1.2.1 Courbure de Bakry-Émery d’un processus de Markov
SoitEun espace polonais et(Xt)t≥0un processus de Markov surE. Pour toutt≥0, on considère l’opérateurPtqui à toute fonctionf : E → Rmesurable et bornée associe la fonction mesurable et bornée définie, pour toutx∈E, par
Ptf(x) =E[f(Xt)|X0 =x] =
Z
E
f(y)Pt(x, dy).
L’opérateur P0 = Id est la fonction identité et la propriété de Markov entraîne que (Pt)t≥0 est un semi-groupe :
∀s, t≥0, Pt+s=Ps+t =Pt◦Ps =Ps◦Pt. SiX0a pour loi de départµalors, pour toutt≥0, la loi deXtest décrite par
E[f(Xt)] =µPtf =
Z
E
Z
E
f(y)Pt(x, dy)µ(dy)
pour toute fonction continue et bornée f. En particulier, une mesure de probabilité π est dite inva- riante, ou stationnaire, si
∀t ≥0, πPt=Pt.
SiXt converge en loi, lorsquettend vers l’infini, vers une distribution πalorsπ est nécessairement invariante. Cette mesure est naturellement connectée au générateur. On dit qu’une fonction mesurable et bornéef : E → Rappartient au domaine du générateurLdu processus lorsque la limite suivante existe pour toutx∈E :
Lf(x) = lim
t→0+
Ptf(x)−f(x)
t =∂tPtf t=0(x).
L’opérateurLainsi défini est appelé générateur infinitésimal du processus(Xt)t≥0ou du semi-groupe (Pt)t≥0. La propriété de semi-groupe donne les équations de Chapman-Kolmogorov forward et back- ward :
∀t≥0, ∂tPt(f) =Pt(Lf) = L(Ptf).
Comme première application, on voit qu’une mesureπest invariante si π(Lf) =
Z
ELf(x)π(dx) = 0,
Sur la géométrie des processus de Markov
pour toute fonction f appartenant au domaine de L. Tout se passe comme si «Pt = etL». En ef- fet, la précédente expression peut être interprétée en terme d’éléments propres : la mesureπ est un vecteur propre deL∗ associé à la valeur propre0. Notons que la fonction constante égale à 1est un vecteur propre deLpour la même valeur propre. Comme pour les matrices, si ce vecteur propre est unique alors le semi-groupe converge vers elle, à une vitesse décrite par la seconde valeur propre.
Plus précisément, on dit qu’une mesureπest réversible, ou symétrique, si
Z
E
f(x)Ptg(x)π(dx) =
Z
E
g(x)Ptf(x)π(dx), ou de manière équivalente
Z
E
f(x)Lg(x)π(dx) =
Z
E
g(x)Lf(x)π(dx),
pour toutes fonctions f, g suffisamment régulières. C’est-à-dire que L et Pt sont auto-adjoints (ou symétriques) dansL2(E, π). On dit qu’un semigroupe symétrique, par rapport à sa mesure invariante, satisfait une inégalité de trou spectral, si le spectre de −L est inclus dans {0} ∪[λ0,∞), pour un certainλ0 >0. Via un argument de théorie spectrale, on montre facilement que dans ce cas, on a
∀t≥0, Varπ(Ptf)≤e−λ0tVarπ(f), (1.1) pour toute fonctionf suffisamment régulière. Ici, on a utilisé la notation
Varπ(f) =
f−
Z
E
f dπ
L2(E,π)
=
Z
E
f(x)−
Z
E
f(y)π(dy)
2
π(dx).
Malheureusement, la plupart des processus que l’on étudie, dans cette thèse, ne sont pas symétriques.
Dans le cas de processus non-réversibles, on peut néanmoins démontrer une inégalité de Poincaré : Lemme 1.2.1(Inégalité de Poincaré). Supposons que le domaine deLest dense dansL2(E, π), oùπ est la mesure invariante de(Pt)t≥0. L’inégalité du trou spectral(1.1)est équivalente à l’inégalité de Poincaré : pour toute fonctionf dansL2(E, π), on a
Varπ(f)≤ − 1 λ0
Z
E
f(x)Lf(x)π(dx). (1.2)
Ce lemme donne l’équivalence entre une information locale, c’est-à-dire infinitésimale, et une information globale, c’est-à-dire de convergence lorsquet tend vers l’infini. L’inégalité de Poincaré est un cas particulier de diverses inégalités fonctionnelles liées à la convexité [ABC+00, Cha04].
Notons que l’inégalité (1.1) est toujours satisfaite avecλ0 = 0. En effet, l’inégalité de Jensen assure
Sur la géométrie des processus de Markov
que l’applicationt → Varπ(Ptf)est décroissante. La quantité de droite dans l’inégalité de Poincaré fait intervenir l’énergie du processus ; c’est-à-dire la quantité
E(f) = −
Z
E
f(x)Lf(x)π(dx) =
Z
E
Γ(f, f)(x)π(dx), où l’opérateurΓ, nommécarré du champ, est défini par
Γ(f, g) = 1
2[L(f g)−gLf−fLg].
On peut aussi définir une famille d’opérateur(Γn)n≥0 de la manière suivante : Γn+1(f, g) = 1
2[LΓn(f, g)−Γn(Lf, g)−Γn(f,Lg)],
avec Γ0(f, g) = f ×g. En particulier Γ1 = Γ. On note aussi Γnf = Γn(f, f). Ces divers opérateurs interviennent dans diverses inégalités fonctionnelles. Citons par exemple le critère de Bakry-Émery [ABC+00, Proposition 5.4.1] qui donne une information sur la stabilité du processus :
Théorème 1.2.2(Critère de courbure de Bakry-Émery). Soitρ ∈ R. Sous les hypothèses du lemme précédent, les assertions suivantes sont équivalentes :
– pour toute fonctionf dans le domaine deL, on a
Γ2f ≥ρΓf, (1.3)
– Pour toute fonctionf dans le domaine deLett≥0, on a
ΓPtf ≤e−2ρtPtΓf, (1.4)
– L’inégalité de Poincaré locale est satisfaite : pour toute fonction f dans le domaine de L et t≥0, on a
Pt(f2)−(Ptf)2 ≤ 1−e−2ρt
ρ PtΓf. (1.5)
En particulier, siρ >0alors l’inégalité du trou spectral(1.1)est satisfaite avecλ0 =ρ.
Le paramètre optimal ρ (i.e. le plus grand), dans le lemme précédent, est appelé courbure de Bakry-Émery car il est lié à la géométrie de l’espace comme on peut le voir avec les processus de diffusion. Notons que lorsque la mesure invarianteπ est réversible alors il existe aussi le « critèreΓ2 intégré » [ABC+00, Proposition 5.5.4] qui donne une condition plus faible pour queπsatisfasse une inégalité du trou spectral.
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1.2.2 Les processus de diffusion
Un processus de diffusion sur un espace polonais E est un processus X dont le générateur in- finitésimal L satisfait la propriété de dérivation en chaîne suivante : pour toute famille finie f = (f1, . . . , fn)de fonctions appartenant au domaine deL, et toute fonctionφ:Rn→Rrégulière, on a
Lφ(f) =
n
X
i=1
∂xiφ(f)Lfi+X
i,j
∂xi∂xjφ(f)Γ(fi, fj).
Cette propriété est liée aux propriétés de régularité des trajectoires du processus. En effet, si(Pt)t≥0
est un semigroupe de diffusion, alors les trajectoirest→f(Xt)sont continues, pour toute fonctionf dans le domaine deL. SurRn, les processus de diffusions sont les solutions d’équations stochastiques dirigées par un mouvement brownien. Plus précisément,
∀t≥0, dXt=b(Xs)ds+σ(Xs)dBs,
où(Bt)t≥0 est un mouvement brownien surRn, σ : Rn → Rn×Rn est une application mesurable tel que, pour tout x ∈ Rn, σ(x) est une matrice symétrique et positive, et b : Rn → Rn est une application mesurable. Le générateur est alors donné par la relation
Lf(x) =
n
X
i=1
bi(x)∂xif(x) +
n
X
i,j=1
1
2(σ(x)·σ(x)t)i,j ∂xi∂xjf(x).
L’exemple fondamental est le processus dit de Kolmogorov-Langevin :
∀t≥0, dXt=−∇V(Xs)ds+√
2dBs, (1.6)
oùV est un potentiel régulier vérifiantRRne−V(x)dx = 1. Ce processus possède une unique mesure réversible et stationnaire,π(dx) = e−V(x)dx, nommée mesure de Blotzmann-Gibbs. Dans ce cas,
Lf = ∆f − ∇V · ∇f, Γ(f, g) = h∇f,∇gi,
etΓf = Γ(f, f) =k∇fk2, d’où la dénominationcarré du champ(de gradient). Enfin, l’opérateurΓ2
est donné par
Γ2f =kHessfk2 + (∇f)>·HessV · ∇f.
On peut donc maintenant utiliser le critère de Bakry-Émery pour avoir le résultat suivant :
Corollaire 1.2.3(Courbure de Bakry-Émery des processus de Kolmogorov-Langevin). SiX est so-
Sur la géométrie des processus de Markov
Figure 1.1–Trajectoire de deux processus de Kolmogorov
lution de(1.6)etρminore le spectre de la matrice hessienne deV, alors les assertions du Théorème 1.2.2sont satisfaites avecλ0 =ρ.
Exemple 1.2.4(Processus d’Ornstein-Uhlenbeck). Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est le proces- sus de Kolmogorov-Langevin associé au potentiel V(x) = µkxk2/2, pour µ > 0. La courbure de ce processus vautµet les inégalités(1.1),(1.2),(1.3)et(1.4)sont des égalités. On parle parfois de courbure exacte. Le membre de gauche de la figure 1.1 représente une de ces trajectoires. On peut remarquer que le processus se stabilise très rapidement vers un équilibre concentré en zéro. Pour comparer, le membre de droite représente une diffusion de Kolmogorov associée au potentiel non- convexeV(x) = x4/4−x2/2. La courbure de ce second processus est négative. Cela vient du fait que sa distribution invariante est bimodale et le processus n’atteint son équilibre qu’après avoir visité les deux « bosses »de sa probabilité stationnaire.
Remarque 1.2.5(Un lien avec la géométrie). SoitM une variété compacte de dimension n munie d’une métrique riemannienneg. Il existe un opérateur∆surM, dit de Laplace-Beltrami, qui généra- lise le laplacien surRn. Cet opérateur génère un processus de diffusion qui admet une unique mesure invariante et réversible, qui est la mesure de volume normalisée associée à(M, g). On peut montrer dans ce cas, que la courbureρde Bakry-Émery vérifie, pour toutk∈R,
∀x∈M, ∀v ∈TxM, Ricx(v, v)≥kkvk2 ⇒ρ≥k.
Ici, Ric représente le tenseur de Ricci etTxM le plan tangent àM en x. Par exemple, dans le cas oùM est une sphère de dimension 2, ρ = 1. Cette définition de la courbure permet donc d’unifier
Sur la géométrie des processus de Markov
l’analyse et la géométrie dans le cadre de l’étude des processus de diffusions sur des variétés. Notons aussi que lorsque l’on considère un opérateur de la forme L = ∆ +X, où X est un champ de vecteur, alors, comme dans le corollaire1.2.3, la courbure de Bakry-Émery s’écrit comme la somme d’un terme lié à la courbure de Ricci et d’un terme minorant le spectre de la matrice Hessienne de X. La courbure de Bakry-Émery prend donc en compte à la fois la courbure de l’espace ambiant et la dérive du processus.
On vient de voir que la courbure de Bakry-Émery se calcule aisément dans le cadre des processus de diffusion, et que dans ce cas elle caractérise la courbure de l’espace ambiant. La situation est différente lorsque le processus admet des sauts car la règle de dérivation en chaîne ne s’applique pas et il est difficile d’expliciter l’opérateurΓ2, ou lorsque l’espace est discret car il n’existe pas de notion universelle équivalente à la courbure de Ricci. Ces problèmes nous poussent à étudier une autre notion de courbure.