Le retournement temporel simple couche

Dans de nombreux cas et principalement pour des raisons pratiques, les capteurs utili- sés sont de type monopolaire, empêchant donc la mesure de la dérivée normale du champ de pression. Ainsi, la détermination de l’intégrale de Helmholtz-Kirchhoff est impossible.

L’opération de retournement temporel classique est alors réalisée à partir de la connaissance seule du champ de pression. Dans ce cas,p_TR(−→r , t) est déterminé par le produit de convo- lution entre les données enregistrées et renversées dans le tempsp(−→r_i, T−t) et la fonction de Green en champ libreG₀ (voir l’équation 2.5, oùM correspond au nombre de points de mesure), rapprochant ainsi cette méthode de la classe des méthodes de beamforming, mais en utilisant un filtrage optimal spatio temporel [78, 79].

p_TR,approx(−→r , t) = X2M

i=1

G₀(−→r_i,−→r , T −t)∗p(−→r_i, T−t) (2.5) En pratique, la surface de contrôle S est définie par la position des points de mesure.

Puisque la connaissance de la dérivée du champ de pression n’est pas nécessaire pour la mise en place du retournement temporel classique, nous considérons une antenne hémisphérique simple couche. Les 36 capteurs pression qui la composent sont disposés sur une surface hémisphérique dont le rayon est de a₂ = 16 cm, correspondant au rayon moyen des deux couches de l’antenne définie dans les sections précédentes (figure 2.1).

Le champ de pression émis est alors simulé en tout point−→r₂ appartenant à cette surface S. La source acoustique étant positionnée au centre de l’antenne de mesure, l’ensemble des microphones capte le même signal. Typiquement, le milieu de propagation étant homogène, les signaux simulés sont tous identiques surS (figure 2.7). À ce stade, nous connaissons le champ de pression rayonné au niveau d’une demi-sphère de rayon a₂ = 16 cm. Avant de réaliser la phase de ré-émission, nous reconstruisons, par symétrie par rapport au sol, le champ qui aurait été capté par une sphère.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

−0.5 0 0.5 1

t (s)

Amplitude (Pa)

Figure 2.7 – Signal simulé sur une antenne de rayon a₂ = 16 cm - La source étant posi- tionnée au centre de l’antenne, les signaux simulés sont identiques pour chaque microphone

Vient à présent la phase de rétro-propagation. Rappelons que la grandeur renversée temporellement est le champ de pression, impliquant d’utiliser la formulation 2.5 pour dé- terminer pTR,approx(−→r , t). Il est essentiel de noter que la plupart des études publiées dans la littérature utilisent ces formulations, faute d’utilisation de capteurs à double jeu de don- nées, comme nous le proposons dans le cadre de ce travail. À partir de la connaissance des conditions aux limites de la cavité à retournement temporel, il est possible de reconstruire le champ pTR,approx(−→r , t) en n’importe quel point de l’espace compris dans le volume V. En particulier, nous choisissons de rétro-propager le champ mesuré au niveau d’une surface plane situé à 5 mm du sol. À la figure 2.8, nous comparons le champ efficace résultant de l’application de l’intégrale 2.5 (figure 2.8b) avec le champ efficace de référence (figure 2.8a). Ce dernier est obtenu par rayonnement de la source étudiée au niveau du plan de rétro-propagation.

(a) (b)

Figure2.8 – (a) Champ efficace de référence - (b) Champ efficace reconstruit par retour- nement temporel simple couche en n’utilisant que le champ de pression

En premier lieu, nous constatons que le champ de pression p_TR,approx(−→r , t) focalise, comme attendu à la position de la source. En revanche, deux problèmes de reconstruction sont décelables : la résolution de la tache focale reconstituée est limitée, et le niveau de pression reconstitué n’est pas quantifié. En effet, avec cette définition de champ rétro- propagé (équation 2.5), la quantification de l’émission dépend largement de la surface S et du nombre de capteurs mis en jeu, et plus particulièrement de la distance parcourue par l’onde durant la phase de rétro-propagation. À mesure que le rayon a₂ de la surfaceS augmente, la quantification du champ rétro-propagé est sous-estimée (figure 2.9). En plus

de cette impossibilité à reconstruire précisément les niveaux de pression de l’émission, nous constatons que les images obtenues par retournement temporel simple couche montrent une tache focale bien plus large que celle de la référence. En effet, il a été démontré que même en utilisant une cavité à retournement temporel pavée d’une infinité de capteurs, la largeur de la tache focale est limitée par la demi-longueur ^λ₂ d’onde du signal rétropropagé [39, 70, 80].

Plusieurs stratégies ont été proposées dans la littérature pour optimiser cette résolution, mais sans utiliser ces stratégies, il est impossible de comparer le champ reconstruit au champ de référence et quantifier les erreurs issues de l’opération de rétro-propagation, qui sont trop importantes à ce stade. Les améliorations proposées dans la suite de ce manuscrit permettront de dépasser ces deux limites de l’implémentation classique du retournement temporel, notamment grâce à l’utilisation d’une antenne de capteurs double couche, et de l’utilisation de la technique du puits à retournement temporel.

(a) (b) (c)

Figure 2.9 – (a) Champ efficace de référence - (b) Champ efficace reconstruit par re- tournement temporel simple couche aveca₂ = 16cm - (c) Champ efficace reconstruit par retournement temporel simple couche avec a₂ = 100cm

Notons qu’à son origine, le retournement temporel a été mis en place pour focaliser des champs acoustiques en un point, sans nécessairement chercher à quantifier précisément son rayonnement, c’est à dire reconstruire très précisément l’amplitude du champ rayonné avec une haute résolution spatiale, mais aussi son évolution temporelle. Les travaux menés durant cette thèse ont pour but de mettre au point une méthode d’imagerie permettant à la fois une localisation précise de la source rayonnante, ce qui est envisageable ici, et une quantification de cette même source, avec une grande précision, tant dans le domaine spatial que dans le domaine temporel.