Problèmes de fermeture

_σ(ρC_p)_σ ∂hTσi^σ

∂t =∇ · _σhK_σi^σ · ∇ hT_σi^σ − hK_σi^σ· 1 V

Z

Aβσ

n_βσT˜_σdA+

+

DK˜σ · ∇T˜σ

E

− 1 V

Z

Aβσ

nβσ ·

K˜σ· ∇ hTσi^σ+Kσ· ∇T˜σ

dA (2.41)

Il est important de comprendre que nous nous basons dans tout ce paragraphe sur des estimations d’ordre de grandeur pour développer les équations macrosco- piques, et bien que ceux-ci aient été validés sur certains types de milieux générés (Quintard et Whitaker, 1994d,e), il semble tout de même utile de vérifier que les approximations décrites plus haut restent valables pour les matériaux étudiés.

Nous montrerons dans le chapitre suivant que les hypothèses de représentativité du volume de prise de moyenne ainsi que de la séparation des échelles impliquent effectivement que les simplifications décrites ici sont légitimes pour les matériaux considérés.

(ρCp)_β ∂T˜_β

∂t =∇· hKβi^β· ∇T˜β − hKβi^β· 1 V _β

Z

Aβσ

nβσT˜βdA−⁻¹_β

DK˜β · ∇T˜β

E + + ˜K_β· ∇ hT_βi^β+ ˜K_β· ∇T˜_β

− 1 V _β

Z

Aβσ

n_βσ ·

K˜_β · ∇ hT_βi^β +K_β · ∇T˜_β dA

(2.44) Dans un souci de simplification de l’écriture, on remarquera que

1 V

Z

Aβσ

n_βσT˜_βdA=D

∇T˜_βE

− ∇D T˜_βE

(2.45) Sachant que nous avons montré que :

DT˜_βE

= 0, (2.46)

et donc que :

∇D T˜_βE

= 0, (2.47)

on peut alors écrire : hK_βi^β · 1

V _β Z

Aβσ

n_βσT˜_βdA+⁻¹_β D

K˜_β · ∇T˜_βE

=D

K_β· ∇T˜_βEβ

(2.48) L’équation 2.44 se met alors sous la forme plus compacte :

(ρC_p)_β ∂T˜_β

∂t =∇ ·

K_β· ∇T˜_β−D

K_β· ∇T˜_βEβ

+ ˜K_β· ∇ hT_βi^β

(2.49)

− 1 V _β

Z

Aβσ

nβσ·

K˜β · ∇ hTβi^β+Kβ · ∇T˜β

dA (2.50)

On obtient de la même manière l’équation pour la phase σ :

(ρC_p)_σ ∂T˜_σ

∂t =∇ ·

K_σ· ∇T˜_σ−D

K_σ· ∇T˜_σEσ

+ ˜K_σ· ∇ hT_σi^σ

(2.51) + 1

V _σ Z

A_βσ

n_βσ ·

K˜_σ· ∇ hT_σi^σ+K_σ· ∇T˜_σ

dA, (2.52)

(2.6), (2.8) et (2.9) :

T˜β = ˜Tσ +hTσi^σ− hTβi^β sur Aβσ (2.53) n_βσ·K_β · ∇T˜_β =n_βσ·K_σ · ∇T˜_σ+n_βσ·K_σ· ∇ hT_σi^σ

−n_βσ·K_β · ∇ hT_βi^β surA_βσ (2.54) T˜_β =F⁰(r_β, t) surA_βe (2.55) T˜_σ =G⁰(r_σ, t) surA_σe (2.56)

Le problème local développé ici peut être simplifié sur la base des remarques sui- vantes :

– Les conditions aux frontières du volume de prise de moyenne ne sont en général connues que pour les variables macroscopiques. Cependant la condition de sé- paration des échelles (2.10) permet de s’affranchir de ces conditions aux limites car ces dernières n’ont d’influence sur les champs T˜_β etT˜_σ que dans une région d’épaisseur lβ et lσ proche des frontières du domaine macroscopique. Dans le cas de milieux désordonnés, on peut alors remplacer les conditions aux limites macroscopiques (2.55) et (2.56) par des conditions aux limites périodiques, sous réserve que la taille du volume de prise de moyenne soit grande devant les lon- gueurs de corrélation (Quintard et al., 1997).

– Les ordres de grandeur des termes de déviations du membre de droite de l’équa- tion (2.50) s’écrivent :

∇ ·D

K_β · ∇T˜_βEβ

=O K_βT˜_β Llβ

!

(2.57)

∇ ·

K_β· ∇T˜_β

=O K_βT˜_β l²_β

!

(2.58)

Comme L l_β, il est clair que ∇ ·D

K_β · ∇T˜_βEβ

est négligeable devant ∇ ·

K_β· ∇T˜_β .

– Même si le transfert à l’échelle macroscopique est instationnaire, on peut considé- rer que le problème de fermeture est quasi-stationnaire en imposant les contraintes suivantes :

K_βt

(ρC_p)_βl²_β 1 (2.59)

K_σt

(ρCp)_σl²_σ 1 (2.60)

Le problème de fermeture prend alors une forme plus simple :

∇ ·

K_β· ∇T˜_β + ˜K_β · ∇ hT_βi^β

= 1 V _β

Z

Aβσ

n_βσ·

K˜_β· ∇ hT_βi^β+K_β· ∇T˜_β dA

(2.61)

∇ ·

K_σ· ∇T˜_σ + ˜K_σ · ∇ hT_σi^σ

=− 1 V σ

Z

Aβσ

n_βσ·

K˜_σ· ∇ hT_σi^σ+K_σ · ∇T˜_σ dA

(2.62) T˜β = ˜Tσ +hTσi^σ − hTβi^β sur Aβσ (2.63) n_βσ ·K_β · ∇T˜_β =n_βσ·K_σ · ∇T˜_σ+n_βσ·K_σ· ∇ hT_σi^σ

−n_βσ·K_β · ∇ hT_βi^β surA_βσ (2.64) T˜_β(r) = ˜T_β(r+l_i) (2.65) T˜_σ(r) = ˜T_σ(r+l_i) (2.66) où l_i, i= x, y, z sont les vecteurs de périodicité dans les trois dimensions de l’es- pace.

On remarque que le problème n’est pas homogène en T˜ puisqu’il subsiste des termes enhT_βi^β-hT_σi^σ,∇ hT_βi^β et∇ hT_σi^σ. Ces termes sont identifiés par Quintard et Whitaker (1993a); Ahmadi et al. (1998) comme étant des termes sources, car, comme nous l’avons montré précédement, ils peuvent être considérés constants au sein du VER. Dans le cas général où l’équilibre local n’est pas valable, les températures intrinsèques de phasehT_βi^β ethT_σi^σsont différentes et les déviations peuvent être représentées sous la forme suivante :

T˜_β =b_ββ· ∇ hT_βi^β +b_βσ · ∇ hT_σi^σ +r_β

hT_βi^β − hT_σi^σ

+ξ_β (2.67) T˜σ =bσβ· ∇ hTβi^β +bσσ· ∇ hTσi^σ+rσ

hTβi^β− hTσi^σ

+ξσ (2.68) Les termes b et r sont appelés variables de fermetures et permettent de relier les déviations spatiales des températures aux variables macroscopiques. ξ_β etξ_σ sont des fonctions arbitraires que l’on espère petites. Si l’on remplace les déviations spatiales par les expressions précédentes dans les équations (2.50-2.66), on obtient

pondent aux regroupements des termes en ∇ hT_βi^β, ∇ hT_σi^σ, hT_βi^β − hT_σi^σ et de tous les termes du second ordre et supérieurs :

Problème I

∇ ·(K_β· ∇b_ββ) +∇K˜_β =c_ββ⁻¹_β (2.69)

∇ ·(K_σ· ∇b_σβ) = c_σβ⁻¹_σ (2.70)

b_ββ =b_σβ surA_βσ (2.71)

n_βσ·K_β · ∇b_ββ+n_βσ·K_β =n_βσ·K_σ· ∇b_σβ surA_βσ (2.72) hb_ββi^β = 0,hb_σβi^σ = 0 (2.73)

bββ(r+li) = bββ(r) (2.74)

b_σβ(r+l_i) = b_σβ(r) (2.75)

avec

c_ββ = 1 V

Z

Aβσ

n_βσ·

(K_β· ∇b_ββ) + ˜K_β

dA (2.76)

c_σβ =−1 V

Z

Aβσ

n_βσ·(K_σ· ∇b_σβ)dA =−c_ββ (2.77) Problème II

∇ ·(K_β· ∇b_βσ) = c_βσ⁻¹_β (2.78)

∇ ·(K_σ· ∇b_σσ) +∇K˜_σ =c_σσ⁻¹_σ (2.79)

b_σσ =b_βσ surA_βσ (2.80)

n_βσ ·K_σ · ∇b_σσ+n_βσ·K_σ =n_βσ·K_β· ∇b_βσ surA_βσ (2.81) hb_σσi^σ = 0,hb_βσi^β = 0 (2.82)

b_σσ(r+l_i) = b_σσ (2.83)

b_βσ(r+l_i) = b_βσ(r) (2.84)

avec

cσσ =−1 V

Z

Aβσ

nβσ·

(Kσ · ∇bσσ) + ˜Kσ

dA (2.85)

c_βσ = 1 V

Z

A_βσ

n_βσ·(K_β· ∇b_βσ)dA =−c_σσ (2.86)

Problème IIIa

∇ ·(K_β· ∇r_β) = ⁻¹_β a_Vh (2.87)

∇ ·(K_σ· ∇r_σ) = −⁻¹_σ a_Vh (2.88)

r_β =r_σ+ 1 sur A_βσ (2.89)

nβσ·Kβ · ∇rβ =nβσ·Kσ· ∇rσ surAβσ (2.90)

hr_σi^σ = 0,hr_βi^β = 0 (2.91)

r_σ(r+l_i) = r_σ(r) (2.92)

r_β(r+l_i) = r_β(r) (2.93)

avec

a_Vh= 1 V

Z

Aβσ

n_βσ·(K_β· ∇r_β)dA (2.94) Pour transcrire le problème précédent avec une variable continue, on poser_σ+ 1 = s_σ etr_β =s_β, ce qui permet d’écrire :

Problème IIIb

∇ ·(K_β · ∇s_β) = ⁻¹_β a_νh (2.95)

∇ ·(K_σ · ∇s_σ) = −⁻¹_σ a_Vh (2.96)

s_β =s_σ sur A_βσ (2.97)

nβσ·Kβ · ∇sβ =nβσ·Kσ· ∇sσ surAβσ (2.98)

hs_βi^β = 0,hs_σi^σ = 1 (2.99)

s_β(r+l_i) = s_β(r) (2.100)

s_σ(r+l_i) = s_σ(r) (2.101)

Le quatrième et dernier problème concerne les fonctions ξ_β et ξ_σ et il y apparaît tous les termes d’ordre deux et supérieurs qui proviennent du développement de

∇ ·

K· ∇T˜

. Ce problème est très complexe et nous ne le donnons pas ici, mais une étude de Quintard et Whitaker (1993a) montre que l’influence de ξ_β etξ_σ sur les coefficients macroscopiques est négligeable.

La résolution de ces trois problèmes (équations (2.69-2.75), (2.78-2.84) et (2.95- 2.101)) permet de définir les champs des variables de fermeture et ainsi de fer- mer les équations (2.40) et (2.41) afin d’obtenir une représentation macroscopique du transfert thermique. Le problème initial posé par les équations (2.4-2.9) est donc transformé en un ensemble d’équations gouvernant le transfert thermique à l’échelle macroscopique (équations fermées) et de problèmes simplifiés à l’échelle locale (problèmes de fermeture).

2.3.3 Équations macroscopiques

Les équations macroscopiques sont obtenues directement en remplaçant les dévia- tions par leurs expressions en fonction des variables de fermeture dans les équations (2.15) et (2.16) :

_β(ρC_p)_β ∂hT_βi^β

∂t =∇ ·

K_ββ · ∇ hT_βi^β

+∇ ·(K_βσ· ∇ hT_σi^σ)

+u_ββ· ∇ hT_βi^β +u_βσ · ∇ hT_σi^σ (2.102) +a_Vh

hT_βi^β− hT_σi^σ

_σ(ρC_p)_σ ∂hT_σi^σ

∂t =∇ ·(K_σσ · ∇ hT_σi^σ) +∇ ·

K_σβ · ∇ hT_βi^β

+u_σσ· ∇ hT_σi^σ+u_σβ· ∇ hT_βi^β (2.103)

−a_Vh

hT_βi^β− hT_σi^σ

La prise en compte du non équilibre thermique local à l’échelle macroscopique se fait donc en considérant au même point deux températures différentes,hT_βi^β et hTσi^σ, qui correspondent aux deux phases du milieu hétérogène. Il est alors nécessaire de résoudre deux équations couplées pour simuler le transfert thermique à l’échelle macroscopique.

Les coefficients macroscopiques qui interviennent dans les deux équations précé- dentes sont donnés ici explicitement en fonction des variables de fermeture :

K_ββ =_βhK_β·(I+∇b_ββ)i^β (2.104) Kσσ =σhKσ·(I+∇bσσ)i^σ (2.105)

K_βσ =_βhK_β· ∇b_βσi^β (2.106)

K_σβ =_σhK_σ· ∇b_σβi^σ (2.107)

u_ββ =c_ββ +_βhK_β· ∇s_βi^β (2.108) u_σσ =c_σσ−_σhK_σ· ∇s_σi^σ (2.109) u_βσ =c_βσ−_βhK_β· ∇s_βi^β (2.110) uσβ =cσβ+σhKσ · ∇sσi^σ (2.111)

On précise que théoriquement, les tenseurs macroscopiques croisés sont égaux, K_σβ = K_βσ (Quintard et Whitaker, 1993a). Compte tenu des relations (2.76), (2.77), (2.85) et (2.86), la somme des termes u_ββ, u_βσ, u_σβ et u_σσ est nulle. De plus, Quintard et Whitaker (1993a) ont montré que ces termes sont tous nuls si la cellule unitaire est symétrique.

Au travers des relations précédentes et de la résolution des problèmes de fermeture, la technique de prise de moyenne permet de définir des relations explicites entre les échelles considérées.

No documento Comportement thermique macroscopique de milieux fibreux réels anisotropes : étude basée (páginas 46-53)