Affectation dynamique du trafic basée sur les activités
2. Modèle proposé
2.1 Modèle d’écoulement de trafic
La modélisation de l’écoulement du trafic dans le réseau routier consiste à décrire l’évolution du trafic. Elle fournit les estimations du temps de parcours en fonction de la demande et l’offre du système. Lorsque la demande dépasse l’offre, une file d’attente se crée vers l’amont. Pour prendre en compte l’effet de congestion, une approche consiste à modéliser la génération de la file d’attente ponctuelle d’un arc sans prise en compte de son extension physique (Kuwahara et Akamatsu, 1997). L’avantage de ce modèle réside dans le fait qu’il est facile à implémenter et représente l’effet de congestion. Si l’on souhaite avoir des résultats plus précis, des modèles d’écoulements du trafic plus compliqués sont susceptibles de le remplacer. Par exemple le modèle de file physique (Kuwahara et Akamatsu, 2001), les modèles macroscopiques du premier ordre (Buisson et al., 1995 ; Lebacque et Khoshyaran, 1999), les modèles macroscopiques du seconde ordre (Lebacque et al., 2006, 2007).
Considérons, dans un premier temps, des usagers partant de leur origine1 entre l’intervalle du temps de départs [0, T], l’équation de conservation du flux au niveau des points origine s’écrit par:
D d t dt o O (3.1)
T o
o =
∫
( ) , ∀ ∈0
Le nombre de véhicules arrivant à la destination d satisfait la contrainte du nombre total d’activités vacantes en d :
1 Nous supposons que toutes les origines et destinations correspondent aux entrées et aux sorties du réseau.
f t dt N k K d D
d k d
Pk
p T
d
p ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
∑ ∫
∈ =
, ,
) (
) (
| 0
(3.2) Le temps de parcours de l’arc (i, j) à l’instant d’entrée t est calculé par (Kuwahara et Akamatsu, 1997) :
Tij(t)=Dij−1(Aij(t))−t (3.3) L’écoulement du trafic dépend de la dynamique de la capacité maximale d’entrée et de sortie des arcs. Lorsque la demande d’entrée dans un arc est supérieure à son offre correspondante, une file d’attente se génère. On suppose qu’une intersection est un point de transition et son temps de parcours est égal à 0. Au niveau de la modélisation de la file d’attente, la plupart des modèles ne distinguent pas les différentes files d’attente générées en fonction des groupes des voies sur le même arc, mais ils utilisent uniquement une file d’attente en cas de congestion et y imposent la règle du FIFO (first-in-first-out). Cependant un arc peut être composé de plusieurs voies connectant plusieurs arcs sortants. En fonction des arcs sortants, les files d’attente seront créées dans différents groupes de voies et la règle FIFO n’est adaptée qu’au niveau de chaque groupe de voies. Pour ce faire, nous représentons la génération des files d’attente en fonction des groupes de voies.
La définition du groupe de voies
Considérons un arc dont les groupes de voies sont en fonction de leurs directions sortantes.
Fig. 3-1 Définition du groupe de voie
Nous supposons que les usagers n’utilisent que les groupes de voies correspondant à leur choix de directions sortantes. Une voie peut être partagée en deux groupes. Par exemple dans la Fig. 3-1 la voie v2 est partagée par groupe 1 et groupe 2. En cas de congestion, une file d’attente se crée au point d’intersection pour le groupe de voies en question.
La règle de propagation du trafic en intersections
La modélisation de la propagation du trafic en intersections est délicate en raison du changement de la configuration géographique et de la réaction des usagers ; e.g. le changement de la vitesse et de la voie utilisée etc. Considérons une autoroute où une intersection se compose de plusieurs arcs entrants et sortants sans prendre en compte des mesures de contrôle. Pour modéliser la génération des files verticales en fonction des
Modèle de divergent
Considérons un arc composé de plusieurs groupes de voies, lorsque le débit sortant d’un groupe de voies est supérieur à la capacité maximale d’entrée de l’arc choisi, une file d’attente est générée verticalement au point d’intersection. Cette file d’attente conserve les véhicules dans le même groupe et la règle FIFO est supposée vérifiée. De manière plus précise, considérons l’arc composé de plusieurs groupes de voie où s désigne l’indice de l’arc sortant . Le calcul de la capacité sortante de à l’instant t est défini par (voir la figure 3-1a):
er ls
es ls
)) ( σ , δ α min(
) (
δ t * t
s r s s
r e e
l rs l
e = (3.4) avec le coefficient directionnel associé à l’arc sortant et au groupe de voies . Par le principe de maximisation du flux au noeud, la somme des coefficients directionnels associés satisfait :
ls
αrs es ls
≥1
∑
αs s
l l
rs (3.5) Ce modèle de divergent peut être remplacé par le modèle d’optimisation (Lebacque, 2005) pour déterminer ces coefficients directionnels en résolvant l’équation de conservation du flux à l’intersection.
Fig. 3-1a La représentation du modèle divergent
Modèle de convergent
Lorsque plusieurs arcs convergent dans un noeud avec un ou plusieurs arcs sortants, la capacité maximale sortant pour le groupe de voies associées au sortant à l’instant t doit satisfaire la contrainte de capacité maximale d’entrée de l’arc (voir la figure 3-1a).
D’où :
ls es
) ( ),
( σ ) (
δ t t er M i
e
e e
r
s s
r ≤ ∈
∑
l (3.6) où) ( δs t
r
l
e : le débit maximal de sortie de l’arc er pour le groupe de voies à l’instant ls t )
(i
M : l’ensemble des arcs entrant à l’intersection i
Fig. 3-1b La représentation du modèle convergent
En ce qui concerne l’ordre d’entrée des véhicules dans les arcs sortants, on distingue deux différents cas : le cas fluide et le cas congestionné. Lorsque le trafic est en situation fluide, la règle de FIFO est appliquée. En revanche, lorsque les arcs sortants en question sont congestionnés, l’ordre d’entrée des véhicules dans les arcs entrants est déterminé par une règle probabiliste résultant de la résolution du conflit des différents arcs entrants. Cette règle peut être choisie soit par une règle aléatoire (c’est le cas observé dans les entrées de périphériques de Paris lorsque la densité approche de son maximum dans la section désirée d’entrée), soit par les modèles d’optimisation au noeud ou les modèles d’affectation d’équilibre (Lebacque et Khoshyaran 2005). Comme notre but est de tester les algorithmes de résolution, nous appliquerons la règle la plus simple, i.e. la règle aléatoire, aux études numériques dans ce modèle.