Reconstruction avec référence de phase

Maintenant, nous allons aborder les méthodologies de reconstruction des cycles acoustiques et des moyennes basées sur un référencement en phase. Elles sont associées à trois types de procédures (2 à 4). Ce chapitre présente les post-traitements qui leurs sont appliqués. Certains sont dérivés des précédents.

IV.3.1. Procédure numéro 2

IV.3.1.1 Principe général

Pour les détails techniques (électroniques…), se référer aux paragraphes §II.2.3.2 et §IV.1.5.2.1.

Cette procédure est classique en PIV appliquée à un écoulement oscillant [Michard et al, Blanc-Benon et al, Duffourd, Berson, Nabavi et al, Berson et al 1 et 2]. Elle consiste à discrétiser le cycle acoustique en un certain nombre de phases. Pour les travaux entrepris ici, le cycle est décomposé en 16 phases ; elles ne sont pas forcément identiques pour chaque série complète de mesure, et peuvent ne pas être équi-réparties (Figure 47 gauche).

Phase

Amplitude (en V)

Phases de mesure PIV Signal de pression

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Temps (s)

Amplitudes (en V)

Signal référence Flashs à une phase

 _i

t

n^_1

 i

t

n^

t

_n^{ }_ⁱ₄

_i

Figure 47 : A gauche, exemple de discrétisation en phase (en rouge) du signal de pression (en bleu) pour la

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

On choisit une phase du cycle de pression, par exemple  sur la figure 47. A chaque fois que cette phase est

« visitée », une paire d’images est acquise (figure 47). Un grand nombre d’acquisitions de vitesse est ainsi réalisé pour cette phase donnée. Après application des prétraitements (cf. § IV.1.1) et du calcul par flot optique (cf. § IV.1.2), on obtient donc des champs instantanés de vitesse, correspondant à la phase



_i

 2  ft

_n^{ i} (f fréquence acoustique) :

V   x , y , t

n^{ i}



avec x[0,L_PIV], y[R_i,R_i]

   

tot PIV

e

n t nT n N

t ^i  ₀^i  ^{( )}, 1 

 i

t₀^ est le temps origine de l’acquisition

est la période d’acquisition synchronisée, dépendant du signal extérieur donc susceptible de fluctuer (si la fréquence de la pression évolue, ce temps suivra) ; dans les cas favorables, , cette dernière étant la période acoustique.

) (PIV

T

e

t PIV

e

T

T

^{( )}



A partir de ces champs, on calcule la vitesse à la phase i par moyenne de phase. Une étape du post-traitement consiste à vérifier que cette moyenne est bien convergée. Le champ de vitesse de l’écoulement moyen est calculé par la suite par moyenne de phase.

IV.3.1.2 Obtention des champs convergés de vitesse à toutes les phases du cycle

Partons de la décomposition de Hussain et Reynolds



^r 

 

^x;y



_:

  ˆ   , ' ( , ) )

, ( ' ) ,

~ ( ) ,

( r t V r t V r t V r V r t V r t V             

_

   

où ~( , ) est la vitesse oscillante (contient le mode acoustique fondamental et les harmoniques) t

r V 

  r V  

est la composante indépendante du temps (moyenne en temps)

V  ' ( r  , t )

: composante de vitesse non périodique (turbulence, bruit…) V

 

r t V r t V

 

r



  ~( , )

ˆ , est appelée « moyenne de phase »

La moyenne de phase est définie par la formule suivante :

  _  

 





 ^tot



tot

N

n

PIV e

N tot

V r t nT

t N r V

0

)

;

(

lim 1

ˆ  ,  



La notation

^

_ désignera par la suite la moyenne de phase.

Ces différentes quantités ont pour propriétés :

 

 



tot

tot

t

t tot V(r,t)dt lim t

r V

0

1  

 

,

 

, 0 et ˆ'

 

, 0 '    



t r V t

r

V   

,

    r t V r t V  ˆ  ,   ,





.

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

On possède un ensemble d’échantillons



V



x,y,tn^{ i}



, 1nNtot



acquis pour une phase i. Le champ de vitesse

^{V  ˆ}

_

 ^{r  , }

_i



correspondant à cette phase _i est la moyenne de phase calculée sur tous les échantillons Ntot :

  _ 

^{ }











 

 ^{tot i}

tot

N

n n

N tot

i

V r t

r N V

0

1 ; lim

ˆ  ,  



Au final, on obtient la famille de champs de vitesse de phase

 





Vˆ_ r, , i N_

i 1

 

IV.3.1.3 Vérification de la bonne convergence des champs de vitesse V  ˆ

_

Pour avoir une information pertinente sur les

^{V ˆ }

_

 ^{r  , }

_i



, il est nécessaire d’avoir un nombre d’échantillons Ntot

suffisant. La convergence de la moyenne qui sert au calcul de

^{V  ˆ}

_

 ^{r  , }

_i



est vérifiée systématiquement. Pour cela, on prend la famille d’échantillons



V



x,y,tn^{ i}



Ntot



n

 1

, correspondant à la phase _i. A partir d’elle, on calcule pour les composantes suivant x et y de la vitesse

V    V

x

, V

y



(V par la suite désigne V_x ou V_y : - la vitesse maximale

 

^{ }

 

n^{ }

 

tot

y

n x

V x y t n N

t

V

^i

 max , ,

^i

, 1  

) , (

(max)



à chaque temps

t

_n^{ i}

 on obtient la famille de vitesse maximale



V^(max)

 

tn^{ i} , 1nNtot



- la vitesse minimale

 

^{ }

 

n^{ }

 

tot y

n x

V x y t n N

t

V

^i

 min , ,

^i

, 1  

) , (

(min)



à chaque temps

t

_n^{ i}

 on obtient la famille de vitesse minimale



V^(min)

 

tn^{ i} , 1nNtot



- la vitesse moyenne en espace

 

^{ }

^ _

^{ }

D

n

n

V x y t dx dy

t D

V

ⁱ

1  ( , ,

ⁱ

)

à chaque temps

t

_n^{ i} (D : domaine d’intégration sur x et y et |D| sa surface)

 on obtient la famille de vitesse moyenne

 V   t

n^{ i}

, 1  n  N

tot



.

On calcule une famille de moyenne incrémentée (sur un nombre croissant d’échantillons) pour chacune de ces 3 familles. Soit, pour généraliser, la famille d’échantillons



U

 

tn^{ i} , 1nNtot



où U est soit la vitesse minimale, maximale ou moyenne (U

≡

V^(min), V^(max) ou <V>) ; la moyenne incrémentale est construite de telle façon :

 

 

_  

^{ }









^N

n n

N

i

i

U t

t N U

~

1

~

1 ~

~

avec N~ un nombre d’échantillons inférieur à Ntot.

On fait varier N entre 1 et Ntot et on obtient les trois familles suivantes, respectivement pour la vitesse maximale, minimale et moyenne spatiale :

~

  N  V   t

N^{ }

N N

tot



V

ⁱ

i



^

 



~ ~ , 1 ~

~

(max) (max) ~ ,

V   N  V   t

N^{ i}

N N

tot



i



^

 



~ ~ , 1 ~

~

(min) (min) ~

et ^{ }

    

N^{ } tot



moy N V t N N

V_  ^i  ~

1

~ ,

~

~ ~ .

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

La figure suivante montre un exemple d’évolution pour

^{V ~}

^_i^moy

  ^{N ~}

et ^V~

 

^t_N^{ ~i ,}

^{( 1}  N ^~  N

tot

⁾

^{avec V}

^≡

^{Vx :}

_

+

^V

^i^moy

  ^N

~

~



 

^t_N ⁱ

V~ ~^

m/s

N~

Figure 48 : Exemple d’évolution de la moyenne incrémentée et des échantillons correspondant de la vitesse suivant x, en fonction du nombre d’échantillons

La convergence est vérifiée à partir de la formule

c c

 N  ~



où -  est l’écart-type de la donnée (« max », « min » ou « moy ») tel que

U ~

_i

  _









       



^tot

i i i

N

N tot

U N U

U

~ 1

~

2

1 ~

~

avec

^U   ^N

U N

^tot

i i

N

N tot

~ 1 ~

~

~ 1











(moyenne arithmétique)

- _c est l’écart type à convergence souhaitée

On calcul

N ~

_c le nombre minimal d’échantillons (de champs de vitesse) pour atteindre le critère _c (=10^-3 ici) :

 ^~

^(max)

^{, ~}

^(min)

^{, ~}

^{( )}



~ max

moy

C C C

c

N N N

N 

avec

 



^max



²

(max)

~ ~















  ^

c c

V i

N ,

 

 

^{min 2}

(min)

~ ~















  ^

c c

V i

N et

_~

_{( )}

  ^~

²

 







 









 

^

c moy

c

V

i

N

.

Des essais d’acquisition PIV ont bien sûr été réalisés préalablement pour connaître la valeur . Les séries de mesures complètes ont toujours été effectuées au delà.

N ~

c

IV.3.1.4 Réduction de l’information et comparaison avec les données obtenues par la procédure 1

Comme déjà spécifié, un certains nombres de post-traitements employés pour la procédure 1 sont réemployés pour la procédure 2. Notamment la réduction de l’information par le calcul de la vitesse moyennée en espace. Elle est ensuite tracée en fonction des phases pour formée le cycle de vitesse total (la composante continue/moyenne n’est pas retranchée ici). Il est ensuite superposé et comparé avec les deux cycles obtenus par SVD sur vitesse puis pression (sans avoir retranché la moyenne). Ceci permet de valider les deux méthodologies l’une par rapport à l’autre.

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

IV.3.1.5 Calcul de la composante continue de vitesse par moyenne en phase

La composante continue est calculée par moyenne EN phase ou PHASIQUE (équivalente à une moyenne en temps) à l’aide des données de vitesse obtenue par moyenne DE phase :

   

 

    





_{ }



r V r i N

V  ˆ  ,  ˆ  ,

_i

, 1

Le champ spatial moyenné en phase

V  ˆ

_

est déterminé par la formule (₀ étant la phase origine)

    ^{ }

 

^



^{ }







r V r d

V ˆ ,

2

ˆ 1

^{0 2}

0

 

 

Il est équivalent au champ spatial moyenné en temps

V 

_T

  r 

(cf. Annexe 14).

Ce paragraphe termine l’ensemble des post-traitements appliqués à la Procédure 2.

IV.3.2. Procédure numéro 3

IV.3.2.1 Principe général

Pour les détails techniques, se référer au paragraphe concerné.

Elle est équivalente à la procédure n°2. La figure 49 rappelle son principe :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Temps (s)

Amplitudes (en V)

Signal référence Flashs

 i

t

n^

t

_n^{ }_1ⁱ t_n^{ }_5ⁱ

Figure 49 : Schéma de déclenchement électronique Procédure n°3

Les font références aux temps de synchronisation sur un signal extérieur (pression) : se référer à la figure 43 et au chapitre correspondant. Dans cette procédure 3, la composante oscillante de la vitesse est

« électroniquement » masquée. Seule la composante continue de vitesse est mesurée ici. En fait, dans la procédure numéro 2, nous avions implicitement la configuration de la procédure 3, mais doublée en nombre de

 i

tn^

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Temps (s)

Amplitudes (en V)

Signal référence Flashs à une phase

1a 1b

Couple d’images/flashs équivalent à ceux de la procédure 3

Figure 50 : Rappel du schéma de principe de la procédure 2

En effet, les premières (resp. les secondes) images (i.e. flashs 1a et 1b figure 50) de chaque paire permettrent aussi d’éliminer « électroniquement » la partie acoustique du phénomène oscillant et donc de donner directement accès au champ moyen (Figure 50), à l’instar de la procédure 3. Mais l’électronique oblige une acquisition toutes les 3 périodes minimum. Grâce à la procédure n°3, l’acquisition est réduite à une cadence synchronisée de 2 périodes minimum. Cela réduit le risque de décorrélation entre les images voisines.

IV.3.2.2 Validation de la procédure

Cette procédure n°3 a été testée lors de nombreux essais comme en témoigne le Tableau de l’Annexe 15. Les tests ont été faits pour les mêmes paramètres de contrôle physique et à une phase qui correspond à une vitesse proche de la vitesse maximale. Pour chaque essai, une simple intercorrélation entre deux images successives permet de s’assurer de la possibilité de calculer un champ de déplacement cohérent. Les premiers essais, réalisés pour des paramètres d’acquisition standard (ouverture de caméra F3, gain de la caméra fixé à 10 ou 100, épaisseur de nappe laser de ~1mm max), n’ont pas été probants. Contrairement à la procédure 2 où un pic de corrélation est nettement observable (figure 51 gauche, localisée par la flèche jaune), la procédure 3 montre que les images sont décorrélées. Ensuite, plusieurs paramètres ont été explorés afin de tenter d’obtenir une corrélation satisfaisante :

- L’ouverture de la caméra (augmentation de la profondeur de champ…) - Le temps d’attente après injection des particules

- L’épaisseur de la nappe, qui introduit des incertitudes sur les vitesses mais considérées comme négligeables.

Cependant, aucun essai n’a pu aboutir. La corrélation est quasi-inexistante ; ceci peut être du à l’existence d’un écoulement transverse qui fait sortir les particules de la nappe ou d’un écoulement moyen qui translate les particules hors du champ d’une image à l’autre. Aucun champ de vitesse réel ne semble pouvoir être obtenu avec deux périodes d’oscillation d’écart entre deux images

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

Amplitude de corrélation

pixels

pixels Amplitude de corrélation

0 de déplacement

pixels

0 de déplacement

pixels

Figure 51 : Champs d’intercorrélation entre deux images successives ; à gauche, pour la procédure 2 (un pic de corrélation) ; à droite, pour la procédure 3 (très bruité)

IV.3.3. Procédure numéro 4

IV.3.3.1 Principe général

Pour les détails techniques (électroniques…), se référer au paragraphe concerné.

La procédure n°4 est identique à la procédure n°2. Seul le temps inter-images d’une même paire tp est imposé égal à une période d’oscillation. La figure 52 rappelle son principe :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Temps (s)

Amplitudes (en V)

Signal référence Flashs

tp

 i

t

n^_1

 i

t

n^_4

 i

t

n^

Figure 52 : Schéma de déclenchement électronique Procédure n°4

L’acquisition est toujours synchronisée sur la phase _i du signal de référence (pression). La seconde image de la paire est prise une période plus tard. Cela implique une pré-acquisition du signal de pression et un traitement par Transformée de Fourier pour obtenir la fréquence. Une petite incertitude est introduite sur la précision du temps correspondant à la seconde image. Mais en tenant compte de la stabilité de notre phénomène thermoacoustique, cette incertitude peut être négligée. Cette procédure a été introduite suite aux mauvais résultats de la n°3. Il est à

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

de chaque paire. Il faut rappeler qu’il serait très élégant de pouvoir s’affranchir automatiquement de la partie purement oscillante du champ de vitesse. De plus dans les procédures 1 et 2, le temps de déplacement tp des particules entre les deux images est adapté pour permettre une mesure optimale du champ acoustique (déplacement de 10 à 20 pixels entre images), au détriment du champ moyen (théoriquement) 10^-2 à 10^-3 fois plus petit. Pour fixer des ordres de grandeurs temporelles, t_p pour ces procédures est par exemple de 2ms pour une période d’oscillation de 45ms. Dans la procédure 4, ce tp est de l’ordre de 45ms, autorisant un déplacement particulaire de l’ordre de 3 pixels à 10 pixels (associé au champ continu), ce qui est à peu près satisfaisant pour le calcul PIV.

IV.3.3.2 Validation de la procédure

Pour se donner une idée de la perte de corrélation entre deux images en fonction de leur temps d’écart tp, 8 séquences ont été réalisées (Essai n°74 Annexe 15) avec un t_p augmentant respectivement pour chacune d’elles.

Le Tableau suivant (Tableau 4) donne les numéro des séquences, leur tp et une valeur critère Cfuite. Celle-ci caractérise la perte de corrélation ; elle est calculée par

   

 

 ^{C x y} 

y x C C

I y I x fuite

, , max

,



^



où CI(x,y) est l’intercorrélation (retranchée de sa moyenne) entre les images « Im0 » (₀ de taille M0



^N0) et « Im1 » (1 de taille M1



^N1) séparées du temps tp,

   

 

^















 ¹

0 1

0 0 1

0 0

M

m N

n

I(x,y) m,n m i,n j

C

avec 0

i

M0+N0-1 et 0

j

M1+N1-1 (la barre indique le conjugué)

(x,y) est l’écart-type de C_I(x,y)

Numéro de

séquence tp Cfuite

1 2 ms 15.6

2 4 ms 7.87

3 6 ms 6.77

4 Tt/4 5.82 5 Tt/2 6.05

6 3Tt/4 6.39

7 Tt 5.53

8 Tt + 2 ms 4.9

Figure 53 : Cycle de vitesse fonction du temps (0 à Tt+2ms) ; la première image Im0 est prise au temps 0, l’image suivante Im1 à un temps repéré par un point mauve, le numéro (1 à 8) fait

référence à la séquence correspondante (cf. Tableau 4) Tableau 4 : Numéro de séquence, temps

inter-image et inter-corrélation

La figure 53 montre un cycle de vitesse théorique ainsi que les temps d’acquisition de la première image Im0 (toujours à t=0s, point rouge) suivie par l’image Im1 (un point mauve). Par exemple, la séquence n°3 (Tableau 4) déclenche l’Im1 à 6 ms. La figure 54 montre l’évolution du critère C_fuite en fonction de t_p.

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

Figure 54 : Evolution de l’intercorrélation en fonction de tp ; les chiffres au sommet des points sont les numéros de séquence

Une comparaison d’intercorrélation entre différentes images est souvent délicate. Lorsque deux images de particules sont totalement différentes, on observe un halo de corrélation, avec de multiples pics de grandes amplitudes. Lorsque la corrélation est forte, le pic est unique et localisée, un léger halo est malgré tout repérable.

Entre les deux, la distinction entre le pic de corrélation et le bruit est délicate. Le critère Cfuite essaye de combiner la recherche de la valeur maximale de corrélation, tout en tenant compte de l’halo de bruit. Plus le halo présente des pics de forte amplitude par rapport au pic de corrélation, plus l’écart-type augmente, et Cfuite diminue.

Comme nous le voyons sur la figure 54, cette corrélation est importante pour un temps inter-image de 2ms et s’effondre très vite pour peu fluctuer ensuite à partir de Tt/4. Mais pourtant c’est seulement à partir de Tt, elle passe sous un cap qui correspond à une réelle perte de cohérence entre les deux images. Une mauvaise corrélation apparente n’implique pas forcément que le calcul de flot optique ne puisse pas aboutir. Ici, ce calcul montre que les résultats sont non concluants voir faux pour le cas T_t+2ms. Ce cas test devrait donner des résultats quasiment identiques à celui du 2ms. Effectivement, au bout d’une période d’oscillation Tt, les particules à t=Tt+2ms reviennent à la position qu’elles occupaient à t=2ms (théoriquement).

Malgré ce résultat, d’autres essais ont été effectués avec t_p=T_t+2ms (cf. Annexe 15). Quelques résultats semblent prometteurs sans pour autant atteindre la qualité souhaitée. Ceux-ci ont été obtenus uniquement pour une fermeture de caméra F4 et les résultats s’améliorent lorsque la nappe laser est épaissie de 1 à 2mm puis de 2 à 4mm. D’ailleurs, quelques particules intenses à l’image se retrouvent sur deux images prises avec 3 périodes d’écart (par exemple sur l’image au temps t_n^{ i} et sur l’image du t_n^{ }_ⁱ₁ 3T_t) Le fait qu’il faille augmenter la profondeur de champ de la caméra et étendre la zone d’éclairement dans la direction perpendiculaire tend à montrer que les particules ont un mouvement transverse. L’hypothèse déjà évoquée d’un écoulement transversal semble se confirmer.

Pour le moment, les séries de champs obtenues par la procédure 4 ne donnent pas des résultats suffisamment satisfaisants. Une des pistes possible d’amélioration serait d’augmenter la puissance d’éclairement des particules.

Ceci implique le remplacement de l’actuel laser (déjà à puissance maximale) par un autre modèle arrivé trop tard pour permettre une poursuite des investigations, en tout cas dans le cadre de ce travail.

Pour clore ce chapitre qui concerne les méthodologies d’analyse, un paragraphe va être consacré à la

Méthodologies de l’analyse des données expérimentales

des portraits de phase caractérisant l’évolution de phénomènes cycliques comme des lâchés tourbillonnaires derrière un cylindre par exemple [Favelier]. Elle a donc été employée pour tenter de reclasser en phase le cycle acoustique de vitesse dans notre étude. Mais elle n’avait permis d’obtenir qu’un seul mode, interdisant le tracer de portrait de phase. La POD fut alors mis de côté. Cependant, elle peut séparer l’organisation spatiale de l’évolution temporelle des structures cohérentes d’un écoulement. Elle constitue à elle seule un post-traitement qui traite des données de vitesse obtenues par flow optique. Elle ouvre la voie à l’extraction du champ moyen de vitesse en réduisant le nombre d’opérations sur les données brutes de vitesse.

No documento Vers une mesure du vent thermoacoustique (páginas 90-99)