La modélisation paramétrique consiste à estimer les fonctions de risque des temps d’at- tente dans les états par des fonctions paramétriques. Ainsi, on suppose queαij(t) =gij(t,θij), oùgij est une fonction paramétrique intégrable. L’estimation de αij(.) consiste à estimer le vecteur de paramètresθij (qui inclut les coefficients de régression).
D’après l’équation (III.4), la vraisemblance (III.10) peut s’écrire
L= Yn
h=1
Nh
Y
k=1
pJh,k−1Jh,kfJh,k−1Jh,k(Xh,k)×
Xs
j=1
pJh,NhjSJh,Nhj(Uh)
δh
. (III.16) A partir des équations (III.14) et (III.15), la vraisemblance (III.16) peut s’écrire en fonc- tion des paramètrespij etθij.L’estimation des paramètres se fait ensuite par maximisation de la vraisemblance. On obtient ainsi les estimationspˆij des probabilités de la chaîne de Mar- kov et les estimations αˆij(.) des fonctions de risque des temps de séjour. On en déduit les estimateursfˆij(.) des fonctions de densité etSˆij(.)des fonctions de survie. De plus, d’après
(III.6) et (III.4), il est possible de déduire les estimeurs λˆij(.) des intensités du processus semi-Markovien par la formule suivante
ˆλij(d) = pˆijfˆij(d) Ps
j=1pˆijSˆij(d). (III.17)
On peut noter que la notation αij(d) =gij(d,θij) permet de considérer des natures de fonctions différentes suivant la transition étudiée. De plus, le nombre de paramètres qui définissent la fonction est spécifique à chaque transition. En pratique, cette écriture est très utile car elle permet d’adapter la modélisation à chaque transition et elle permet ainsi d’optimiser le nombre de paramètres. En effet, un des problèmes majeurs de l’estimation est dû au nombre de paramètres : s’il est trop grand (pour la base de données), les estimations seront peu fiables. Il est donc important de conserver uniquement les paramètres nécessaires en considérant une loi et un vecteur de covariables spécifiques à chaque transition.
Dans les études de survie de données épidémiologiques, les familles de fonctions les plus couramment utilisées pour modéliser les risques sont les lois exponentielles, les lois de Weibull et les lois de Weibull généralisées. Pour la modélisation de l’asthme, nous utiliserons ces mêmes familles de lois car elles sont bien adaptées aux problèmes épidémiologiques et elles ont l’avantage d’être « emboîtées », dans le sens où la loi de Weibull généralisée généralise la loi de weibull qui généralise la loi exponentielle. Il sera ainsi possible de juger la pertinence d’une loi en analysant les coefficients. D’autres choix de distributions sont possibles, mais il est important de faire un compromis entre la taille de la base et le nombre de paramètres qui définissent la loi. Dans la suite, nous présentons les fonctions de risque, de densité et de survie associées aux lois utilisées.
3.3.1 Loi de Weibull
La loi de Weibull possède de bonnes propriétés pour la modélisation des données de survie. Elle permet de prendre en compte une évolution monotone du risque instantané au cours du temps. Si la loi de Weibull sans covariable est utilisée pour modéliser le risque alors, ∀i, j∈E, i6=j,
αij(d) =νij µ 1
σij
¶νij
dνij−1, ∀d>0,∀νij >0,∀σij >0.
La distribution exponentielle, qui est sous jacente à une modélisation Markovienne homogène est obtenue pourνij = 1. Le modèle semi-Markovien avec loi de Weibull constitue ainsi une généralisation du modèle Markovien homogène à temps continu. En supposant le modèle à risques proportionnels, la fonction de risque avec covariables s’écrit,
αij(d,z) =νij µ 1
σij
¶νij
dνij−1exp(βTijzij).
En suivant la définition (III.14), la fonction de survie est Sij(d,z) =Sij(d)eβ
Tijzij
=
· exp(−
Z d
0
νij µ 1
σij
¶νij
uνij−1du)
¸eβTijzij
=
·
exp(−( d σij)νij)
¸eβTijzij
.
avecSij(d) la fonction de survie associée à une Weibull sans covariable. D’après (III.15), la densité correspondante est
fij(d,z) =Sij(d,z)αij(d,z)
=
·
exp(−( d σij)νij)
¸eβTijzij
νij µ 1
σij
¶νij
dνij−1exp(βTijzij).
Remarque 6 Si νij = 1, on retrouve les fonctions associées à la loi exponentielle avec covariables :
αij(d,z) = 1
σij exp(βTijzij) Sij(d,z) = exp(− d
σij)eβ
Tijzij
fij(d,z) = 1
σij exp(βTijzij) exp(− d σij)eβ
T ijzij
3.3.2 Loi de Weibull généralisée
La loi de Weibull est intéressante pour modéliser des risques monotones. Cependant, elle devient mal adaptée quand les risques ne sont pas monotones : par exemple les formes en cloches qui sont souvent présentes dans les études du vivant. Dans ces cas là, une alternative est l’utilisation de la loi de Weibull généralisée qui permet de modéliser des fonctions de risque instantané en forme de ∪ ou ∩. La fonction de risque (sans covariable) est donnée par
αij(d) = 1 θij
µ 1 +
µ d σij
¶νij¶ 1
θij−1
νij µ 1
σij
¶νij
dνij−1,
∀d>0,∀νij >0,∀σij >0,∀θij >0.En supposant les risques proportionnels, on a
αij(d,z) = 1 θij
µ 1 +
µ d σij
¶νij¶ 1
θij−1
νij µ 1
σij
¶νij
dνij−1exp(βTijzij).
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100
0.80.91.01.11.2
mu=1, sigma=1
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100
01020304050
mu=2, sigma=2
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100
0.10.20.30.40.5
mu=0.5, sigma=1
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100
246810121416
mu=1.5, sigma=1
Fig. III.1 – Exemple de fonctions de risque d’une loi de Weibull.
En utilisant les définitions (III.14) et (III.15), la fonction de survie est Sij(d,z) =Sij(d)eβ
T ijzij
= exp Ã
1− µ
1 + µ d
σij
¶νij¶ 1
θij
!exp(βTijzij)
avecSij(d),la fonction de survie sans covariable et la densité correspondante est fij(d,z) =Sij(d,z)αij(d,z)
= 1 θij
µ 1 +
µ d σij
¶νij¶θij1 −1
νij σij
µ d σij
¶νij−1
exp(βTijzij) exp Ã
1− µ
1 + µ d
σij
¶νij¶θij1 !exp(βTijzij)
Remarque 7 Si θij = 1,on retrouve les fonctions associées à la loi de Weibull. Si θij = 1 etνij = 1 on retrouve les fonctions associées à la loi exponentielle.
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100 120 140
0.00.020.040.06
mu=5, sigma=130, teta=1
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100 120 140
0.020.040.06
mu=5, sigma=130, teta=0.1
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100 120 140
0.00050.00100.0015
mu=0.5, sigma=130, teta=4
Temps
Fonction de risque
0 20 40 60 80 100 120 140
0.0100.0140.0180.022
mu=0.5, sigma=10, teta=4
Fig. III.2 – Exemple de fonctions de risque d’une loi de Weibull généralisée.