Affectation statique du trafic basée sur les activités
4. Etude numérique
4.1 Résolution basée sur la méthode de plans sécants
Nous utilisons la méthode de plans sécants pour résoudre le problème d’optimisation convexe. Le programme est écrit par le langage C++. Le résultat montre que la valeur objectif obtenue par cette méthode est 8946.66, soit une erreur d’estimation de 0.0380899 (0.004257‰) par rapport au résultat obtenu par la solution de MatLab pour le même problème. Les valeurs de la fonction objectif obtenues par la méthode des plans sécants sont dessinées dans la figure 2-4.
0 2 4 6 8
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Iteration
Criteria value
f(x)-t
0 2 4 6 8
8780 8800 8820 8840 8860 8880 8900 8920 8940 8960
Iteration
Inverse of objective value
-f(x)
Figure 2-4 La valeur de l’opposé de la fonction objectif−f(x) (à gauche) et la valeur du critère f(x)−t (à droite)
Arc Flux obtenus par la méthode
plans sécants
Flux obtenus par MatLab
1 70.0000 70.0000
2 200.0000 200.0000
3 0.0000 0.0000
4 175.8130 176.3540
5 94.1870 93.6459
6 0.0000 0.7057
7 0.0000 0.0000
Tableau 2-1 Comparaison des flux sur les arcs obtenus par différentes méthodes
4.2 Résolution basée sur la méthode de colonies de fourmis
Nous testons le nouvel algorithme ACO sur le même exemple. Les paramètres à tester sont illustrés dans le tableau 2-2. La topologie du réseau est modifiée en ajoutant un noeud fictif et deux arcs liés aux destinations offrant des activités vacantes. Nous initialisons tous les paramètres en choisissant un candidat dans le tableau 2-2 et effectuons 40 itérations. Ensuite,
de la figure 2-6 à la figure 2-14. Après des tests sur différents paramètres, un ensemble des paramètres de base est choisi dans le tableau 2-2. Nous analysons ces études numériques ci-dessous :
1. Dans la figure 2-6, le résultat obtenu montre que la quantité de phéromones est plus importante que la visibilité des arcs en question sur la performance de l’algorithme.
Cependant, si α est trop élevé, la convergence de l’algorithme n’est pas évidente.
2. Le tirage aléatoire n’influence pas le résultat de convergence (Fig. 2-7).
3. La valeur Q influence la quantité ajoutée de phéromones à la fin de chaque tour construit par une fourmi. Le temps de parcours est restreint dans pour tous les itinéraires avec les paramètres a=0.1 et b=2 dans la fonction de temps de parcours.
Comme =10 et =20, l’intervalle de la valeur brute d’activités est Le résultat montre que si la quantité de phéromones ajoutée est mois importante, la vitesse de convergence est plus lente (Fig. 2-8).
∞
≤ π
≤ ( ) 11
.
0 pm
λd md
. 6991 . 20 1
.
20 ≤vd ≤
4. Le taux d’évaporationρinfluence la vitesse de convergence, plus approche 1, plus vite l’algorithme converge (Fig. 2-9).
ρ
5. est un paramètre modifiant la quantité de phéromones à la fin de chaque itération.
Dans la Fig. 2-10, si ω
1 .
=0
ρ ω=10, l’ordre de 1
) ( ) 0 (
) , (
τ ≤ Δ τ ρω Δ
≤
∑
∈
∀rs E o rs o rs
t
t . Si ω=1 ,
1 . ) 0 ( ) 0 (
) , (
τ ≤ Δ τ ρω Δ
≤
∑
∈
∀rs E o rs o rs
t
t , la valeur de la fonction objectif est plus variable (Fig. 2-10).
6. L’influence de la fonction de pénalité est définie par deux paramètres :μ et ζ. On compare différentes valeurs de ζ en fixant μ à 0.1. Le résultat montre que la grandeur de la pénalité influence la meilleure solution trouvée (Fig. 2-11 et Fig. 2-12).
7. Les figures 2-13 et 2-14 représentent l’évolution de la quantité des phéromones sur les arcs. Il est clair qu’après certaines itérations, certains chemins sont renforcés et l’évolution de la quantité des phéromones se stabilise. En revanche, la quantité des phéromones des chemins plus coûteux est diminuée vers 0 après certaines itérations.
En conclusion, cette étude numérique montre que le rapport des paramètres pour la règle de transition, , doit être dans l’intervalle [1, 2] qui fait converger la solution. De plus, le paramètre permet de manipuler la quantité ajoutée de phéromones sur les arcs dont la valeur dépend des problèmes à résoudre.
β α/ ω
Fig. 2-5 La représentation du réseau avec les noeuds et les arcs artificiels
Equations Paramètres Valeurs
(2.8) λd {1,2,5,10*}
(2.8) md {0.1,0.5,1,2,5,10,20*}
(2.49) c 1*
(2.50) α {1, 2*, 3}
(2.50) β 1*
(2.19), (2.51) a, b 0.1*, 2*
(2.52) μ {0.05, 0.1*, 0.2}
(2.52) ζ {5*,10,20,100,1000,10000}
(2.54) Q {0.01*, 0.05, 0.1}
(2.55) ρ {0.1*, 0.5, 0.9}
(2.55) ω {1, 5, 10*, 20}
Tableau 2-2 Paramètres utilisés pour l’ACO (* désigne la valeur de base de test)
λd md vd Lm
2.5 5 5.4≤vd ≤7.7966 0.11≤Lm ≤∞
5 10 10.2≤vd ≤11.3983 0.11≤Lm ≤∞
10 0.1 0.2≤vd ≤0.7991 0.11≤Lm ≤∞
10 20 20.1≤vd ≤20.6991 0.11≤Lm ≤∞
Tableau 2-3 Liste des paramètres λdet md et l’intervalle de la valeur vd et Lm
Arc Flux obtenus par l’ACO
(Test 1) Flux obtenus par l’ACO (Test 2)
1 87 88
2 187 182
3 4 0
4 195 200
5 88 88
6 15 0
7 0 0
8 367 382
9 103 88
Tableau 2-4 Flux obtenus par l’algorithme de l’ACO avec les paramètres basés sur les valeurs de base dans le tableau 2-2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-8950 -8900 -8850 -8800 -8750 -8700 -8650
Iteration
objective value
j p ( ( ) )
Optimal Value by ACO, alfa=1, beta=1 Optimal Value by ACO, alfa=2, beta=1 Optimal Value by ACO, alfa=3, beta=1 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-6 Influence deα,βsur les valeurs de la fonction objectif
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-8950 -8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
j ( ( ) )
Optimal Value by ACO, test1 Optimal Value by ACO, test2 Optimal Value by ACO, test3 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-7 Influence du tirage aléatoire sur les valeurs de la fonction objectif
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -8950
-8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
Optimal Value by ACO, Q=0.01 Optimal Value by ACO, Q=0.05 Optimal Value by ACO, Q=0.1 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-8 Influence de la valeur Q sur les valeurs de la fonction objective
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-8950 -8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
Optimal Value by ACO, rho=0.1, zeta=5 Optimal Value by ACO, rho=0.5, zeta=5 Optimal Value by ACO, rho=0.9, zeta=5 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-9 Influence du ρ sur les valeurs de la fonction objectif
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-8950 -8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
j p ( ( ) )
Optimal Value by ACO, w=1 Optimal Value by ACO, w=5 Optimal Value by ACO, w=10 Optimal Value by ACO, w=20 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-10 Influence du ω sur les valeurs de la fonction objectif
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -8950
-8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
Optimal Value by ACO, Mu=0.05 Optimal Value by ACO, Mu=0.1 Optimal Value by ACO, Mu=0.2 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-11 Influence du μ sur les valeurs de la fonction objectif
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-8950 -8900 -8850 -8800 -8750 -8700
Iteration
objective value
Optimal Value by ACO, zeta=5 zeta=10
zeta=20 zeta=100 zeta=1000 zeta=10000 Optimal Value by MatLab
Fig. 2-12 Influence du ζ sur les valeurs de la fonction objectif
Fig. 2-13 Evolution de la quantité de phéromones de type
o
1Fig. 2-14 Evolution de la quantité de phéromones de type
o
2Fig. 2-15 Visualisation du flux sur le réseau