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types d’erreurs rencontr´ees. Dans des cas pathologiques, par exemple 10 % de bruit, les erreurs peuvent mˆeme croˆıtre apr`es les premi`eres 10 it´eration.
En erreur relative on arrive `a descendre en dessous 10% pour le module de Young E et le coefficient de Poisson ν et `a 10-30% pour le module de ci- saillement G. L’influence du bruit sur l’erreur relative est consid´erable comme montr´ee dans les tableaux de l’annexe A.4.
Les erreurs en volume et moment sont apr`es les premi`eres 5 it´erations de l’ordre de 10% - 20% pour le module de cisaillement Get plus petites que 5% pour le module de YoungE et le coefficient de Poissonν. En continuant les it´erations les erreurs descend en dessous de 10% pour le module de cisaillement Get en dessous de 2% - 3% pour le module de Young E et le coefficient de Poissonν.
Ces valeurs sont valables pour jusqu’`a 5% de bruit. A 5% de bruit on a une d´et´erioration de la reconstruction `a 17 it´erations seulement pour l’inclusion coin (D). Par contre `a 10% de bruit toutes les formes d’inclusion test´ees se d´et´eriorent apr`es un faible nombre (≈10) d’it´erations.
On observe que, les erreurs relatives sont g´en´eralement plus grandes que les erreurs en volume ou en moment. Ceci s’explique par les formes ondul´ees des surfaces reconstruites et assure une meilleure reconstruction si le nombre des valeurs `a identifier est plus petit. Donc des informations `a priori sur les formes des inclusions vont probablement am´eliorer les r´esultats.
Du point de vue localisation spatiale, on observe comme dans le cas isotrope que les oscillation provoqu´ees par le bruit sont plus significatives dans une bande `a la fronti`ere du domaine.
– Si on compare les reconstructions obtenues en appliquant des forces et des mo- ments concentr´es, on observe que les forces donnent des modules plus proches dans les premi`eres (1 - 8) it´erations mais que les moments devient apr`es 10 it´erations g´en´eralement plus pr´ecises. Un ph´enom`ene similaire a ´et´e aussi ob- serve dans le cas de l’´elasticit´e isotrope.
– Un effet stabilisateur sur la solution est obtenu par les mesures proches des coins du domaine.
– On n’a pas observ´e une croissance ou une d´ecroissance syst´ematique des erreurs pour des maillages de plus en plus fins. Une explication possible est que pour les maillages plus fins on a aussi eu un nombre plus grand de mesures et de points de mesure, ce qui n’est pas le cas dans la comparaison faits dans le cas isotrope o`u le nombre des mesures a ´et´e tenu constant.
– En comparant les reconstructions des diff´erents modules, on a des modules de Young et des coefficients de Poisson plus proches des distributions r´eelles (en erreurs) que les modules de cisaillement. Par contre on observe que la reconstruction des modules de cisaillement est plus robuste au bruit.
– L’erreur en loi de comportement a une descente rapide dans les premi`eres 5 - 10 it´erations, apr`es un palier `a descente tr`es lente, pour les faibles valeurs de bruit (0% - 5%), est atteint. Pour des valeurs 5% - 10% on perd la convergence
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et l’erreur en loi de comportement se met `a osciller irreguli`erement en intro- duisant des oscillations de plus en plus grandes dans les modules reconstruits.
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Fig. 3.6 – Erreur relative du module de Young reconstruit pour une inclusion carr´ee (B) (δE1/E0 = 0.5,ν = constant, maillage 6×6) avec des mesures sans bruit (en haut) et avec bruit n= 5% (en bas)
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Fig. 3.7 – Distribution du module de Young reconstruit pour une inclusion carr´ee (B) (δE1/E0 = 1,ν = constant, maillage 6×6) avec des mesures sans bruit (en haut) et avec bruit n= 5% (en bas)
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Fig. 3.8 – Distribution reconstruite exponentielle du module de Young (δE1/E0 = 0.5,ν =constant, maillage 24×24) avec des niveaux de bruit :n= 1% (`a gauche) et n= 5% (`a droite)
Fig. 3.9 – Module de Young r´eel (en haut) et reconstruit apr`es 15 it´erations (en bas) pour une inclusion annulaire (C) (δE1/E0 = 1,ν =constant, maillage 24×24)
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Fig. 3.10 – Erreur en loi de comportement pour des distributions exponentielles du module de Young avec (en haut) et sans bruit (en bas) (δE1/E0= 0.5)
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Fig. 3.11 – Inclusion A (marche) - distribution r´eelle et reconstruite (11 it´erations) du module de cisaillement G
VAL - ISO
A 2.00E+10 B 3.00E+10 C 4.00E+10 D 5.00E+10 E 6.00E+10 F 7.00E+10 G 8.00E+10
Fig.3.12 – Inclusion A (marche) - distribution reconstruite (11 it´erations) du module de cisaillement G
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Fig. 3.13 – Inclusion A (marche) - distribution r´eelle et reconstruite (5 it´erations) du module de cisaillement G - 5% bruit
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VAL - ISO
A 2.00E+10 B 3.00E+10 C 4.00E+10 D 5.00E+10 E 6.00E+10 F 7.00E+10 G 8.00E+10
Fig.3.14 – Inclusion A (marche) - distribution reconstruite (5 it´erations) du module de cisaillement G- 5% bruit
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Fig. 3.15 – Inclusion B (carre) - distribution r´eelle et reconstruite (32 it´erations) du coefficient de Poisson ν - 0% bruit
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VAL - ISO
A .29 B .31 C .33 D .35 E .37 F .39 G .41
Fig. 3.16 – Inclusion B (carre) - distribution reconstruite (32 it´erations) du coeffi- cient du Poisson ν - 0% bruit
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Fig. 3.17 – Inclusion B (carre) - distribution r´eelle et reconstruite (10 it´erations) du coefficient de Poisson ν - 0% bruit
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VAL - ISO
A .29 B .31 C .33 D .35 E .37 F .39 G .41
Fig. 3.18 – Inclusion B (carre) - distribution reconstruite (10 it´erations) du coeffi- cient du Poisson ν - 0% bruit
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Fig.3.19 – Inclusion C (annulaire) - distribution r´eelle et reconstruite (32 it´erations) du module de cisaillement G
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VAL - ISO
A 2.00E+10 B 3.00E+10 C 4.00E+10 D 5.00E+10 E 6.00E+10 F 7.00E+10 G 8.00E+10
Fig. 3.20 – Inclusion C (annulaire) - distribution reconstruite (32 it´erations) du module de cisaillement G
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Fig.3.21 – Inclusion C (annulaire) - distribution r´eelle et reconstruite (17 it´erations) du module de cisaillement G - 5% bruit
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VAL - ISO
A 2.00E+10 B 3.00E+10 C 4.00E+10 D 5.00E+10 E 6.00E+10 F 7.00E+10 G 8.00E+10
Fig. 3.22 – Inclusion C (annulaire) - distribution reconstruite (17 it´erations) du module de cisaillement G- 5% bruit
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Fig.3.23 – Inclusion D (annulaire) - distribution r´eelle et reconstruite (14 it´erations) du coefficient de Poisson ν - 0% bruit
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Fig. 3.24 – Inclusion D (´echelle) - distribution reconstruite (14 it´erations) du coef- ficient du Poisson ν - 0% bruit
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Fig. 3.25 – Inclusion D (´echelle) - distribution r´eelle et reconstruite (2 it´erations) du coefficient de Poisson ν - 10% bruit
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Fig. 3.26 – Inclusion D (´echelle) - distribution reconstruite (2 it´erations) du coeffi- cient du Poisson ν - 10% bruit
Comparaison avec le probl`eme ´electrique 86