La plateforme de simulation PyRay
4.2 Synthèse du signal reçu. Détails d’implémentation
4.2.6 Exemple de synthèse du signal reçu
Une bonne façon de vérifier que la procédure de synthèse du signal reçu décrite dans cette section 4.2 est bien implémentée est de la valider avec un signal unitaire quelconque.
On doit retrouver le signal initial quel que soit le pas d’échantillonnage retenu. Les dif- férentes étapes décrites précédemment de 4.2.1 à 4.2.5 sont illustrées sur les figures 4.8 à 4.14.
Soit l’impulsion normalisée réelle, tracée sur la figure 4.8. Cette impulsion, désignée par TUsignal, est générée pour fc = 4GHz,B10dB = 3GHz etδt = 0.01ns. Son spectre (de classe FHsignal), possède la propriété de symétrie Hermitienne et présente une phase linéaire du fait du centrage de la base de temps (voir figure 4.9). A remarquer que la bande utile du spectre de l’impulsion est très inférieure à la fréquence d’échantillonnage fe = 100GHz. Si on procède à la suppression de la redondance Hermitienne, on obtient le FUsignal, limité à l’intervalle [δf, fe/2] = [0.43,48.78]et illustré sur la figure 4.10. Les propriétés de ces signaux sont détaillées dans le tableau 4.1.
L’impulsion étudiée est transmise via un canal de type LOS, échantillonné grossière-
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Temps (ns)
2 1 0 1 2 3
Fig. 4.8: Impulsion générique centrée sur son support :TUsignal(fc= 4GHz et B10dB = 3GHz)
0 20 40 60 80 100
Frequence (GHz) 0.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Module
0 20 40 60 80 100
Frequence (GHz) 180160
140120 100806040200
Phase (deg)
Fig.4.9: Spectre de l’impulsion : FHsignal
0 10 20 30 40 50 Frequence (GHz)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Module
0 10 20 30 40 50
Frequence (GHz) 9080
7060 5040 3020 100
Phase (deg)
Fig.4.10: Spectre de l’impulsion après suppression de la symétrie Hermitienne :FUSignal ment, de phase minimale, dont la fonction de transfert est montrée sur la figure 4.11 et dont les caractéristiques sont décrites également dans le tableau 4.1. Dans la terminologie des classes, la fonction de transfert du canal est définie comme un FUsignal.
1 2 3 4 5 6 7 8
Frequence (GHz) 0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Module
1 2 3 4 5 6 7 8
Frequence (GHz) 0.06
0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
Phase (deg)
Fig. 4.11: Canal de type LOS échantillonné grossièrement :FUsignal
Lors de la synthèse du signal reçu, on procède à la multiplication des deux FUsignal correspondant à la forme d’onde émise et au canal. D’après la méthode présentée dans 4.2.3, le signal obtenu, de type FUsignal a une largeur de bande passante appropriée à la bande de fréquence du FUsignalle plus étroit, c.à.d du canal et est échantillonné avec le taux le plus fin parmi les taux des deux FUsignal multipliés, c.à.d. celui de la forme d’onde. Il est représenté sur la figure 4.12 et ses attributs sont notés dans le tableau 4.1.
Une fois ce produit réalisé, il ne reste plus qu’à procéder à l’extension du signal résultant jusqu’à la fréquence zéro et jusqu’à la demie fréquence d’échantillonnage choisie (50GHz) et forcer sa symétrie Hermitienne (cf. figure 4.13 et tableau 4.1), avant d’appliquer la TFDI et revenir en régime temporel.
Signal Classe fmin
(GHz)
fmax
(GHz)
δf (GHz)
Nf Spectre de l’impulsion
émise(W(f))
FUsignal 0 99.5633 0.4367 229
Spectre de l’impulsion émise après suppression de la symétrie(W−(f))
FHsignal 0.4367 49.7817 0.4367 114
Canal LOS(H(f)) FUsignal 1 8 1 8
R−(f) =W−(f)H(f) FUsignal 1.31 7.8602 0.4367 16 R(f) avec zero padding et
symétrie
FHsignal 0 103.0568 0.4367 235
Tab. 4.1: Propriétés des objets créés lors de la synthèse du signal reçu
Fig.4.12: Signal récupéré du processus de multiplication : FUsignal
Fig. 4.13: Signal récupéré du processus de multiplication modifié avec la technique de zero padding et la technique de forçage de la symétrie Hermitienne : FHsignal
La figure 4.14 donne la forme d’onde récupérée à la fin de ces étapes et on constate qu’elle a la même allure que la forme d’onde initiale. Evidemment, la résolution temporelle et les bornes duTUsignalreconstruit ont été modifiées par rapport à celles du signal émis (cf. tableau 4.2).
Fig. 4.14: Signal temporel reconstruit : TUsignal
Signal Classe tmin (ns) tmax (ns) δt(ns) Nt Impulsion émise
(w(t))
TUsignal −1.14 1.14 0.01 229
Impulsion reçue (r(t))
TUsignal −1.1401 1.1401 0.0097 235
Tab.4.2: Comparaison signal temporel émis/signal temporel reconstruit
Ce test permet d’exemplifier d’une manière simple la procédure de synthèse du signal reçu proposée dans cette section.
4.2.7 Application dans l’outil de tracé de rayons. Présentation du for- malisme matriciel
Cette section décrit le formalisme matriciel approprié à l’outil de tracé de rayons. Pour construire le signal reçu simulé, on définit la matrice suivante :
R= ˜Aab
WTγ ·1Nray
(4.17)
où :
• l’opérateurtraduit le produit matriciel terme à terme
• 1Nray est la matrice unité d’ordreNray
• Wγ est la matrice correspondant à la forme d’onde modifiée, appliquée à l’antenne à l’émission :
Wγ =
Wγ(f0), Wγ(f1), ..., Wγ(fNf)
(4.18)
• A˜abest la matrice d’amplitudes complexes associées à l’ensemble desNrayrayons, dé- duite de la matriceC˜lab =
"
C˜lθaθb C˜lφaθb C˜lθaφb C˜lφaφb
#
(obtenue par simulation RT) et de deux vecteurs d’antennesFb =
"
Fbθb Fbφb
# ,Fa=
Faθa Faφa
(obtenus par synthèse VSH, seule- ment pour les Nray directions et Nf fréquences d’intérêt données par la simulation RT). La forme matricielle deA˜ab est :
A˜ab = [FbθbC˜lθaθb+FbφbC˜lθaφb]Faθa+ [FbθbC˜lφaθb+FbφbC˜lφaφb]Faθa (4.19) Dans la relation (4.19) :
• C˜lθaθb,C˜lφaθb,C˜lθaφb,C˜lφaφb sont 4 matrices (Nf ×Nray) associées à chaque terme de C˜lab
• Faθa, Faφa, Fbθb, Fbφb sont 4 matrices (Nf ×Nray) associées à chaque terme de Fa,Fb, décrivant le comportement des antennes à l’émission et à la réception pour tous les Nray rayons et pour tous les Nf points de fréquence. Elles sont obtenues à partir des relations (4.20).
Fθ=Br·V¯r−Bi·V¯i+Ci·W¯r+Cr·W¯i
Fφ=−Cr·V¯r+Ci·V¯i+Bi·W¯r+Br·W¯i (4.20) Dans les équations (4.20) :
• Br,Bi,Cr,Ci sont les matrices de coefficients VSH (Nf ×Nk)
• V¯r,W¯r,V¯i,W¯ireprésentent les parties réelles, respectivement les parties imaginaires des matrices complexes V,¯ W¯ (Nk×Nray) des bases de transformation VSH. V¯ et W¯ sont définies à partir des matrices V¯ et W¯ (correspondant aux termes V¯n(m)(θ), W¯n(m)(θ)) et de la matrice complexe exponentielle E (correspondant au termeejmφ) par :
V¯ = ¯V E
W¯ = ¯W E (4.21)
Remarque : Dans l’implémentation pratique de la synthèse VSH des fonctions vec- torielles d’antennes pour les directions et pour les fréquences souhaitées, on a adopté une nouvelle notation, pour éviter les éventuelles confusions au niveau des matrices des coef- ficients et des bases de transformation. Par conséquent, dans les formules (4.20), V¯ etW¯ s’identifient avecB etCdéfinis en [87].
La matrice R (formule (4.17)) peut être indifféremment utilisée pour construire la réponse fréquentielle ou temporelle en introduisant les déphasages ou les retards associés à chaque rayon. Dans le cas de la reconstruction en régime temporel, chaque colonne associée à un rayon doit être étendue de façon à forcer la symétrie Hermitienne avant d’appliquer la transformée de Fourier inverse. Le signal reçu final est reconstruit comme superposition de chacun des rayons sur lequel le retardτk a été réintroduit.