Limite de la région quasi neutre dans
unsemiconducteur
Z. T. Kuznicki
(1,*)
and B. Zimmermann(2)
(1)
Laboratoired’Automatique
etd’Analyse
desSystèmes
du C.N.R.S., 7 avenue du Colonel Roche, F-31077 ToulouseCedex,
France(2)
InstitutInterdépartemental
deMicroélectronique
etd’Optoélectronique
de l’EcolePolytechnique
Fédérale de Lausanne, CH-1015 Lausanne, Suisse
(Reçu
le 25 avril 1988, révisé le 23septembre
1988 et le 14 avril 1989,accepté
le 30 mai1989)
Résumé. 2014 Nous proposons une définition
généralisée
de la limite de larégion quasi
neutre du semiconducteur contenant une zone d’accumulation. Cette limite est fixée à l’endroit où deux facteursmacroscopiques
deperturbation électrique
sontégaux.
Ainsi larégion quasi
neutregarde toujours
les mêmespropriétés électriques,
i. e. dupoentiel macroscopique,
duchamp électrique
interne, de la densité decharge, indépendamment
du matériau et de l’intensité de laperturbation
de la neutralitéélectrique
du cristal. Les facteurs deperturbation
sont déterminés dans le cadre d’uneanalyse approfondie
de la loiélectrostatique
desinterfaces
abruptes
dans les semiconducteurs nondégénérés
à l’étatd’équilibre thermodynamique.
Ils n’ontpas
d’interprétation physique simple.
L’un d’eux caractérise laperturbation électrique
en fonction despropriétés
du semiconducteur considéré, l’autre facteur est tout à faitindépendant
de cespropriétés.
Notredéfinition est du type
macroscopique.
Elle est déterminée dans le cadre de lastatistique
de Maxwell- Boltzmann, et a pour but deremplacer
toutes les définitionsplus
ou moins arbitraires del’épaisseur
de la zone d’accumulation,jusqu’à présent
couramment utilisées dans la modélisation ou simulation desdispositifs microélectronique.
Elle peut être facilementgénéralisée
àn’importe quelle perturbation électrique (statique
ou
dynamique)
provoquant l’accumulation des porteurs libres.Abstract. 2014 We propose a
general
definition of theboundary
of thequasi-neutral region
in a semiconductor with accumulationlayer.
Thisboundary
occurs at thepoint
where two electricalperturbation
factors areequal.
Thus the
quasi-neutral region always keeps
the same electricalproperties,
i.e.macroscopic potential,
internalelectric field, and
charge density, independently
of the electricalneutrality perturbation intensity.
Theseperturbation
factors, determined from a detailedanalysis
of the electrostatic law ofabrupt
interfaces in non-degenerate
semiconductors at thermalequilibrium,
have nosimple physical interpretation.
One of these factors characterizes the electricalperturbation
in terms of theproperties
of the semiconductors while the second istotally independent
of theseproperties.
Our definition, formulated within the Maxwell-Boltzmann statistics, is of themacroscopic
type. It is meant toreplace
other more or lessarbitrary
definitions of the thickness of the accumulated spacecharge
used up to now in modelization and simulation of microelectronic devices. It could beeasily generalized
for other electricalperturbations (static
ordynamic)
that leads to anaccumulation of free carriers.
Introduction.
L’effet d’une
perturbation
de la neutralitéélectrique
d’un cristal semiconducteur se manifeste par la
présence
d’unecharge d’espace qui peut
être consti-(*)
Aprésent ; 1)
Université Louis Pasteur ;départe-
ment de
Physique,
3, rue de l’Université ; F-67000 Stras-bourg
Cedex, France.2)
Centre de Recherches Nucléaires(IN2P3),
labora-toire PHASE
(UA
du CNRS N°292),
F-67037Strasbourg
Cedex, France.tuée soit de
porteurs
libres excédentaires(couche d’accumulation)
soit d’ionsdopants
noncompensés (couche
dedépeuplement).
Une telle
perturbation peut
être créée soit defaçon extérieure,
parapplication
d’une tension degrille (structure
MOS ouMIS),
soit de manièreintrinsèque,
par suite de différences dans les structu-res de bande des matériaux constituants
(hétérojonc- tions)
ou dans letype
et taux dedopage (homojonc- tions).
Les
premières
étudesexpérimentales
de contrôleArticle published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01989002409085100
et de variations de
l’épaisseur
effective de la couche d’accumulation ont été faites sur des MOS auSilicium. Ces structures ont
l’avantage
depermettre
de
larges
variations de la densité deporteurs
parsimple application
d’une tension degrille adéquate.
Mais les mêmes couches d’accumulation sont aussi
présentes
dans certaines homo- ethétérojonctions où,
dans l’étatstationnaire,
elles ont un caractèreintrinsèque,
déterminéuniquement
par laconfigura-
tion et les
propriétés
des matériaux constituants.L’extension de la
charge d’espace
desporteurs
libres estgénéralement
très faible. C’estpourquoi
on assimile habituellement une couche d’accumula- tion à une « distribution
superficielle »
decharge.
Ilest vrai que cette
approche
nenéglige qu’un
trèsfaible
pourcentage
de lacharge
totale(pratiquement quelques
pourcent).
Toutefois cettepetite partie
decharge d’espace
estrépartie
dans un volume decristal
important.
C’est
pourquoi
dans le cadre du traitementmacroscopique, l’épaisseur
de la couche d’accumula- tion dans les cristaux semiconducteurs était détermi- néejusqu’à présent
defaçon plus
ou moins arbi-traire ;
cequi
conduit à desdispersions importantes, pouvant
atteindreplusieurs
ordres degrandeur.
Dans
l’électronique
moderne larégion
nonpertur-
bée ouquasi
neutre devrait avoir une définitionunique
et être déterminée avec unegrande précision.
On
imagine
mal surquelle
base onpeut
poser une définitiongénérale
de larégion électriquement
neu-tre ou
quasi
neutre sans avoir une référencephysique
universelle.
Sur la
figure
1 nous donnons un recueil des définitions parues dans la littérature. Pour cela nousavons
représenté
une couche d’accumulation dans lecas d’une forte
perturbation
stationnaire(potentiel électrostatique
normalisé sur l’unitéthermodynami-
que,
US = 13,0 ; champ électrique
maximal norma-lisé sur l’unité
thermodynamique
et le rayon deDebye extrinsèque, F,
=940).
Avec une telle
approche (illustrée
sur lafigure 1),
la couche d’accumulation
perd
facilement son sensnumérique.
Cequi
conduit à un nombre assezimportant d’imprécisions
où même d’erreurs paruesun peu
partout
dans la littérature. Citons par exem-ple
lapublication
relativement récente de Jindal et Warner[5]
où les auteursévoquent
le rôle du rayon deDebye extrinsèque
comme unelongueur
univer-selle de normalisation dans le cas des couches d’accumulation. Comme nous le verrons ci-dessous
(dans
lechapitre
«Application
au cas...»)
ceci nepourrait
être vraiqu’à partir
d’une certaine intensité de laperturbation (Fs> 7,0 ).
Dans cet article nous proposons d’introduire une définition universelle de
l’épaisseur
de la zone decharge d’espace
constituée desporteurs
libres. Elle est basée sur undéveloppement
trèssimple
de laformule exacte de la concentration des
porteurs
Fig. 1.
-Répartition
des porteurs excédentaires dans unecouche d’accumulation dans le cas d’une
perturbation
intense. On a
porté
les distancescaractéristiques
calculéesselon les différentes définitions de la
charge d’espace :
Zd est la distance de courbure des bandes
d’énergie
àproximité
de la surface[1, 2] ; LD
est le rayon deDebye extrinsèque
utilisé couramment comme une distance de normalisation, cf.[3-6] ; Lc
estl’épaisseur
effective de lazone de
charge d’espace
mesurée entre la surface et lecentre de la zone de
charge d’espace [7, 8] ; LF
est le rayond’écrantage
surlequel
la concentration des porteurs excé- dentaires diminue d’un facteur e(la
base delogarithme néperien) [8-10] ;
wac, estl’épaisseur
de la couche d’accu- mulation[11].
[Excess
carrier distribution in an accumulationlayer
in thecase of a strong
perturbation.
The drawn characteristiclengths
have beencomputed
in accordance with the different spacecharge
definitions : zd energy bandbending length
in the surfaceneighborhood [1, 2] ; LD
extrinsicDebye length usually
considered as an excellent choice forscaling
the accumulation curves, i.e.[3-6] ; Le
effectivecharge
distance measured from the surface to the centre of the spacecharge [7, 8] ; LF screening
radiusalong
whichthe excess carrier concentration decreases
by 1/e (e
is thebase of the
Naperian logarithm) [8-10] ;
Wac, accumulationlayer
thickness[11].] ]
libres à l’interface d’une
homojonction abrupte
L-H(ang.
«Lightly-Heavely » doped regions : n’ -n, p + -p) [12, 13].
Nous montrons que la concentration des
porteurs
libres est en effetun produit
de deux facteurs(appelés
ici facteurs deperturbation électrique), qui
ont une variation totalement différente l’une de l’autre en fonction de la distance de l’interface ainsi
qu’en
fonction de l’intensité de laperturbation.
L’endroit où ces deux facteurs sont
égaux
marque la limite de larégion quasi
neutre. Ainsi larégion
quasi
neutregarde toujours
les mêmespropriétés
électriques (i.e.
dupotentiel macroscopique,
duchamp électrique interne,
de la densité decharge), indépendamment
du matériau et de l’intensité de laperturbation
de la neutralitéélectrique
du cristal.Il se trouve
qu’en appliquant
notredéfinition,
lebord de la
région quasi
neutre esttoujours
fixé là oùla concentration des
porteurs
libresn (LB )
est2,43793
foisplus importante
que celled’équilibre,
cequi correspond
aupotentiel électrostatique
norma-lisé
U(LB)
=0,89115 (1).
Le volume de larégion quasi
neutre devient ainsi une fonction de l’intensité de laperturbation « appliquée » (respectivement intrinsèque
ouextrinsèque).
En deuxième
partie
de cetarticle,
nous illustronsl’implication
de notre définition sur ledéplacement
de la limite de la
région quasi
neutre dans leshomojonctions abruptes n+-n-
de GaAs en fonctiondu
rapport
de taux dedopage.
Dans nosexemples,
la couche faiblement
dopée représente
le semicon- ducteur enquestion,
alors que la couche fortementdopée
ne fait paspartie
dusystème
ensoi,
maiscause la
perturbation électrique.
Dans ces structures, la limite de la
région quasi
neutre, telle
qu’elle
est définieplus haut, peut
bien sûr être déceléenumériquement.
C’est ce que nousavons fait afin de comparer la limite obtenue numéri-
quement
à celle ressortant de nos considérationsanalytiques.
Limite de la
région quasi
neutre.La
quasi-neutralité électrique correspond
à uneperturbation appliquée
au cristal si peu intensequ’elle
modifie essentiellement larépartition
desporteurs
sur les niveaux de leurs bandesd’énergie, n’influençant pratiquement
pas le nombre de por- teurs libres. Elle se caractérise par une densité nette decharge
très faible vis-à-vis de cellequi
est liée auxseules
impuretés.
Les résultats des calculs des pro-priétés électriques
effectués dansl’hypothèse
deneutralité stricte sont universellement utilisés avec
d’autant
plus
deprécision qu’on approche
de lasituation de neutralité totale.
Le
potentiel
dans une zonequasi
neutrepeut
en effet varier en fonction de la distance dans d’assezlarges
limites bien que la densité nette decharge
conserve des valeurs
négligeables.
Nous admettons
l’hypothèse
que la limite entre larégion quasi
neutre et larégion chargée
se trouve àl’endroit où les deux facteurs de
perturbation (un
liédirectement aux
propriétés
du cristal et l’autre totalementindépendant
de cespropriétés)
sontégaux :
(1)
En effet, une définition semblable adéjà
étéproposée
par Gunn[14] qui
a établi que cette limite se trouve là où lepotentiel électrostatique
normalisé estégal
à 1,0. Ceci est la variation maximale que ce
potentiel
peut atteindre dans larégion
laplus dopée
de lajonction
L-H.où
LB
est ladistance,
mesurée àpartir
du maximumde la
perturbation électrique présente
dans lecristal, désignant
la limite entre larégion quasi
neutre et larégion chargée.
La définition de
nmi (LB ) et nme (LB )
ressortira dece
qui
suit dans leparagraphe
« Solutionanalyti-
que ».
Facteurs de
perturbation.
A
l’équilibre thermodynamique l’intégration rigou-
reuse de
l’équation
dePoisson,
étendue à toute larégion
semiconductriceperturbée, permet
de déve-lopper
la formule exacte liant la concentration desporteurs
excédentaires auchamp électrique.
Ceci estvrai en
n’importe quel point
de larégion perturbée (v.
loiélectrostatique
des interfacesabruptes
d’homostructures semiconductrices
[13]).
Dans lecas unidimensionnel la loi
électrostatique
s’écrit :où
x est la distance mesurée par
rapport
à l’interface(surface) ;
ND
est la concentration dedopant
noncompensé ; F (x )
est lechamp électrique
normalisé sur le rayon deDebye extrinsèque (LD )
et l’unité thermo-dynamique ( UT = kT /q ).
Après quelques opérations mathématiques
élé-mentaires,
nous pouvonsexprimer
la concentration desporteurs
excédentairesnormalisée, n(x)/ND,
sous la forme d’un
produit
de deux facteurs de naturesphysiques
différentes[15]
où
N est une fonction
qui dépend
de l’intensité de laperturbation
et varie dansl’espace géométri-
que ; cette fonction
dépend
alors dechamp électrique
local(voir Eq. (6)) ;
e est la base de
logarithme népérien ;
Fg
s est la valeur duchamp électrique
normalisé àl’interface.
Ici,
nmireprésente
le facteur décrivant laperturba-
tion peu intense de la neutralité
électrique,
restanttoujours
en relation avec lespropriétés
du cristalcontenant la
charge d’espace.
Sa valeurcorrespond
àla concentration d’une fraction des
porteurs
excéden- tairesgardant
la mêmetempérature électronique
que celle du réseau. Par contre n., renferme les
causes externes aux
propriétés
du cristalconsidéré,
se manifestant surtout dans les
perturbations
inten-ses. Sa valeur
correspond
à la somme des fractionsde la concentration excédentaire refroidies électroni-
quement [16, 17].
Les fractionsévoquées
ci-des-sus
[17] correspondent
directement aux fractionsdécrites,
entre autres, par Stern dans le cas despuits quantiques
accolés aux surfaces ou interfaces des cristaux semiconducteurs localementperturbés [18, 19].
Remarque :
Dans le casparticulier
d’une couche d’accumulationd’homojonction abrupte
L-H(n+-n
ou
p + -p), pris
commeexemple
dans noscalculs,
lafonction
N a le sensphysique
du rapport des taux dedopage
etl’équation (5) correspond
directement àl’équation développée
par Chandra[20].
Ceci est vraipour les
perturbations
très élevées(perturbations représentées
dans le cas de lajonction
L-H par ce même rapport des taux dedopage).
Au fur et à mesure que l’intensité de
perturbation
est accrue le rôle de nmi devient
négligeable
(nm; ~ 1,0 quand
N ~oo)
tandis que n.,, croîtsystématiquement,
suivant deplus
enplus près
laconcentration excédentaire
normalisée, figures
2 et3. Ceci veut dire que pour les
perturbations intenses,
les
propriétés électriques
du cristal(dopage,
conduc-tivité)
n’ont aucune influence sur lacharge d’espace
des
porteurs
accumulés.En
général,
la fonctionN (F, x )
est liée auchamp électrique (intrinsèque
ouprovoqué
par la tension degrille)
de la manièresuivante,
déduite de la loiélectrostatique [12, 13]
où
Sur les
figures
2 et 3 nousrapportons
les variations de N en fonction de x etFs, gardant
une fois xégal
à0
(Fig. 2)
et l’autre foisF, égal
à8,23246 (Fig. 3).
La
figure
3 montre aussi les variationsspatiales
des deux
facteurs,
nm; et nme, ainsi que la variationFig.
2. - Variation de la fonction N ainsi que de deux facteurs deperturbation
en fonction duchamp électrique
maximal normalisé,Fg ;
nm; est le facteur deperturbation
de la neutralitéélectrique
lié auxpropriétés intrinsèques
du cristal ;n,,, est le facteur de
perturbation
de la neutralitéélectrique indépendant
despropriétés
du cristal.[The
N function as well as twoperturbation
factor distributions versus normalized maximal electric field,FS ;
nmi electricalneutrality perturbation
factor related to the intrinsic semiconductorproperties ;
nme electricalneutrality
perturbation
factorindependent
of thecrystal properties.]
Fig.
3. - Variationsspatiales
des facteurs deperturbation,
11 mi et nme, de la fonction N et de la concentration des porteurs excédentairesn (x )/Np
dans une couche d’accumulationcorrespondant
à uneperturbation
d’intensité moyenne(F,
=8,23246).
[Space
distributions of the :perturbation
factors nm; and nme ; function N and excess carrier concentrationn(x )/N D’ respectively,
in an accumulationlayer,
in the case of the mediumstrength perturbation (F,
=10 ). ] spatiale
de la concentrationrespective
desporteurs
excédentaires,
dans une couche d’accumulation où lechamp électrique
maximal normaliséF s
estégale
à8,23246 (ce qui correspond
à N= 100) (2).
Ceciconcerne
n’importe quelle
zone d’accumulation : soit d’unejonction abrupte L-H,
soit d’une struc- ture MOS.Nous pouvons directement tracer les variations des nml et nme et fixer la limite de la
région quasi
neutre dans
l’espace
de la fonctionN, représentant
ainsi la
perturbation (Eqs. (6)
et(7)),
àpartir
deséquations (4)
et(5), figure
4.Application
au cas del’homojonction abrupte
L-H.Pour étudier les variations
spatiales
de nmi et nme, il faut connaître la variationspatiale
dupotentiel électrostatique.
Ainsi on est amené à résoudrel’équation
de Poisson dansl’espace géométrique,
ce(2)
Le détail de calculs estprésenté
ci-dessous dans lechapitre
« Solutionanalytique ».
qui
n’est pas unproblème
trivial(même
dans le casunidimensionnel)
etrequiert
habituellement soit desapproximations analytiques,
soit des moyens de calculnumérique.
Ehlers et Mills ont
publié
récemment[21]
uneétude
microscopique,
trèsdétaillée,
concernant la couche d’accumulation et dedéplétion,
sous trèsfaible
perturbation.
La variation du
potentiel électrostatique
norma-lisé,
obtenue par ces auteurs(Fig.
2 dans le[21]) grâce
à leur modèlemicroscopique
est enparfait
accord avec les résultats de notre modèle macrosco-
piques,
obtenus dans le cadre de la solutiongénérali-
sée de
l’équation
de Poisson[16, 17].
La
figure 5, partiellement
tirée de[21], rapporte
lacomparaison
entre lesrépartitions
dupotentiel
élec-trostatique
normalisé obtenues par Ehlers et Mills et par nous. Dans ce cas notre fonction deperturba-
tion N
prend
la valeur de6,25,
cequi correspond
àune
perturbation
peu intense. Ceci se traduit par une forte contribution de la fraction depopulation
desporteurs
en excès( 65 %), gardant toujours
Fig.
4. - Variation des rapports des deux facteurs deperturbation
dans lesjonctions abruptes
L-H en fonction du rapport des taux dedopage
N[15] :
définition de la limite derégion quasi
neutre, N = 4,244292.[Two perturbation
factor ratio distributions versusdoping
ratio function N in the L-Hjunction [15] ; quasi-neutrality region boundary
definition, N =4.244292.]
Fig.
5. - Variation despotentiels publiés
par Ehlers et Mills(Fig.
2 dans[21]).
Le résultat obtenu dans le cadre de la solutiongénéralisée
del’équation
de Poisson[17]
estintroduit sous la forme d’une courbe en
tirés-points.
Dansnos calculs on a
adopté
la valeur de N = 6,25(Eqs. (3)- (7)).
Laligne
verticale en tirésreprésente
la limite de larégion quasi
neutre.[Potential
distributionspublished by
Ehlers and Mills(Fig.
2 in[21]).
Result of thegeneral
Poisson’sequation
solution has been introduced as the dot-dashed curve. In
our calculation we have taken that N = 6.25
[17].
Thélimit to the
quasi-neutral region
is shownby
the vertical dashedline.] 1
l’isotropie
de sonagitation thermique [17] (Fig. 6).
De
plus
lapopulation
avec uneagitation
peu aniso-trope
est de l’ordre de 13 %.La
légère
différence entre les résultats du modèle«
microscopique »
d’unepart
et du modèle « macro-scopique »
d’autrepart provient
du fait que les auteurs de[21] prennent
encompte
la valeur moyen- née duchamp électrique,
alors que nous considérons lechamp
local enchaque point.
Nous avons effectué nos calculs afin d’avoir le
point
d’intersection des deux courbes à la limite de larégion quasi
neutre(la ligne
droite verticale en tiréssur la
figure 5).
A cette fin nous avonsprocédé
defaçon
suivante. Tout d’abord nous avons déterminéla distance entre la surface et la limite de la
région quasi
neutre sur lafigure
2 dans le[21] (ne prenant
en
compte
que la variation depotentiel auto-compa-
tible ainsipublié). Puis, ayant LB,
nous sommes enmesure de déterminer la valeur de N et recalculer notre variation du
potentiel
à l’aide de la solutiongénéralisée
del’équation
de Poisson[17].
Nous pouvons ainsi comparer la
perturbation
traitée par Ehlers et Mills
[21]
avec une gammepratiquement complète
d’intensités desperturba-
tions
électriques
réellementenvisageables, figure
6.Comme à la limite de la
région quasi
neutre laperturbation
est pardéfinition,
trèsréduite,
onpeut
Fig.
6. -Répartitions
depopulations
excédentaires relativesd’agitations anisotropes [17]
en fonction de l’intensité deperturbation représentée
par la fonction N :a)
coordonnées linéaires, intensités moyennes ;b)
coordonnées semi-logarithmiques,
toute la gamme des intensités réellementenvisageables.
La zone hachuréereprésente
la fraction-excédentaire conservant
l’isotropie
del’agitation thermique.
[Distributions
ofanisotropic
oscillation fractions of carriers versusperturbation intensity
function N :a)
linear coordinates ;b) semi-log
coordinates, entirereally permitted perturbation intensity
range[17].
Dashed part shows theexcess carrier fraction of
isotropic oscillations.]
se contenter ici de la
statistique
de Maxwell- Boltzmann.Néanmoins dans le cas de fortes intensités de
perturbation
du côté de la surface il y a unrisque
dedéviation de la variation calculée par
rapport
à sa valeur réelle. Il faut doncreprendre
lastatistique
deFermi-Dirac.
Heureusement,
comme nous pouvons le voir sur lafigure
1 parexemple,
l’extension effective de lacharge
d’une couche d’accumulation estgénéralement
sifaible, qu’une
erreur éventuelleprovenant
de la distribution deMaxwell-Boltzmann,
admise dans notre cas de solution
analytique,
esttout à fait
négligeable.
C’estpourquoi beaucoup
d’auteurs assimilent une couche d’accumulation pro- duite par une
perturbation
intense à une distributionsuperficielle
decharge.
L’erreur de
l’approche simplifiée,
effectuée sur labase de la
statistique
deMaxwell-Boltzmann,
estdonc très
limitée,
étant donné lerapport
de la distance de la limite de larégion quasi
neutre et del’épaisseur
effective de couche d’accumulation d’uneperturbation
intense. Cerapport
est de l’ordre : de45, quand
le maximum duchamp électrique
norma-lisé, Fs
estégale
à 75 et de 230 pourFs égale
à 85.Bien
entendu,
pour lesperturbations
moyennes(Fg 40),
et surtout pour lesperturbations faibles,
la
statistique
de Maxwell-Boltzmann estapplicable
dans toute la
région perturbée
avec une erreur très réduite.Dans le cas de
perturbations
intenses les deuxphénomènes opposés,
à savoir l’accumulation et ladéplétion,
nepeuvent
pas être traités ensemble. Ladéplétion
restetoujours
liée auxpropriétés
ducristal, plus précisément
au taux dedopage,
tandisque l’accumulation devient totalement
indépendante
de celles-ci.
A
partir
d’uneanalyse macroscopique, prenant
encompte
la variation de la densité de« charge d’espace
modèle » d’unehomojonction abrupte (L- H),
nous sommes en mesure de déterminerplusieurs longueurs caractéristiques
dont unejoue
le rôle de la distance entre la surface(le
maximum de l’intensité deperturbation)
et la limite de larégion quasi
neutre.
Comme
exemple
de calculs nous avons donc choisil’homojonction abrupte L-H (n+ - n ),
où nousavons
procédé
selon deux méthodescomplémentai-
res :
- une méthode
analytique généralisée ; approxi-
mation
simplificatrice qui permet
d’étudier l’étatélectrique
du cristal paranalyse
decomportement
dequelques
fractions deporteurs
libresexcédentaires ;
cette
représentation approximative enveloppe
tousles cas
pratiques
avec une exactitude frôlant laperfection
dans le cadre de lastatistique
de Maxwell- Boltzmann[16, 17] ;
- une méthode
numérique auto-compatible [22- 24] ;
pourvérifier, compléter
etgénéraliser
nosrésultats,
dits ainsi «analytiques »,
nous avons utiliséune méthode
numérique
d’élémentsfinis [24] :
d’abord dans
l’hypothèse
de lastatistique
de Max-well-Boltzmann et de l’ionisation totale des
impure-
tés
(ce qui
est admis dans nos calculsanalytiques) ; puis
dansl’hypothèse
de lastatistique
de Fermi-Dirac et de l’ionisation
partielle
desimpuretés.
SOLUTION ANALYTIQUE. -
L’avantage
de cetteméthode réside dans le fait
qu’elle permet
de traiter leproblème analytiquement (une
fois la solutionnumérique adéquate trouvée,
celle-cireprésente
unebase de données pour tous les cas réellement envisa-
geables).
La solution de
type analytique permet
de déduire la formule reliantl’épaisseur
de la zone decharge d’espace,
normalisée sur le rayon deDebye
extrinsè-que, à l’intensité de
perturbation (représentée
ici par lepotentiel macroscopique) ;
celle-ci est donnéesous la forme :
où
U(LB ) 0,89115
est une valeur constante dupoten-
tiel
macroscopique
normalisé à la limite de larégion quasi
neutre, déterminée une fois pour toutesgrâce
àl’équation (1) ;
ellecorrespond
auchamp électrique
F
= 1,04574
et la concentration excéden- tairen(x)IND
=1,43793;
UD
est unecomposante
depotentiel
macrosco-pique
liée à la fraction deporteurs
excéden- tairesayant l’agitation thermique isotropi-
que
[17] ;
Uj
etLjsont respectivement :
unecomposante
depotentiel macroscopique
et une distancecaractéristique
liées à laj-ème
fraction deporteurs
excédentaires sedistinguant
parune
agitation thermique anisotropique [16, 17] ;
m est un nombre de fractions des
porteurs
excédentaires(en général m
= 5[17]).
Malheureusement cette formule ne
peut
êtreexprimée
que sous forme de variables nonsépara- bles ;
la résolution n’est donc pas triviale etexige
destraitements
numériques adéquats.
Nous avons utiliséà cette fin une méthode de solutions
numériques
dessystèmes
deplusieurs équations
non linéaires de labibliothèque
d’IBM afin de trouver des valeurs dujeu
deplusieurs paramètres caractéristiques [16, 17].
L’exemple
de nos résultats ainsi calculés estrepré-
senté sur les
figures
3 et 5.Sur la base de
représentation analytique [17]
(Eq. (8))
nous sommes en mesure de donner uneinterprétation physique
aux facteurs deperturba-
tions :
- le
facteur extrinsèque
nmicorrespond
à unefraction de concentration des
porteurs
libres en excèsgardant l’agitation thermique isotrope (décrite
dans
(8)
par lacomposnte UD
depotentiel
norma-lisé) ;
- le
facteur extrinsèque
nmereprésente
m - 1(en général égale
àquatre)
fractions de concentration desporteurs
libres en excès se caractérisant par uneanisotropie
del’agitation thermique.
Cette anisotro-pie correspond
auphénomène appelé
aussire froidis-
sement
électronique [16].
SOLUTION NUMÉRIQUE. - On obtient les mêmes résultats par des méthodes exclusivement numéri- ques. A cette fin nous résolvons
l’équation
dePoisson à l’aide de la méthode des éléments
finis,
utilisant des fonctions de base
triangulaires [24].
Lemaillage
del’espace
unidimensionnel x estirrégulier
et tel que la variation du
potentiel
entre deuxpoints
consécutifs ne
dépasse
pas 0.3 meV.Comme conditions aux
bords,
nousimposons
que lechamp électrique
soit nul aux bords de toute lastructure,
qui
cette fois-ci(jonction L-H)
inclut aussila
région perturbatrice,
à savoir laplus dopée.
Ceci(dans
notre cas unidimensionnel et selon la loi deGauss) implique
la neutralitéglobale
de la structureconsidérée. Notons que les calculs
numériques
sontexécutés pour la structure totale d’une
jonction
L-Habrupte qui
consiste en une couche fortementdopée
et une couche faiblement
dopée, séparées,
l’une del’autre par une zone de transition de
dopage
d’unelongueur
infinitésimale.La densité de
charge
est évalué soit selon lastatistique
deFermi-Dirac,
soit selon lastatistique
de Maxwell-Boltzmann. Ceci dans le but de contrôler l’erreur introduite par la
statistique
de Maxwell-Boltzmann. Le taux d’ionisation des
dopants peut
être soit évalué selon lastatistique choisie,
soit(afin
de
permettre
une meilleurecomparaison
avec lecalcul
analytique)
êtresupposé
total.L’évaluation de la densité de
charge
selon lastatistique
de Maxwell-Boltzmann et ensupposant
une ionisation
complète
desdopants,
comme c’estaussi utilisé dans nos calculs
analytiques, permet
ainsi mieux comparer les résultatsanalytiques
etnumériques.
Il estgénéralement
admis(par exemple,
dans
[21])
que larépartition
desimpuretés
ioniséesdans un semiconducteur non
dégénéré
reste homo-gène jusqu’a
la surface.L’application
de lastatistique
de Fermi-Dirac pour les densitésd’électrons,
de trous et dedopants,
décrit mieux la réalité
physique.
Il est intéressant de voir si les mêmes observationsqualitatives
etquanti-
tatives sont faites avec les deux évaluations de la densité de
charge.
Ceci apermis
de mettre enévidence une
grande
exactitude del’approche analy- tique
dont sortent les deux facteurs deperturbation
nmi et nme’
Nous pouvons constater que dans un cristal non
dégénéré
les valeurs deLB
trouvées« analytique-
ment » et «
numériquement »
sontpratiquement
lesmêmes
jusqu’aux perturbations
intenses(Fs
>40 )
ou extrêmement intenses
(Fs>- 250 ),
oùLa --. 1,2 LD,
la solution «analytique
», neprenant
en
compte
que lastatistique
deMaxwell-Boltzmann,
suit de très
près
laplus
réaliste solutionnumérique,
avec la
statistique
Fermi-Dirac et l’ionisation par-tielle, jusqu’à Fs
= 860(l’erreur
relative estimée surla base de la fonction
N, Eq. (6),
nedépasse jamais
0,132 %) .
Fig.
7. - Variation des différentes distancescaractéristiques
de lacharge
d’accumulation en fonction dupotentiel électrostatique
maximal.[Different
characteristiclength
distribution versus maximal electrostaticpotential.]
Remarque :
Les valeurs deFS
s citées ci-dessuscorrespondent
aux calculs« analytiques
»,compte
tenu de
l’expression (5).
Lacomparaison
des résultatss’effectue
sur la base de lafonction N, qui
estuniforme
dans les deux cas : «analytique »
et « numé-rique
». En réalité les valeurs dechamp électrique, FS,
pour la même valeur defonction N,
sontdi f féren-
tes
(cf.
pour N =106 : FSanalytiqueH
=857,75
etFs KnumériqueH
=560,6).
Le même calcul d’erreur rela- tive sur la base duchamp électrique
nedépasse jamais 0,3 %.
Conclusions.
Nous avons montré que la
longueur LB (définie
par la formule(8)),
déterminée sur la base de la loiélectrostatique
des homostructures semiconductricesabruptes dopées
uniformément et nondégénérées, quelle
que soit l’intensité de laperturbation
deneutralité
électrique, représente
unecaractéristique
universelle,
décrivantl’épaisseur
de lacharge d’espace
d’accumulation desporteurs
libres dans uncristal semiconducteur.
Ainsi,
nous obtenons la limiteséparant
larégion chargée
de larégion quasi
neutre dans le cas desjonction L-H,
définie en fonction dudopage,
duchamp électrique appliqué,
etc. Cette limitepartage
le volumeperturbé
d’un cristal semiconducteur endeux
parties
dont une(la région quasi neutre)
restetoujours
la même dupoint
de vue despropriétés électriques
i.e. dupotentiel macroscopique,
duchamp électrique interne,
de la densité decharge d’espace.
Ce ne sont que les deux volumes enquestion qui
varient avec l’intensité deperturbation.
De
plus
notre définition de la limite de larégion quasi
neutrepeut
être facilementgénéralisée
àn’importe quel système
semiconducteur uniformé-ment
dopé,
ainsi que àn’importe quelle perturbation
électrique statique
ou mêmedynamique, qui
provo- que l’accumulation desporteurs
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