L’outil de simulation de canal indoor - PyRay
2.3 Le signal émis
2.3.3 L’impulsion ULB
Les impulsions ULB sont des signaux de durée très brève dans le domaine temporel (de l’ordre de 100ps à 1ns) qui couvrent une très large bande de fréquence (quelques GHz).
Plus la durée de l’impulsion est brève, plus le support du spectre est large. La littérature de spécialité [20], [21], [22], [23], [24], [25] offre actuellement un grand nombre de formes d’impulsion large bande qui se différencient principalement au niveau de leur occupation dans le domaine fréquentiel. Parmi elles, on distingue : les impulsions de type gaussienne, leurs dérivées successives et les impulsions dont le spectre est de type sinus cardinal fenêtré.
Parmi toutes ces impulsions ULB, c’est l’impulsion de type gaussienne qui va nous servir en particulier à tester l’outil de simulation RT développé au cours de la thèse. C’est d’ailleurs pour cette raison que cette partie se focalise sur la notion d’impulsion gaussienne, bien que les autres types possibles d’impulsion sont décrits de façon succinte.
2.3.3.1 L’impulsion gaussienne
Mathématiquement, les impulsions gaussiennes [26] sont les formes d’ondes les plus simples à mettre en oeuvre et à manipuler pour les applications ULB.
D’une manière générale, une impulsion gaussienne (figure 2.5 (a)) d’amplitudeA et de largeur temporelleτ, centrée sur Tc est définie par la formule (2.3).
w(t) =Ae−
“t−
√Tc 2τ
”2
(2.3) Cette dernière expression prend, dans le cas particulier d’une impulsion gaussienne centrée sur Tc = 0, une forme très simple :
w(t) =Ae−
“√t 2τ
”2
(2.4) Dans le domaine des fréquences, le signal introduit dans (2.4) se modélise par la relation suivante :
W(f) =Aτ√
2πe−12(2πf τ)2 (2.5)
(a) ( )
g t
τT
ct
τ A
(b) 2
A τ π
( ) P f
τc
1 /
cf = T f
1 / 2
πτ
Fig. 2.5: Impulsion gaussienne
Le spectre de l’impulsion gaussienne, obtenu selon l’égalité (2.5), est très large et conserve l’allure gaussienne, mais il a l’inconvénient de présenter une composante continue correspondant à une valeur moyenne non-nulle dans le domaine temporel (voir la figure 2.5 (b)). Cette composante continue est indésirable dans un système utilisant des antennes car celles-ci possèdent une fréquence minimale de fonctionnement.
Afin d’éviter la composante continue et donc que l’antenne soit utilisée en dehors de sa bande passante lors de l’émission, il est plutôt favorable de considérer :
• soit les dérivées successives de la fonction gaussienne
• soit les impulsions gaussiennes transposées sur une fréquence centrale par modulation sur une porteuse sinusoïdale ou cosinusoïdale
2.3.3.2 Les dérivées d’ordre n d’une impulsion gaussienne
Les dérivées d’ordre n de l’impulsion gaussienne (2.4), notées w(n)(t) se définissent comme suit :
w(n)(t) = dnw(t) dtn =
− 1 τ√
2 n
Hn
− 1 τ√
2
w(t) (2.6)
Dans la formule (2.6),Hn(t)désigne le polynôme d’Hermite de degré nqui vérifie :
Hn(t) =
bn
2c
X
k=0
n!(−1)k
(n−2k)!(2t)n−2k (2.7)
Le spectre de ces signaux est obtenu par la TF (Transformée de Fourier) appliquée à w(n)(t) et peut varier de quelquesM Hz à quelques dizaines de GHz.
A titre indicatif, la figure 2.6 met en évidence les allures des dérivées première (appelée aussi monocycle gaussien) et seconde (ou monocycle de Scholtz) de l’impulsion gaussienne dans les domaines temporel et spectral.
Fig. 2.6: Exemple d’impulsions gaussiennes dérivées d’ordre1 et2
Dans la modélisation du canal ULB, on est toutefois amené à exploiter des signaux normalisés en énergie. Les dérivées d’ordre n d’une impulsion gaussienne normalisées en énergie sont présentées en annexe B.
2.3.3.3 L’impulsion gaussienne modulée par des fonctions sinusoïdales
Les impulsions gaussiennes transposées sur une fréquence centrale fc par modulation sur une porteuse sinusoïdale sont obtenues par un simple produit entre une gaussienne et une sinusoïde de fréquence fc. Elles présentent l’avantage d’être infiniment dérivables et d’hériter de la propriété fondamentale de la gaussienne : son invariance de forme par la transformation de Fourier.
La formule (2.8) et la figure 2.7 présentent une telle impulsion, modulée par une fonction sinusoïdale.
w(t) =Ae−
“√t 2τ
”2
cos(2πfct) (2.8)
Dans la formule précédente, A est l’amplitude, fc la fréquence centrale etτ la largeur temporelle de l’impulsion. En utilisant les propriétés de la TF et la relation (2.5), on peut retrouver le spectre W(f) de w(t) :
W(f) = 1 2Aτ√
2πh
e−12(2π(f−fc)τ)2 +e−12(2π(f+fc)τ)2i
(2.9) A partir des relations (2.10) et (2.11) calculées dans l’annexe A, on peut dimensionner les paramètres (A, τ) d’impulsion en plein accord avec les paramètres (Tp, BW,Pm) du
Fig. 2.7: Exemple d’impulsion gaussienne modulée système :
A= q
2RTp10Pm[dBm/M Hz]−90 10
τ√
π (2.10)
τ = r
2ln
1010k
BW π (2.11)
Avec : Tp la PRP (Pulse Repetition Period - Période de Répétition de l’Impulsion), R l’impédance de l’antenne d’émission, Pm la valeur maximale de la fonction de densité spectrale de puissance etBW la largeur de bande du signal, considérée àk dB par rapport au maximum de la DSP dans le cas d’une impulsion isolée (signal à énergie finie), avec k={−3dB,−10dB...}.
2.3.3.4 L’impulsion de type cosinus surélevé
Dans le domaine temporel, l’impulsion de type cosinus surélevé (RC-Raised Cosine, en anglais) dessinée sur la figure 2.8 peut être générée sous la forme suivante :
w(t) =Asinc πtτ
cos παtτ
1− 2αtτ 2 , (2.12)
où les paramètres spécifiquesA et τ ont la même signification que pour l’impulsion gaus- sienne. La notation sinc porte sur la fonction sinus cardinal (2.13) ; α est un nombre réel tel que0≤α≤1, désignant le facteur deroll-off ou d’excès de bande.
( ) p t
t A
τ τ 2τ −
− 2τ
3τ
− 0 3τ
Fig.2.8: Impulsion de type cosinus surélevé Remarquons quew(t) passe par zéro àt=±τ,±2τ....
sinc
πt τ
= sin πtτ
πt τ
(2.13) L’impulsion correspondante à (2.12) dans le domaine fréquentiel est définie par :
W(f) =
τ si 0≤ |f| ≤ (1−α)2τ
τ 2
1−sin πτα(|f| −2τ1)
si (1−α)2τ ≤ |f| ≤ (1+α)2τ
0 si (1+α)2τ ≤ |f|
(2.14)
La largeur de bandeBW du signal (2.14) est définie par rapport à α etτ : BW = 1 +α
τ (2.15)
De même que pour les impulsions gaussiennes, dans le contexte des transmissions radio, une transposition en fréquence est nécessaire, afin de s’assurer que la transmission n’utilise que la bande de fréquence précisée, sans perturber les communications sur les autres canaux.
Cette transposition en fréquence consiste à décaler la fréquence centrale du signal autour d’une fréquence fc, en le multipliant par un signal sinusoïdal. L’impulsion ainsi obtenue, donnée par (2.16), a pour largeur de bande la BW du signal en bande de base (2.14).
w(t) =Asinc πt τ
cos παtτ
1− 2αtτ 2 cos(2πfc), (2.16) Toujours par soucis de répondre aux contraintes de la FCC et en gardant les mêmes notations que précédemment (paragraphe 2.3.3.3), l’amplitude A (exprimée en Volts) de l’impulsion décrite par (2.16) peut être dimensionnée par rapport aux paramètres systèmes (BW,Tp,R,Pm) :
A=BW q
2RTp10Pm[dBm/M Hz]−90
10 (2.17)
2.3.3.5 L’impulsion de type racine de cosinus surélevé
L’impulsion de type racine de cosinus surélevé (RRC -Root Raised Cosine en anglais), définie par (2.18) est très ressemblante à celle de type cosinus surélevé décrite dans le paragraphe précédent. La différence est au niveau de son spectre qui suit une loi en racine de cosinus surélevé et non en cosinus surélevé.
w(t) = A
π(1−α)
4α + 1
cos(1+α)πt
τ
+ 4αtτ sin(1−α)πt
τ
1− 4αtτ 2 cos(2πfc), (2.18) L’amplitudeApermettant de respecter le masque d’émission peut s’écrire sous la forme (2.19) :
A= 4α
π + (1−α)
BW q
2RTp10Pm[dBm/M Hz]−90
10 (2.19)
Dans le cadre des travaux menés pour la standardisation de l’ULB par l’IEEE 802.15.4a (voir paragraphe 2.3.3.6), une telle impulsion de type racine de cosinus surélevé, obtenue pour α= 0.6 etτ = 2ns, a été utilisée (cf. figure 2.9).
Fig. 2.9: Impulsion de type racine de cosinus surélevé utilisée par l’IEEE 802.15.4a
2.3.3.6 L’impulsion standardisée IEEE 802.15.4a
L’ULB impulsionnel constitue une solution simple et intéressante, particulièrement adaptée aux transmissions bas débit (inférieur ou égal à1M bit/s), faible puissance, moyenne portée (allant jusqu’à300m), dénommées LDR (Low Data Rate), notamment intéressantes pour des applications de localisation. Du point de vue normatif, le groupe de standardisa- tion correspondant est le IEEE 802.15.4a. Dans sa publication officielle d’août 2007 [10], le standard en question (IEEE 802.15.4a) est le seul à avoir proposé une couche physique (PHY-UWB Physical-UWB) alternative à celle du groupe IEEE 802.15.4. Basée sur une approche impulsionnelle, cette couche PHY-UWB apporte de nouvelles opportunités appli- catives comme celles des WBANs (Wireless Body Area Networks) et des WSNs (Wireless Sensor Networks), domaines de recherche de grand intérêt aujourd’hui.
Au niveau de l’émission, le groupe de normalisation IEEE 802.15.4a n’impose pas une
forme d’onde particulière. Pour être conforme à la norme, l’impulsion w(t) générée en bande de base (fc = 0) par tout émetteur PHY-UWB, doit respecter quelques contraintes d’intercorrélation avec une impulsionr(t) de référence, de type racine de cosinus surélevé, illustrée par la figure 2.9.
En employant la notationEw etEr pour désigner l’énergie de l’impulsion w(t), respec- tivement de r(t), la fonctionΦ(T) normalisée d’intercorrélation entre les deux signaux est définie par :
Φ(T) = 1
√ErEwRe
Z +∞
−∞
r(t)w∗(t+T)dt
(2.20) Dans ce cas, pour être en accord avec le standard, la fonction|Φ(T)|doit présenter :
• un lobe principal d’amplitude supérieure ou égale à 0.8 pour une durée de 0.2 ou 0.5ns, selon le canal utilisé
• des lobes secondaires avec une amplitude inférieure à0.3
La DSP de l’impulsionw(t) autorisée par la réglementation, doit elle aussi, satisfaire les contraintes d’atténuation suivantes :
• −10dBr d’atténuation pour les fréquences vérifiant 0.65τ <|(f −fc)|< 0.8τ
• −18dBr d’atténuation pour les fréquences|(f−fc)|> 0.8τ ,
dBrdésignant le dBpar rapport à la valeur maximale de la DSP,τ la durée de l’impulsion etfc la fréquence centrale du canal.
La figure 2.10 montre l’exemple de l’impulsion ULBw(t)(à gauche) donnée par l’IEEE 802.15.4a dans sa publication officielle de 2007 [10], ainsi que la fonction d’intercorrélation Φ(T) (à droite) entre w(t) et l’impulsion de référence r(t). L’impulsion w(t) est de type Butterworth 8-ème ordre, avec une bande passante à3dB de 500M Hz. La fonctionΦ(T) ainsi obtenue répond aux exigences formulées par la norme : l’amplitude de son lobe prin- cipal est supérieure à 0.8 pour une durée d’environ 1ns et toutes les amplitudes de lobes secondaires ne dépassent pas0.3(le plus haut pic parmi les lobes latéraux a une amplitude de 0.2).
Fig. 2.10: Impulsion utilisée par l’IEEE 802.15.4a (à gauche) et la fonction d’intercorrélation associée (à droite)
2.3.3.7 Techniques de modulation pour l’IR-ULB
Pour la transmission des différents types d’IR-ULB, plusieurs types de modulations sont envisagés. Dans la suite, on va brièvement décrire les principales [27], [28], [29] :
• la modulation en position PPM (Pulse Position Modulation) [30],[31],[32]
• la modulation de phase BPSK (Binary Phase-Shift Keying) [33]
• la modulation en amplitude [4] : – PAM (Pulse Amplitude Modulation) – OOK (On Off Keying)
Modulation PPM : La modulation PPM consiste à transmettre des impulsions à amplitude constante et à coder les données suivant la position de l’impulsion, tout en conser- vant la durée de l’impulsion. Dès lors, toutes les impulsions transmises sont identiques. La figure 2.11 présente un exemple de modulation PPM (première courbe - séquence de réfé- rence, deuxième courbe - séquence modulée). La valeur de bit transmis est indiquée par la position de l’impulsion par rapport aux instants de référence : “1” si l’impulsion est émise à l’instant de référence, respectivement “0” si l’impulsion a un décalage deδ par rapport à l’instant de référence. Le décalageδ est appelé indice de modulation, il dépend de la durée de l’impulsion.
1 0 0 1
δ δ
Fig.2.11: Exemple de modulation PPM
Modulation BPSK : La modulation BPSK, appelée également 2-PSK (Phase-Shift Keying) consiste à coder les données par déplacement de phase. Ce type de modulation utilise deux phases séparées de180◦ : chaque bit produit une rotation de phase. La figure 2.12 présente un exemple de modulation BPSK (première courbe - séquence non-modulée, deuxième courbe - séquence modulée). La valeur de bit transmis est indiquée par la phase de l’impulsion : “1” si la phase est 0◦ et “0” si la phase est 180◦.
Modulation PAM : La modulation PAM consiste à coder les données par l’amplitude de l’impulsion. La figure 2.13 présente un exemple de modulation PAM (première courbe - séquence non-modulée, deuxième courbe - séquence modulée). L’information est modulée suivant deux niveaux d’amplitude. La valeur de bit transmis est indiquée par l’amplitude
1 0 0 1
Fig. 2.12: Exemple de modulation BPSK de l’impulsion : “1” si l’amplitude est A1 et “0” si l’amplitude estA0.
1 0 0 1
Α1
Α2
Fig.2.13: Exemple de modulation PAM
Modulation OOK : La modulation OOK (appelée aussi modulation “Tout Ou Rien”), est un cas particulier de la modulation PAM et consiste à émettre ou à ne pas émettre une impulsion, en fonction de la valeur de la donnée. Un exemple de cette modu- lation est donné dans la figure 2.14 (première courbe - séquence non-modulée, deuxième courbe - séquence modulée). Le bit “1” est codé par une impulsion, alors que le bit “0” est codé par une absence de signal.