formels.

78

3.1. Denition du concept de serie formelle

Une serie formelle ^f(x) = ^Pj⁰ajx^j est denie des que les coecients (aj)j⁰ le sont. Nous nous placons dans le cadre des equations aux dierences nies; la suite des coecients (aj)j⁰

est solution d'une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux de la forme : ()

( P⁰(j)aj ++Pr(j)aj⁺r = 0 ; j a⁰;:::;am^,1 donnes

ou P⁰(j);:::;Pr(j) sont des polyn^omes en j a coecients algebriques; r ^{2 IN} est le degre de l'equation aux dierences,²IN,m = +r et a⁰;:::;am^,1sont les premierstermes algebriques de la suite (egalement appeles conditions initiales). Nous supposons de plus que P⁰(j) et Pr(j) ne sont pas identiquement nuls.

Si Pr(j) n'admet pas de zero entier superieur ou egal a , chaque coecient aj peut ^etre calcule exactement et l'equation () represente la serie formelle ^f(x).

Premiere remarque : Cette denition nous permet de donner plus de conditions initiales que les r necessaires. S'il existe j^{0 2IN}tel que Pr(j⁰) = 0, le coecientaj⁰⁺r ne peut pas ^etre calcule a partir de l'equation aux dierences. Il est donc interessant de pouvoir donner davantage de premiers termes (lesj⁰+1+r premiers) an de n'utiliser l'equation aux dierences qu'a partir dej j⁰+ 1.

Seconde remarque : Une serie formelle du type precedent ( = m^,r > 0) peut aussi s'ecrire

( 0:a⁰+::: + 0:aj^+,1+P⁰(j + )aj⁺++Pr(j + )aj⁺⁺r = 0; j 0 a⁰;:::;am^,1 donnes

Nous aurions donc egalement pu denir les series formelles par des equations aux dierences de la forme

()

( Q⁰(j)aj ++Qr(j)aj⁺r = 0 ; j 0 a⁰;:::;ar^,1 donnes

Le coecient Q⁰(j) peut dans ce cas ^etre identiquement nul.

3.2. Passage d'une equation aux dierences a une equation dierentielle puis a un systeme dierentiel

Pour calculer le prolongement analytique par une methode de quadrature de type Runge-Kutta d'une fonction f(x) le long d'une direction d nous avons besoin de conna^tre une equation dierentielle dont est solution f(x). Si f(x) est la somme d'une serie formelle multisummable

^f(x) dont nous savons qu'elle est solution formelle d'une equation dierentielle, alors f(x) est egalement solution de cette equation. Il nous reste donc a determiner une equation dierentielle satisfaite par une serie formelle denie par une equation aux dierences.

79

Considerons une serie formelle ^f(x) representee par l'equation aux dierences ()

( P⁰(j)aj ++Pr(j)aj⁺r = 0 ; j a⁰;:::;am^,1 donnes

ou Pi(j) =^Pp_l⁼⁰i;lj^l; i = 0;:::;r; ^2INet m = + r.

Soit Dt la transformee de Mellin formelle de l'operateur aux dierences : Dt=^Xr

i⁼⁰ p

X

l⁼⁰i;l

,t_dt^{d l}tⁱ; t = 1x

etDx =^P_ri^=0Pp_l⁼⁰i;l(x_dx^d)^lx^,i: On etablit aisement que Dx( ^f) =^Pl^=,,1rplx^l, les coecientspl

dependants des conditions initiales a⁰;:::;am^,1. En utilisant l'identite (x_dx^d )^lx^,i = x^,i(^,i + x_dx^d )^l nous obtenons l'equation dierentielle a coecients polynomiaux suivante :

r

X

i⁼⁰ p

X

l⁼⁰r^,i;lxⁱi^,r + x_dx^{d l} ^f= ^mX,1

l⁼⁰ pl^,rx^l

La methode de Runge-Kutta que nous utilisons pour eectuer le prolongement analytique integre un systemedierentield'ordre 1 d'une variable reelle. Considerons l'equation dierentielle

p

X

l⁼⁰Pl(x)y^(l)(x) = Q(x)

ou P⁰(x);:::;Pp(x);Q(x) sont des polyn^omes. Supposons que l'on veuille calculer f(x), solu- tion de cette equation dierentielle, le long de la courbe (t).

Posons y¹(x) = y(x);y²(x) = y⁰(x);:::;yp(x) = y^(p,1)(x) (les derivees etant prises par rap- port a x) et z¹(t) = y¹((t));:::;zp(t) = yp((t)).

Pour l = 1;:::;p^,1,

dt(zd ^l(t)) = ⁰(t)zl⁺¹(t)

et d

dt(z^p(t)) = ⁰(t)Q((t))^,Ppl=0,1Pl((t))zl⁺¹(t)

Pp((t)) :

Le long de la courbe (t), la fonction f(x) verie le systeme dierentiel d'ordre 1 en la variable t suivant :

dtd

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

z¹(t) z²(t) ::::::

zp^,1(t) zp(t)

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=⁰(t):

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4 0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

0 1 0 0 ::: :::

0 0 1 0 0 :::

::: ::: ::: ::: ::: :::

::: ::: ::: ::: ::: :::

0 0 0 0 0 1

,

P⁰⁽⁽t⁾⁾

P^p((t⁾⁾ ::: ::: ::: ::: ^,P_P^p,1(p((_t^())t))

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A 0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

z¹(t) z²(t) ::::::

zp^,1(t) zp(t)

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

+

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

00 ::::::

Q⁽0⁽t⁾⁾ P^p((t⁾⁾

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A 3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

80

3.3. Scindage d'une serie formelle

La transformee de Borel formelle de niveaud'une serie formelle ^^f(^x) =^Pj^0aj^xj, representee par l'equation aux dierences

()

(

P

0(^j)^aj ++^Pr(^j)^aj⁺r = 0 ^{; j}

a

0

;:::;am^,1 donnes

est denie par ^() = ^P,(a_j=^{j )xj,}. La presence de la fonction , nous emp^eche de pouvoir denir la suite (^aj⁼,(^j=)) par une equation aux dierences polynomiale. Nous sommes ainsi amenes a scinder prealablement la serie formelle ^^f(^x).

Soit ² IN, ⁶= 0. Soient ^{q 2} IN, 0 ^{q ,}1 et ^^fq(^x) = ^Pj^1aj⁺q^xj (^q-ieme sous- serie associee a ^^f(^x)) :

^

f(^x) = (^a0+ ^^f0(^x)) ++^x,1(^a,1+ ^^f,1(^x))

Comme nous allons le voir, chaque sous-serie ^^fq(^x) peut ^etre denie par une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux (q) d'ordre^rq ^r.

Si ^^f(^x) etait representee par une equation aux dierences de la forme

Q

0(^j)^aj+^Q1(^j)^aj⁺++^Qr(^j)^aj⁺r = 0 alors chaque equation aux dierences

Q

0(^j+^q)^aj⁺q+^Q1(^j+^q)^a(j⁺¹⁾⁺q++^Qr(^j+^q)^a(j⁺r⁾⁺q = 0

denirait la ^q-ieme sous-serie (les conditions initiales etant calculees a partir des premiers termes de ^^f(^x) et de son equation aux dierences associee). Il nous reste donc a donner un algorithme permettant de passer formellement d'une equation aux dierences de la forme

P

0(^j)^aj++^Pr(^j)^aj⁺r = 0 a une equation donnant tous les termes. Considerons le systeme (^Sinit) de ^r(^,1) + 1 equations :

((^P0(^j+ⁱ)^aj⁺i+^P1(^j+ⁱ)^aj⁺i⁺¹++^Pr(^j+ⁱ)^aj⁺i⁺r = 0)i⁼⁰;:::;r^(,1))

Les inconnues de ce systeme sont les termes ^aj⁺k tels que ne divise pas ^k, c'est-a-dire les termes ^aj^+1;:::;aj^+,1, ^aj^++1;:::;aj^+2,1,^:::, ^aj⁺⁽r^,1)+1,^:::, ^aj⁺r^,1. Il y en a ^r(^,1).

Soit (^S) = (^Sinit). Notons ^{car d}(^S) le nombre d'equations de ^S et ^Si la ⁱ-ieme equation de (^S) (ⁱ= 1^{;:::;car d}(^S)).

Algorithme :

(^S) := (^Sinit);

Tant qu'on n'a pas ni faire :

81

Considerer la premiere equation S¹ du systeme (S);

Chercher dans cette equation le plus petit indicek non multiple de tel que le coecient dea^j+k ne soit pas identiquement nul;

Si un telk n'existe pas, on a ni (il n'y a plus d'inconnues).

Sinon :

{

Construire un nouveau systeme (S^aux) acard(S)^,1 equations en posant (S^aux)^l,1 :=

C(1;k)S^l,C(l;k)S¹ ou C(1;k) est le facteur de a^j+k dans S¹ etC(l;k) celui dans S^l (l = 2;:::;card(S)). On a elimine l'inconnue a^j+k;

{

(S) := (S^aux)

L'equation S¹ ne comporte plus d'inconnues et est de la forme Q⁰(j)a^j +Q¹(j)a^j+ ++ Q^r(j)a^j+r = 0.

Premiere remarque : A chaque etape, le nombre d'equations considerees, ainsi que le nom- bre d'inconnues, diminue d'une unite. L'algorithme se termine en au plus r(^,1) etapes.

Seconde remarque : On denit le degre d'une equation par l'indicek le plus grand tel que le coef- cient dea^j+k soit non nul. Initialement, les equations de (S) sont de degre respectivementegal ar;r + 1;:::;r. On montre facilement par recurrence qu'a l'etape i (i = 0;:::;r(^,1)^,1), les equations sont de degrer + i;r + i + 1;:::;r. L'equation S¹ n'est donc pas egale a 0 = 0.

Les sous-series obtenues sont egalement multisommables :

Theoreme 3.3.1 : Supposons que

^f(x)

est

(¹;:::;^r)^,iL

sommable. Soient

²IN

et

^f⁰(x);:::; ^f^,1(x)

les sous-series.

Alors chaque sous-serie

^f^q(x)

est

(¹=;:::;^r=)^,iL

sommable. De plus, si

d ² IR

est tel que

d;d + ;:::;d + (^, 1)

sont des directions non singulieres pour

^f(x)

(

= 2=

), alors

d

est une direction non singuliere pour les sous-series. Dans un secteur bissecte par

d

, la somme

f(x)

de

^f(x)

est egale a

f(x) = (a⁰+f⁰(x)) +x(a¹+f¹(x)) ++x^,1(a^,1+f^,1(x))

Demonstration : On decompose la serie ^f(x) en une somme de series ^f^l(x) k^l-sommables (k¹ = ¹ et 1=k^l = 1=^l + 1=k^l,1, l = 2;:::;r). La q-ieme sous-serie associee a ^f(x) est egale a la somme sur l des q-iemes sous-series associees a chaque ^f^l(x). On conclut en utilisant le lemme 2:2:7 pour chaque serie ^f^l(x) (le lemme 2:2:7 est egalement verie si les series ^f^l(x) sont ramiees).

Supposons que les directions singulieres de ^f(x) sont donnees par dⁱ + 2m, d^{i 2} [0;2[, i = 1;:::;N et m ² ZZ. Les directions singulieres pour les sous-series sont alors donnees par dⁱ + 2m (i = 1;:::;N et m²ZZ).

82

Nous n'appliquons donc pas l'algorithme de Balser sur la serie formelle ^^f(^x) elle-m^eme,mais sur chacune des sous-series. Si ¹ est egal a ¹1 (¹ et ¹ etant premiers entre eux), nous scindons

^

f(^x) en ¹ sous-series. Chaque sous-serie est alors (¹⁼¹ = 1^=1;:::;r=1)^,iL sommable.

Le schema ci-dessous decrit le processus de scindage formel ^^ ^S1 applique a une serie formelle

f(^x) (^1;:::;r)^,iL sommable (^{1=1 2}IN).

^

f(^x) (^1;:::;r)

^

S

1

^

f

0(^x) (¹1

;:::;

r

1)

? ^f^1

(¹1 ,1

;:::;

r

1)

?

?

::: :::

?

3.4. Transformee de Borel formelle

Ainsi que nous l'avons vu precedemment, nous n'avons besoin de conna^tre les transformees de Borel formelles que d'ordre ¹ ou est un entier strictement positif.

Soit ^^g(^x) = ^Pj1bjxj une serie formelle representee par une equation aux dierences poly- nomiale (). La transformee de Borel formelle d'ordre ¹ de ^^g(^x) est la serie formelle

^

B

1=(^^g)(^x) =^X

j1 b

,(^jj)^xj,1= =^x1,1=X

j0 b

(^j+j+1^,1)!^xj

Il est aise de voir que la serie formelle ^(^x) = ^{Pj0 (j+,1)!bj +1 xj} (notee ~^B1=(^^g)) peut ^etre denie par une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux ( ~^B1=()).

Theoreme 3.4.1 : Soient

^1;:::;r>0

avec

¹ = 1⁼¹

,

^{1 2IN}

.

Si

^^g(^x)

est

(^1;:::;r)^{, iL}

sommable dans la direction

^d

alors la transformee de Borel formelle

^{B^1=1}(^^g)

et

^B~1=1(^^g)

sont

(^2;:::;r)^,iL

sommables dans la direction

d

.

Demonstration : La serie ^^B1=1(^^g) est (^2;:::;r)^,iLsommable dans la direction^d(theoreme 2^:3^:5). Par suite, ~^B1=1(^^g) l'est aussi.

Le schema suivant decrit la transformation de Borel formelle appliquee a une serie formelle (^1;:::;r)^,iL sommable (¹¹ = 1).

83

~ - B

1=

1

^

g(^x)

(^1;:::;r) ^(^x) (^2;:::;r)

Remarque : De facon generale, le degre des coecients de l'equation aux dierences denissant ( ~^B1=()) augmente. En d'autres termes, l'equation dierentielle associee (cf 3.2.) est d'ordre plus eleve.

3.5. Transformees de Borel iterees

Soit ^^f(^x) une serie formelle solution d'une equation dierentielle a coecients polynomiaux dont le polygone de Newton a deux pentes ^{k1 > k2 >} 0. Soient ¹ = ^k1 et ² = ^kk1^1k2

,k

2. La serie formelle ^^f(^x) est (^1;2)^,iLsommable. Supposons que les directions singulieres de ^^f(^x) soient donnees par ^di+ 2^l, ^{di 2}[0^;2[,ⁱ= 1^;:::;N et^{l 2}ZZ.

Considerons les entiers strictement positifs ^1;1;2;2 (¹ et ¹ sont premiers entre eux,

2 et ² sont premiers entre eux) denis par ¹ = ¹¹ et ²¹ = ²². Soient ¹ = ²¹ et² = ²². Soit ^d2IR une direction issue de l'origine, telle que

8i= 1^{:::N; 8l2}ZZ^{; d6}=^di+ 2

1

2 l :

La serie formelle ^^f(^x) est (^1;2)^,iL sommable dans cette direction^d.

La premiere etape de l'algorithme consiste a scinder la serie formelle initiale en^ ¹ sous-series

f

0(^x)^;:::;f^1

,1(^x) et a calculer les transformees de Borel formelles ~^B1 1

( ^^fq) = ^^q(^x)^{; q} = 0^;:::;1,1. Comme^d6=^di+^1l (^8l2ZZ), chaque serie formelle ^^q(^x) est (²1)^,iLsommable dans la direction ^1d.

La seconde etape consiste a scinder chaque serie formelle ^^q(^x) en ² sous-series puis a en prendre les transformees ~^B1

2

. Comme^1d6=^1di+^{2l ; 8l2}ZZ , les sous-series formelles sont (¹2)^,iL sommables, et les transformees de Borel d'ordre ¹2 sont convergentes et peuvent ^etre prolongees analytiquement le long de la direction ^12d.

Ces deux etapes sont schematisees sur la gure 3.

Premiere remarque : A chaque niveau (ou etape) nous sommes amenes a calculer l'equation dierentielle associee a chaque transformee de Borel formelle.

84

^

f(^x) (^1;2)

1 = ¹1

| {z }

(^1;2)^,iL sommable dans la direction^d

^

S

1

!^B~ ¹

1

- -

- -

^

1,1(^x) (²1 = 2²)

^

0(^x) (²1 = 2²)

| {z }

(²1 = 2²)^,iL sommable dans la direction ^1d

^

S

2

!^B~ ¹

2

^

S

2

!^B~ ¹

2

- - - -

- - - -

^1 ,1;

2 ,1(^x)

^1

,1;0(^x)

| {z }

convergentes direction^12d

^^0;2 ,1(^x)

^^0;0(^x)

L'operateur ^^{S !B}~¹

applique a une serie formelle consiste a la scinder en sous-series puis a calculer la transformee de Borel formelle de chaque sous-serie :

^

g(^x) (^1;:::;r)

1 = ^S^

- -

- -

^

g

,1(^x) (^1;:::;r)

^

g

0(^x) (^1;:::;r)

~

B1

~

B1

- -

^

0(^x) (^2;:::;r)

^

,1(^x) (^2;:::;r) Figure 3 : Transformees de Borel iterees

85

Seconde remarque : Il est possible de voir a chaque niveau si les equations dierentielles peuvent

^etre factorisees ou s'il existe des solutions connues (sous forme exacte).

Troisieme remarque : L'algorithme se generalise aisement a un nombre quelconque de niveaux.

Mais la complexitede l'algorithme augmente tres vite en pratique : le nombre de series formelles a considerer augmente et en general, plus il y a de niveaux, plus le degre des equations dierentielles augmente.

3.6. L'exemple de Ramis-Sibuya

La serie formelle ^^f(^x) =^x+0^:x2+2^x3,7^x4+24^x5,118^x6+720^x7+peut ^etre representee par l'equation aux dierences

()

(

,(^j2+^j)^aj+ (2^j2 + 7^j+ 5)^aj+1 + 2^aj+2+ (4^j+ 10)^aj+3+ 4^aj+4 = 0

a

0 = 0^;a1 = 1^;a2 = 0^;a3 = 2^;a4 =^,7

La serie ^^f(^x) est (2^;1)-sommable, soit (2^;2)^,iL sommable. La partie formelle de l'algorithme consiste tout d'abord a scinder ^^f(^x) en deux sous-series ^^f0(^x) et ^^f1(^x), lesquelles sont (1^;1)^,iL sommables, puis a calculer les transformees de Borel ^⁰ = ~^B1( ^^f0) et ^¹ = ~^B1( ^^f1) qui sont (1)^{, iL} sommables. On calcule nalement les transformees de Borel ^⁰ = ~^B1(^⁰) et ^¹ = ~^B1(^¹).

Les sous-series de ^^f(^x) sont ^^f0(^x) =^Pj0(^,(2^j+1)!+(^,1)^jj!)^xj+1 et ^^f1(^x) =^Pj0(2^j)!^xj. Les transformees de Borel ^⁰(^x) =^Pj0(^,(2^j+ 1)! + (^,1)^jj!)^=j!^xj et ^¹(^x) =^Pj0(2^j+ 2)!^=j!^xj sont respectivement denies par :

( (4^j+ 7)^{aj+2 ,}(16^j2+ 64^j + 59)^aj+1,(16^j2+ 68^j + 66)^aj = 0^{; j} 0

a

0 = 0^;a1 =^,7

( (^j + 1)^aj+1,2(^j + 2)(2^j + 3)^aj = 0^{; j} 0

a

0 = 2

Les equations dierentielles associees sont respectivement egales a

(^,16^x4,16^x3)^y(2)+ (^,84^{x3 ,}48^x2+ 4^x)^y0+ (^,66^x2,11^x,1)^y=^,21^x et ^,4^x2y(2)+ (^,18^x+ 1)^y0,12^y= 0

La premiere equation admet comme singularites 0 et^,1.

Les transformees de Borel ^⁰(^x) et ^¹(^x) sont respectivement denies par :

8

>

<

>

:

(4^j3 + 23^j2+ 41^j + 22)^aj+2,(16^j2+ 96^j + 139)(^j + 1)^aj+1

,(16^j2+ 100^j+ 150)^aj = 0^{; j} 0

a

0 =^,7^;a1=^,59

( (^j + 1)(^j+ 2)^aj+1,2(^j+ 3)(2^j+ 5)^aj = 0^{; j} 0

a

0 = 24

86

et sont solutions respectivement des equations dierentielles

(^,16^x2+ 4^x)^y(3)+ (^,16^x2,112^x+ 11)^y(2)+ (^,116^x,139)^y0,150^y = 0 et (^,4^x2+^x)^y(2)+ (^,26^x+ 2)^y0,30^y = 0

Dans les deux cas, ^x= 1⁼4 est une singularite.

Les directions ^2l,^{l 2ZZ}, constituent donc les directions singulieres (eventuelles) pour ^^f(^x).

No documento de l' Institut National Polytechnique de Grenoble (páginas 79-88)