2.3 Gestion des entrées fonctionnelles en analyse de sensibilité
3.1.1 Principe de la méthode
Afin de réaliser une analyse de sensibilité en prenant en compte les paramètres mé- téorologiques, on doit échantillonner chaque variable. Par cela on entend générer pour chaque simulation des variations sur les données météorologiques de manière à induire une variance pour chaque entrée. Ces variations doivent être cohérentes avec les données climatiques du site mais doivent être également compatibles avec les méthodes d’analyse de sensibilité standard. Une méthodologie a été développée dans ce but et est décrite ci-après.
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Méthodologie pour la prise en compte des données météorologiques dans les analyses de sensibilité
On considère un processus aléatoire que l’on note xi(θ, t) oùt représente le temps. A noter que dans le cadre de problématique avec des entrées spatiales, la variable t peut être assimilée comme telle. La variable aléatoire θ représente le caractère stochastique de la fonction. On peut définir ce processus aléatoire par une moyenne x¯i(t) à laquelle on rajoute une variable aléatoire εi(θ, t)telle que :
xi(θ, t) = ¯xi(t) +εi(θ, t). (3.1) On suppose que la moyenne est déterministe alors que la variable aléatoire est définie par une fonction de covariance (ou auto-corrélation) Cii(t, t′) et une fonction de répartition hi(t). La fonction d’auto-corrélation représente la dépendance du signal avec lui-même (Ex : la température à 9 h du matin est influencée par la température à 8 h du matin).
Commex¯i est déterministe, la variabilité de xi est due àεi.Cii(t, t′) est supposée décrois- sante et fonction de |t−t′|. On fait l’hypothèse dans le travail suivant que cette fonction peut être approximée par une fonction d’auto-corrélation décroissante. On suppose que la dépendance, par exemple, entre 8 h et 9 h est plus forte qu’entre 8 h et 12 h.
On peut extraire Cii(t, t′)ethi(t) à partir d’une séquence météorologique donnée. Les fichiers météo considérés sont disponibles au pas de temps horaire. A partir du fichier météo source sélectionné, on peut évaluer les caractéristiques statistiques d’une journée type à partir du mois sélectionné. On estime la moyenne horaire, la fonction d’auto- corrélation Cii(tj, tk) et on extrait la fonction de répartition empirique pour chaque pas de temps horaire hi(tj), tj = 1, ..., Nt. Comme la moyenne horaire est fixée, la génération d’une séquence cohérente dépend de la génération de la variable aléatoireεi(θ, t). Pour cela, on propose d’utiliser la procédure de Iman and Conover [27] ou bien celle de Karhunen- Loève qui sont toutes deux détaillées ci-après.
3.1.1.1 Génération du champ aléatoire εi(θ, t) par Iman et Conover
On noteZ(1) un échantillonN×Ntde valeurs normalement, identiquement et indépen- damment distribuées et parXun échantillon de la tailleN×Ntde variables indépendantes aléatoires distribuées selonhi. La procédure d’Iman et Conover [27] commence par générer un échantillon normal et corrélé Zc à partir d’une transformation de Cholesky :
Cii=UT
i Ui, (3.2)
Zc =Z(1)Ui, (3.3)
Ui est la matrice supérieure de Cholesky et l’exposant T est l’opérateur transposé. Puis, on note Rz la matrice de corrélation des rangs associée à Zc, l’échantillon recherché est obtenu en réarrangeant l’échantillon X selon Rz de sorte que Zc etX aient la matrice de corrélation des rangs (dont les éléments sont les coefficients de corrélation de Spearman),
3.1. MÉTHODE DE GÉNÉRATION DÉVELOPPÉE 49
εi =Rz(X).
Chaque ligne de εi fournit une séquence pour xi(tj), j = 1,· · ·, Nt conformément à l’équation 3.1. Cette procédure est répétée pour chaque variable météorologique (dont l’in- dice associé est i). Finalement, si nécessaire, une procédure similaire peut être employée pour imposer une structure corrélative entre les entrées météorologiques. Pour permettre l’application des méthodes standard d’analyse de sensibilité, nous ne réalisons pas cette dernière étape.
Nous avons expliqué dans la section 2.2.3.1 que deux échantillons étaient nécessaires pour obtenir, par une procédure de simple permutation, un jeu des indices de premier ordre (effet principal Si). Ces échantillons peuvent être construits en répétant la procédure de Iman et Conover avec un échantillon Z(2) différent mais avec le même échantillon X. 3.1.1.2 Génération du champ aléatoire εi(θ, t) par Karhunen-Loève
Le champ aléatoire εi(θ, t) peut être approximé en utilisant une décomposition de Karhunen-Loève [26] telle que le processus aléatoire s’écrive :
xi(θ, t)∼x¯i+
Mi
∑
ki=1
√
λkiξki(θ)fki(t) (3.4) avecλki etfki respectivement les valeurs et fonctions propres de la fonction de covariance Cii(tj, tk), ξki(θ) est une variable aléatoire indépendante et distribuée selon une loi nor- male centrée réduite. Mi est le nombre de termes (ou modes) de Karhunen-Loève (KL).
KL se base sur la décomposition en Mi fonctions et valeurs propres de la fonction de covariance. Le nombre Mi de termes (ou modes) est, en pratique, fixé aux Mi premiers termes contenant 95%de la variance du processus aléatoire xi(t).
La difficulté pour la génération de champs aléatoires avec KL réside dans la capacité à déterminer précisément les valeurs et fonctions propres. La méthode des ondelettes de Galerkin [50] permet de simplifier ce calcul.
Le principe de KL rejoint l’approche de gestion des entrées fonctionnelles décrites en section 2.3.3, qui est de résumer le signal temporel (ou spatial) en un nombre fini de scalaires. A chaque entrée est associée un nombreMi de termes. La sensibilité de l’entrée fonctionnelle est déterminée à partir du groupe de scalairesMi associé.
L’approche de génération du champ aléatoire par KL a été mise en œuvre dans le cadre du projet CNRS PEPS1 ASenDyn (Analyse de Sensibilité globale pour les modèles
1Projets Exploratoires Premier Soutien
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Méthodologie pour la prise en compte des données météorologiques dans les analyses de sensibilité
Dynamiques) [1]. La méthode Iman et Conover est celle qui est utilisée dans le cadre de cette thèse.
La section suivante applique la méthode de génération dans un cas concret des données météorologiques d’un site pour la STD.