1.3 Courbure de Wasserstein
1.3.3 Quelques exemples de courbure
Ici, nous donnons quelques exemples de courbure de Wasserstein.
1.3.3.1 Chaînes de Markov à temps continu
Supposons queE est fini et, sans perte de généralités, queE = {1, ..., N}, pour un certainN ∈ N∗. L’opérateur L opère alors sur toutes les fonctions numériques f, définies sur E, à travers la relation
∀i∈E, Lf(i) =
N
X
j=1
Li,jf(j),
où(Li,j)i,j∈E2 est une matrice, dont les éléments non-diagonaux sont positifs, et tel que la somme des éléments d’une même colonne est nulle. L’opérateurPt se représente de même par une matrice et la relationPt =etLest l’exponentielle usuelle d’une matrice. Lecarré du champs’écrit alors,
Γ(f, g)(i) = 1 2
N
X
j=1
Li,j(f(j)−f(i))(g(j)−g(i)).
Sur la géométrie des processus de Markov
Dans ce cas le théorème de Perron-Frobenius nous donne, sous la condition d’irréductibilité, et donc de récurrence positive, l’existence d’un trou spectral. La valeur propre peut être calculée directement sur certains exemples ou numériquement si N est assez petit. Cependant, il peut être difficile de calculer explicitement cette valeur propre ou d’obtenir une borne satisfaisante. De plus, il est difficile de calculer explicitement la courbure de Bakry-Émery. Utilisant des méthodes de couplage, on montre le lemme suivant :
Lemme 1.3.7(Convergence pour des chaînes discrètes sur un espace fini). Supposons que(Pt)t≥0 est le semigroupe d’une chaîne de Markov irréductible sur un espace finiE. Il existeκ >0tel que pour toutes loisµetν, on ait
∀t ≥0, dVT(µPt, νPt)≤Ce−κtdVT(µ, ν).
De plus, siLi,j >0pour touti, j ∈E alors on aC = 1.
En particulier, lorsque C = 1, la courbure de Wasserstein, associée à la distance triviale d : (x, y) 7→ 1x6=y, est strictement positive. La preuve est basée sur le couplage de Doeblin, introduit par lui-même en 1938, dans un article intituléExposé de la théorie des chaînes simple constantes de Markov à un nombre fini d’états.
Démonstration du Lemme1.3.7. On considère deux processus indépendants X et X, générés parf L, jusqu’au temps aléatoireT où ils coalescent, puis on les considère égaux. La propriété de Markov donne que chaque coordonnée suit la bonne dynamique et la propriété de récurrence du couple(X,X)f donne que le temps de coalescence vérifie
P(T > t)≤Ce−κt, pour un certainκ >0.
Lorsque l’espace d’état est dénombrable mais pas fini, la situation est différente. On pourra no- tamment lire [CJ10] qui décrit la courbure de Wasserstein, associée à diverses distances, des processus de naissance et mort. Leurs démonstrations sont basées sur une relation de commutation qui a inspiré les résultat du chapitre2.
1.3.3.2 Processus de diffusion de Kolmogorov-Langevin
Soit(Pt)t≥0 le semigroupe d’un processus de diffusion de Kolmogorov-Langevin(Xt)t≥0, solu- tion de l’E.D.S. suivante
dXt =√
2dBt− ∇V(Xt)dt.
Sur la géométrie des processus de Markov
Rappelons queΓf = |∇f|2. Soitκun nombre réel etd la distance usuelle. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. pour toute fonction régulièref, on aΓ2f ≥κΓf,
2. pour toute fonction régulièref ett ≥0, on aΓPtf ≤e−2κtPtΓf, 3. pour toute fonction régulièref ett ≥0, on a√
ΓPtf ≤e−κtPt√ Γf,
4. le semigroupe(Pt)t≥0 satisfait l’inégalité de Poincaré locale (1.5) avecλ0 =κ, 5. la constanteκminore le spectre de la hessienne deV,
6. pour toutx, y ∈E ett ≥0, on aWd(δxPt, δyPt)≤e−κtd(x, y).
L’équivalence 1 ⇔2 ⇔4 vient du théorème1.2.2 de Bakry-Émery. Via les expressions deΓ etΓ2, on voit facilement que 1⇔5. L’inégalité de Jensen donne 3⇒2. L’inégalité des accroissement fini donne 3 ⇔ 6. Remarquons aussi que l’on peut déduire 5⇒ 6 en couplant deux processus avec le même mouvement brownien.
Ces équivalences donnent en particulier que la courbure de Wasserstein et de Bakry-Émery coïn- cident pour les processus de diffusion de Kolmogorov-Langevin. C’est l’un des points qui a motivé cette définition. Finissons cet exemple en évoquant un résultat récent du à Andreas Eberle [Ebe11] : s’il existe une constante strictement positive qui minore le spectre de la Hessienne deV en dehors d’un ensemble compact, alors il existe une distancedf tel que la courbure de Wasserstein, associée à df, est strictement positive. La preuve est basée sur un couplage différent que celui décrit pour 5⇒ 7, nommé couplage par réflexion.
Remarque 1.3.8(Processus d’Ornstein-Uhlenbeck et de Kolmogorov-Langevin à double puits). Si on reprend les deux exemples de la figure1.1, on peut se faire une idée de leurs courbures à l’aide de l’algorithme indiqué dans la remarque1.3.2. En effet, la figure1.2donne une approximation de
t7→Wd(δ−1Pt, δ1Pt),
où d est la distance en valeur absolue et (Pt)t≥0 désigne, sur la figure de gauche, le semigroupe d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck, et, sur la figure de droite, celui du processus avec le potentiel non-convexe introduit dans l’exemple(1.2.4).
Remarque 1.3.9(Sur l’équivalence 2⇔7 et la distance intrinsèque). Soit(Pt)t≥0 un semigroupe de Markov quelconque sur un espace polonaisE. SiΓdésigne son opérateur carré du champalors on peut définir la distance intrinsèquedΓ surEde ce semigroupe par
∀x, y ∈E, dΓ(x, y) = sup
f
{ |f(x)−f(y)| | kΓfk∞ ≤1}.
Sur la géométrie des processus de Markov
Figure 1.2–Convergence vers l’équilibre de deux processus de Kolmogorov
L’inégalité(1.3)du théorème1.2.2entraine donc que la courbure de Bakry-Émery coïncide avec la courbure de Wasserstein associée à la distance intrinsèque pour tout processus de Markov. Dans le cas particulier des processus de diffusion, la distance intrinsèque correspond à la distance usuelle.
1.3.3.3 Processus stochastiquement monotone
Dans le chapitre 2, nous allons décrire la courbure de Wasserstein des processus unidimension- nelles et stochastiquement monotones. Plus précisément, on considérera un processus de Markov (Xt)t≥0, défini sur une partie E deR, qui vérifiera : pour tout x, y ∈ E, x ≥ y, et t ≥ 0, il existe deux copies deX,Xx etXy, tel queX0x =x, X0y =yetXtx ≥Xty. Pour ce type de processus, nous montrerons que nous avons
∂xEx[f(Xt)] =Ex
f0(Yt)e−R
t
0V(Ys)ds
,
pour toute fonction régulièref, x ∈ E et t ≥ 0. Ici(Yt)t≥0 est un certain processus auxiliaire etV une fonction explicite. La démonstration est basée sur une relation de commutation entre le gradient et le générateur. Avec cette formule, on voit facilement que la courbure est donnée par
ρ= inf
x∈EV(x).
Sur la géométrie des processus de Markov
D’autres applications de cette formule seront donnés dans ce chapitre. Par exemple, en utilisant le fait que
Ex
e−R
t
0V(Ys)ds
≈e−λt,
oùλest la première valeur propre, de l’opérateur de type Schrödinger associé à cette formule de type Feynman-Kac, on montrera que la vitesse de convergence, en distance de Wasserstein, d’un processus de Kolmogorov-Langevin, vers son équilibre, est décrite par ceλqui correspond aussi au trou spectral.