Imagerie par tomographie en transmission

Le problème posé par la tomographie est analogue au fait de vouloir retrouver la forme d’un objet à partir d’une série d’ombres projetées (exemple avec un cylindre donné à la Figure 28). En tomographie, ce n’est pas la forme de l’objet mais ses propriétés internes qui sont recherchées. On cherche à obtenir une cartographie bi- ou tridimensionnelle des propriétés. Ces cartographies sont obtenues par résolution d’un problème inverse à partir d’une série de projections équivalente à la série d’ombres projetées pour le cylindre de la Figure 28.

Figure 28 : Illustration du principe de la tomographie.

2.6.2. Problème direct

Une onde traversant un milieu matériel subit un ensemble de transformations. Ces transformations altèrent notamment une propriété notée F de cette onde. Une hypothèse simple consiste à considérer que la transformation résultante F est la somme des transformations élémentaires f au cours de la propagation de l’onde en ligne droite. Cette hypothèse a été formulée par Johann Radon en 1917 (théorème de projection de Radon). Son exploitation pratique a permis la reconstruction d'images médicales en tomodensitométrie à rayon X dès le milieu des années 1960. (Grangeat, 2002).

L’expression mathématique du théorème de Radon entre deux points A et B d’angle par rapport à l’axe x d’un repère fixe

y , x ,

O s’écrit : 17

B

A

AB fdu

F

Sous sa forme généralisée, la transformée de Radon s’exprime au point (u, ) par l’équation suivante où δ(x) est l'impulsion de Dirac.

18 F(u, ) f(x,y) (xcos ysin u)dxdy La fonction f(x,y) représente la propriété recherchée au point (x,y) du plan traversé. C’est la fonction à reconstruire en tout point de l’espace. Si l’on représente Les valeurs F dans un plan d’axes u, on obtient un sinogramme (Figure 29). Ce sinogramme n’est pas l’image de l’objet, et il n’est pas interprétable directement.

Figure 29 : Exemple de sinogramme.

L’ensemble des projections F sont utilisées pour calculer une image de l’objet. On obtient alors une cartographie f(x,y) solution du problème inverse (inversion de la transformée de Radon). Pour le calcul il faut disposer d’un certain nombre de mesures de F. Le principe de l’acquisition des mesures est illustré à la Figure 30. En faisant varier l’angle , on acquiert des projections tout autour de l’objet. (Thiery, 2002).

(a) (b)

Figure 30 : Acquisition des mesures en géométrie parallèle (a), géométrie en éventail (b).

2.6.3. Problème inverse

A partir d’un ensemble de projections F(u, ), l’objectif est de retrouver la valeur de f en tout point de l’espace, c’est-à-dire calculer f(x,y). Une solution pourrait consister à attribuer la valeur F(u, ) à tout point placé sur le rayon de projection ayant donné cette valeur. Puis à sommer toutes les contributions issues de toutes les projections. Ce principe est appelé rétroprojection. Limage obtenue n’est cependant pas l’image cherchée f, mais une version floue de f. Cette méthode de reconstruction a un intérêt historique puisque c’est la première méthode à avoir été utilisée (Bloch, 2010).

Il existe une solution analytique exacte qui permet d’obtenir la transformée inverse de Radon. Cette solution est la rétroprojection filtrée. Cependant, les systèmes d’acquisition permettent d’obtenir des projections pour un nombre fini d’angle. Le nombre limité des détecteurs entraîne que ces projections sont échantillonnées et connues simplement en des points discrets. La fonction f est alors reconstruite sur une grille discrète, en un nombre fini de points. Cette fonction est d’autant mieux reconstruite que le nombre d’angles de projection est grand (Figure 31).

C’est la limite des algorithmes numériques de reconstruction.

Figure 31 : Effet du nombre de projection sur la reconstruction de la propriété.

Les méthodes de reconstruction discrète de f sont réparties en deux classes (Kak, 1988 ; Bloch, 2010) : 1. La première classe de méthodes consiste à définir les équivalents discrets des opérateurs

(transformée de Radon, rétroprojection, transformée de Fourier, etc.) puis à discrétiser les formules d’inversion analytiques.

2. La deuxième classe de méthodes repose sur une approche matricielle (système d’équations linéaires). Dans ce cas, c’est directement l’équation de projection qui est discrétisée, fournissant alors un système d’équations linéaires. La résolution de ce système s’effectue par des méthodes itératives, la résolution directe n’étant pas réalisable. Ces méthodes sont dites algébriques.

Dans le cas des méthodes algébriques, le problème s’exprime sous la forme matricielle suivante :

19 F R f F [R].f

n

1 i

i ji j

Avec F : le vecteur des mesures (taille m), chaque composante étant une valeur de projection, f : le vecteur des valeurs recherchées en chaque pixel (f est de taille n), [R] : la matrice de projection (taille m x n).

Cette matrice ne dépend que de l’acquisition et pas des données (Figure 32). Ses coefficients peuvent donc être calculés une fois pour toute (1 si le rayon j rencontre le pixel i, 0 sinon). La matrice R est creuse, elle n’est pas carrée et elle est mal conditionnée.

Les deux méthodes algébriques les plus utilisées sont ART (algebraic reconstruction method) et SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique). La méthode SIRT est une variante améliorée de ART.

Figure 32 : Géométrie de construction de la matrice de projection pour les méthodes algébriques (Bloch, 2010).

L’équation 19) est en fait une équation de régression linéaire multiple avec F la variable dépendante, R la matrice des variables prédictives et f les coefficients de régression. Toutes les techniques de traitement de la multi-colinéarité peuvent donc être utilisées (régression en composantes principales, régression

« Ridge », gradient biconjugué, régression PLS …). (Saporta, 2006). Le grand intérêt des méthodes algébriques est qu’il est également possible d’inverser le problème dans le cas de rayons courbes.

La modélisation qui précède suppose implicitement qu’un certain nombre d’hypothèses soient vérifiées.

Le phénomène physique est imparfaitement modélisé (l’isotropie du matériau implique des rayons acoustiques rectilignes, l’orthotropie implique des rayons courbes). Le rayon doit être infiniment fin ce qui n’est pas le cas en réalité. De plus, ce modèle ne tient pas compte de la dispersion du faisceau et de la diffraction. Il faut également ajouter les incertitudes de positionnement spatial et temporel (qu’est ce qu’un temps de vol ?) ajouté au faible nombre de projection.

2.7. Application au matériau bois