La plupart des modèles d'endommagement du béton sont développés dans cet esprit [Maz84], et cette thèse s'appuie également sur le modèle d'endommagement anisotrope pour les matériaux fragiles [DGR07]. Si l’endommagement est directionnel, comme dans le cas du modèle étudié, la raideur n’est affectée que dans certaines directions.
Anisotropie induite par le chargement
Cet endommagement provoque une diminution de la raideur et l'apparition de déformations permanentes dues à l'ouverture des fissures. Ces déformations sont plus importantes en compression qu'en traction, et en compression elles sont plus importantes latéralement que selon l'axe des contraintes (phénomène classique de dilatation dans les géomatériaux).
Modèles de plasticité
Pour compenser ce défaut, on introduit une variable d'écrouissage plastique qui, associée à une loi d'écrouissage, permet de définir l'évolution de la surface limite élastique. Une loi de durcissement est nécessaire pour représenter le caractère adoucissant du matériau, et ce durcissement doit être cinématique pour représenter le comportement du béton sous contraintes alternées.
Modèles d’endommagement
On retrouve ou non une variable d'écrouissage pour décrire l'évolution du seuil d'endommagement superficiel. Cela conduit à un champ élastique et à une évolution du dommage exprimé en fonction de la force thermodynamique Y.
Couplage endommagement et plasticité
2λ(trεεε)2+2µtr(εεε2) +η1trDDD(trεεε η2trDDDtr(εεε2) +η3trεεεtr(εεε.DDD) +η4tr(εεε2.DDD) (1.27) En plus des valeurs des coefficients ηi qui varient, le modélise les différences dans l'existence ou non d'une seconde variable interne (type d'écrouissage) pour modéliser l'évolution du seuil d'endommagement superficiel sous charge (c'est le cas du modèle de Murakami [MK96]) la variable εεεOU F désactive partiellement l'évolution de l'endommagement sur la compression, de sorte qu'on obtient des réponses différentes malgré un dommage qui reste isotrope à une seule variable scalaire D.
Potentiel d’état pour l’endommagement anisotrope
Enfin, cette dernière approche est le pendant de la seconde, qui sans introduction de variable d'état supplémentaire reproduit l'endommagement et l'anélasticité du comportement en contrôlant les déformations permanentes au travers de la variable d'endommagement. Cette expression distingue l'effet de l'endommagement sur la partie hydrostatique et sur la partie anormale en introduisant un nouveau paramètre η, le paramètre de la sensibilité hydrostatique.
Lois d’état
Dans le cas de chargement hydrostatique négatif (tricompression), les mécanismes observés relèvent davantage de la plasticité que de l'endommagement (aucune microfissure n'est observée). Il faut donc distinguer deux types de chargement hydrostatique en introduisant deux paramètres de sensibilité différents : 1.31).
Fonction critère
Loi d’évolution
Identification des paramètres
Réponse du modèle pour les sollicitation uniaxiales
L'état de déformation est le suivant : et la réponse analytique est présentée à la figure 1.9. a) Réponse du modèle en traction simple (b) Réponse du modèle en compression simple. Pour calculer la déformation équivalente et le tenseur de dommage associé, le tenseur de déformation est ramené à sa base principale pour en obtenir sa partie positive.
Alternance des sollicitations en dynamique rapide
Résultats cycliques expérimentaux et interprétation
L'information principale de cet essai est que lorsque la compression nécessite une éprouvette préalablement endommagée en traction, la rigidité du matériau n'est pas la rigidité d'endommagement (Ee = E(1−D) pour l'endommagement scalaire), mais la rigidité. Il faut également noter que la reprise de raideur n'est pas immédiate lorsque la contrainte devient négative, la refermeture des fissures nécessite l'application d'une force non nulle (ici la contrainte de compression pour laquelle on retrouve la raideur initiale est de la ordre de 0,5 MPa).
Modélisation de l’effet unilatéral
Pour les modèles d’endommagement anisotropes, le caractère directionnel de l’endommagement permet de reproduire plus facilement l’aspect unidirectionnel du comportement. En effet, puisque les dommages en traction et en compression sont transportés dans des directions différentes, les dommages en compression sont nuls après un chargement en traction.
Modèle initial pour les chargements alternés [Sou08]
Ce modèle ne prend pas en compte l'effet de la vitesse sur la résistance du béton. Les problèmes liés à la discrétisation spatiale de la structure (les problèmes de dépendance au maillage) seront abordés ultérieurement (chapitre 4).
Schéma numérique d’intégration du modèle initial
La contrainte effective est calculée à partir de la loi d'élasticité : σσσen+1=EEE:εεεn+1, soit ici : σσσen+1= E .. 7) Calcul du tenseur des contraintes globales. La loi d'élasticité (éq. 1.32) reliant εεε à σσσ est analytiquement réversible, l'intégration numérique se fait sans itérations malgré un diagramme implicite.
Schéma numérique d’intégration du modèle pour chargements alternés 39
Une nouvelle procédure de gestion des fractures est proposée pour surmonter les problèmes de la procédure originale. Il y a en effet une réduction du temps de calcul associé à la procédure de gestion des fractures.
Deux expressions de la dissipation intrinsèque
En intégrant la dissipation sur l’ensemble de la structure, on peut connaître l’énergie totale dissipée par l’endommagement. Sous certaines hypothèses, on peut estimer l'augmentation de température (faible, on le verra) à partir de la connaissance de l'énergie dissipée par l'endommagement.
Méthode indirecte
Choix de la méthode de calcul
En revanche, nous observons que toutes les méthodes convergent vers le même résultat à mesure que le pas de temps diminue. Dans ce cas, la méthode DTE est la plus efficace (dans celle-ci, le résultat change le moins lorsque le pas de temps est réduit).
Estimation de l’élévation de température
Dans le cadre des structures de noyau (entre autres), la connaissance de l'ouverture des fissures est une donnée importante [MLM98, FLPC99, DPCCH08] surtout si l'on veut évaluer l'évolution de la perméabilité d'un béton soumis à un chargement mécanique. pour une structure de confinement). Si la bande où l'endommagement est localisé est en compression, hεi+ = 0 et I =0, donc l'ouverture de fissure est nulle.
Description de l’essai
Les caractéristiques mécaniques du béton de l'expérience n'étant pas connues avec précision, il suffit de caler les paramètres des deux modèles pour une réponse équivalente en traction et compression simple (fig. 2.10). Elle met en évidence une zone centrale sollicitée en traction (bien au-delà de la résistance du béton) et des zones proches des appuis en compression (avec une contrainte de l'ordre de 100MPa). a) Champ de contraintes σyy (b) Champ de contraintes σzz.
Apport de l’anisotropie
Nous montrons ici l'endommagement selon y correspondant à l'endommagement dans la zone fracture et selon z correspondant à celui de la zone comprimée (fig. 2.13). Le modèle isotrope, du fait de son incapacité à reproduire les dommages de la zone principale affectée.
Dissipation intrinsèque
Estimation de l’ouverture de fissure
Le cadre thermodynamique dans lequel le modèle a été développé assure la positivité de la dissipation. Au cours de la thèse, deux expressions équivalentes de dissipation intrinsèque ont été trouvées.
Effet de la vitesse de sollicitation en compression
On représente donc souvent l'effet de la vitesse en compression comme une fonction bilinéaire du logarithme de la vitesse de requête. L'augmentation de la résistance à la compression peut s'expliquer, comme on le verra au paragraphe 1.3, par des considérations structurelles liées à l'inertie de l'éprouvette testée.
Effet de la vitesse de sollicitation en traction
Comme précédemment, certains auteurs ont exprimé cet effet de vitesse sous la forme d'une fonction bilinéaire, mais il semble que la loi de puissance convienne également (fig.3.3).
Interprétation de l’effet de vitesse
L'impact des effets d'inertie est proportionnel à la masse de la structure et donc à son volume. Pour un élément de plus grand volume, l’augmentation dynamique de la résistance serait plus importante.
Effet de vitesse pour des sollicitations alternées
Dans l’état actuel des connaissances, il semble plus raisonnable de considérer un effet neutre de l’alternance des contraintes sur l’effet de la vitesse de déformation. De cette observation sont nées des lois phénoménologiques où la résistance à la traction ftdyn s'exprime en fonction de la vitesse de déformation ˙ε[BV92, MCWS95],.
Modèles élasto-visco-plastiques
Comme indiqué dans le paragraphe précédent, l’augmentation de la traînée peut être écrite comme une fonction linéaire partielle de la vitesse sur une échelle logarithmique. Dans ce modèle, la vitesse de déformation viscoplastique ˙εεεvp dépend de la différence entre l'état de contrainte viscoplastique σσσ à l'extérieur de la surface de chargement et l'état de contrainte plastique σσσ projeté sur la surface de chargement (et f = 0 et ˙f =0 suffisent).
Modélisation des effets de vitesse par un écrouissage visqueux
Classiquement, deux modèles viscoplastiques sont utilisés pour le béton, qui diffèrent par la loi d'écoulement et la loi de durcissement. Le domaine élastique est traduit par écrouissage visqueux (Figure 3.9) dans le plan de cisaillement (τ) - contrainte hydrostatique (p=13trσσσ).
Modèles visco-endommageables
Un modèle visco-plastique visco-endommageable
Lorsque f∗ est nul, ce qui correspond physiquement au cas où la porosité est complètement fermée, on retrouve un comportement élastique. Pour un béton standard, la porosité initiale f0∗ est d'environ 0,3, elle diminue au fur et à mesure que la trace de déformation plastique augmente pour atteindre progressivement un comportement élastique.
Identification des paramètres
Ces paramètres seront ensuite utilisés pour toutes les simulations à l'exception du module d'Young qui sera ajusté au module du modèle anisotrope. Dans ce paragraphe, nous proposons une manière d'étendre le modèle anisotrope initial décrit au chapitre 1 aux cas de contraintes dynamiques en prenant en compte l'effet de vitesse observé expérimentalement.
Loi d’évolution de l’endommagement
Bilan des équations du modèle d’endommagement anisotrope pour sol-
Schéma numérique d’intégration
La solution qui permet de trouver la loi quasi-statique tr ˙DDDn+1=g′(bεn+1)bε˙n+1 lorsque b tend vers 0 est . DDDn+1=DDDn+∆λhεεεi2 (3.47) La procédure d'intégration de la loi de comportement (avec anisotropie de dommage induit, avec effet de vitesse) se fait donc toujours sans itération locale (ie sans diagramme de Newton).
Identification des paramètres
Tous les termes de cette équation sont connus, puisque b et ˙D∞ sont des paramètres matériels, ∆t est fixe pour un calcul donné, et on connaît εεεn+1 au début du pas de temps, ce qui permet de calculer bεn+ 1. Figure La figure 3.4 représente la loi de comportement σ - ε calculée numériquement avec Cast3M pour les différents couples de paramètres évoqués ci-dessus et pour différentes vitesses de déformation.
Influence de la viscosité sur la dissipation intrinsèque
Quant aux vitesses de déformation « quasi-statiques » et faibles (jusqu'à ˙ε= 1 s−1), la réponse est la même quels que soient les paramètres utilisés. On vérifie que c'est la valeur du produit b×D˙∞ qui régit la réponse aux basses vitesses et non la valeur de chacun des paramètres.
Désactivation des dommages en dynamique
En ce qui concerne les dommages invalidants, la répartition est du même ordre de grandeur que ces derniers. Le chargement expérimental est connu (figure 3.17) sous la forme de l'évolution de la vitesse du front heurté en fonction du temps.
De la nécessité de l’effet de vitesse en calcul de structures
Il suit l'évolution des dégâts pour le modèle de départ, donc aucun effet de vitesse ou de désactivation des dégâts. On constate que la rupture se produit lorsque deux conditions sont simultanément remplies : la résistance en traction est atteinte et l'endommagement en compression (Dyy) est nul ou faible.
Influence de la viscosité sur la dissipation intrinsèque
La prise en compte de l'effet vitesse entraîne une dissipation plus importante, car la dissipation en traction augmente sous l'effet de la viscosité. Cet effet de vitesse est isotrope (il agit sur la trace de la vitesse d'endommagement ˙DDD), ce qui suffit à reproduire l'effet de vitesse en traction.
Illustration du phénomène de localisation
Cette vitesse est la vitesse de la face libre (gauche) de l'échantillon, calculée en son centre, qui correspond à la vitesse du fragment éjecté. Nous traçons sur la figure 4.4 l'évolution de la dissipation totale dans la structure RDdV en fonction du temps.
Les modèles à énergie constante
Si, en fin d'évolution, on constate que la dissipation diminue à mesure que l'on affine le maillage, les différences observées restent très faibles. En dynamique, la difficulté de cette méthode est de connaître l'énergie de rupture à imposer, car elle est également fortement dépendante du taux de charge.
Les modèles non-locaux intégraux
Le modèle anisotrope initial présenté au chapitre 1 a été écrit sous une forme non locale dans [DGR07]. Pour construire le modèle non local, il suffit alors de réécrire la fonction de seuil de Mazars f = g (bε) − tr DDD pour le modèle local en fonction de la déformation équivalente non locale.
Les modèles de type second gradient
Pour continuer la modélisation du comportement, le seul changement intervient dans le calcul de l'évolution du dommage (˙DDD=˙λhεi2+). Peerlings [Pee99] a montré que le choix d'une définition implicite de la variable non locale : bεnl−ci∂2bεnl.
L’effet retard
Comme pour le modèle intégral non local, nous remplaçons ensuite bε par la valeur que nous venons de calculer pour le terme de seuil de surface et la loi d'évolution des dommages (équation 4.19). Afin de permettre de réguler la solution sur toute la gamme des taux de sinistres, un modèle de dommage non local à effet différé est proposé.
La multifragmentation
Cette probabilité, P0 permet alors de définir une variable de dommage écrite dans le cadre de la mécanique classique du dommage continu. On constate que l'augmentation de la contrainte se reproduit en fonction de la vitesse de contrainte (considérée dans le modèle dynamique).
Impact rapide
On tracera donc les cartes d'endommagement pour vérifier numériquement la régularisation (ou la non-régularisation). Les courbes d'évolution de la vitesse d'éjection (fig. 4.10) montrent, comme les cartes d'endommagement, une parfaite régularisation.
Impact lent
L'effet retard combiné aux dommages non locaux donne là encore des résultats plutôt peu satisfaisants tant pour les cartes de dommages (fig.4.22) que pour les vitesses d'échappement (fig.4.23). Pour les vitesses lentes ˙ε≃3s−1 l’effet retard ne régit pas la solution, alors que le calcul non local donne de bons résultats.
Origine de l’instabilité
Rappelons enfin que la durée d'un calcul distant est environ 20 fois supérieure à la durée du même calcul local, ce qui exclut son utilisation avec un code explicite. Par contre, en compression, les déformations positives sont latérales ε22 et ε33, calculées grâce au modèle. C'est ce qui, nous allons le montrer, provoque l'apparition d'un comportement erratique aux fortes contraintes de compression (voir Figure 4-24) où l'on trace l'évolution des coefficients de Poisson apparents selon y et z en fonction de la contrainte de compression imposée selon X.
Existence d’une instabilité en compression simple
A partir de la simulation numérique d'un cube en compression simple, on constate que la moyenne des coefficients de Poisson apparents eν12+2eν13 est égale au coefficient de Poisson apparent de la solution de référence Dre f2 =Dre f3 ,eν12=eν13=eνre f (Fig. L'expression est toujours positive, l'instabilité existe donc en compression, et ce quelle que soit la valeur du dommage.
Influence du choix du schéma
Il est donc par nature insensible aux dommages et donc insensible au type d'instabilité considéré. Ainsi, il est suggéré de modifier le diagramme d'intégration de la loi de comportement pour ralentir l'instabilité en prenant les directions des déformations positives au pas de temps n (et soit n+1) comme directions d'endommagement.
Influence de la dicrétisation du chargement
Influence de la viscosité sur l’instabilité
A faibles vitesses de déformation, la viscosité n’est donc pas la solution appropriée aux problèmes d’instabilité. L'instabilité n'existe donc pas en dynamique rapide, et c'est l'inertie et non la viscosité qui stabilise le comportement.
Nouvelle direction d’endommagement
Coefficient de Poisson sans instabilité Q-S. FIGUE. 4.29 : Influence de la vitesse de déformation sur le coefficient de Poisson apparent. compression, déformations latérales) dépend directement du coefficient de Poisson ν, paramètre constant du modèle, et non plus du coefficient de Poisson effectif affecté par l'endommagement. De cette manière, une instabilité apparente est évitée (voir Fig. 4.30), la question de la meilleure stabilité entre recherche explicite ou implicite de la direction du dommage ne se pose plus.
Influence de l’instabilité sur le résultat d’un calcul de poutre en flexion 127
Le modèle utilisé pour le béton est d'abord le modèle d'endommagement anisotrope à effet retardé (avec la loi ˙DDD=λ˙ <εεε>2+) puis le même modèle modifié pour s'affranchir de l'instabilité (écrit selon les déformations effectives de la loi ˙DDD =˙λ
Chargements et structures étudiés
Des essais d'impact sur la poutre (4 essais au total) visaient à étudier le passage d'un mode de rupture ductile (en flexion) à un mode de rupture fragile (avec cône de cisaillement). Ces expériences coûteuses (par exemple laisser tomber le bloc dans un bloc crash [DMMP05] ou impacter un avion [STK+93]), ne fournissent pas toujours plus d'informations que les tests sur modèles réduits.
Identification des mécanismes locaux sous impact
Modes de ruine globaux
Lors des premiers instants d'impact, la fibre supérieure est tendue car elle ne suit pas immédiatement le mouvement de la zone impactée. a) Poutres longues, joints, coques hémisphériques avec bois. La présence ou l’absence de renforts de cisaillement joue un rôle important dans ce type de rupture.
Combinaison des mécanismes
L'énergie cinétique portée par le cône correspond grosso modo à l'énergie d'impact dont l'énergie est répartie par endommagement, frottement des fissures (entre le cône et le reste de la structure) et par plastification des renforts (cf. Fig. 5.3) . Soit le projectile rebondit avec une énergie égale à l'énergie d'impact moins l'énergie dissipée, soit il s'arrête à nouveau lorsque toute l'énergie est dissipée.
Classification des impacts
Une interprétation par Jonas [JMRR79] des essais d'impact sur plaque "Meppen" conduit à la cinématique de perforation de la Figure 5.5. Dans le cas présenté par Jonas, le cisaillement, la fracturation et la flexion se chevauchent, fragilisant ensemble la structure.
Dispositif expérimental
C'est pourquoi dans le cadre de ce travail de thèse il a été décidé de réaliser une série d'essais d'impact sur une tour de chute. Deux têtes ont été usinées pour cette série d'essais, une plate pour les essais brésiliens et une légèrement arrondie pour les essais poutre.
Instrumentation
Mesures de champs
La valeur en ordonnée représente le nombre de pixels avec cette intensité de niveaux de gris. Le résultat de la figure 5.12 est tout à fait satisfaisant. a) Image analysée (b) Histogramme des niveaux de gris. a) Image analysée (b) Histogramme des niveaux de gris.
Géométrie des éprouvettes et chargement expérimental
Dans ce cas, la résistance du projectile est très importante par rapport à la résistance de la cible, de sorte que le choc peut être qualifié de fort selon ce critère, quelle que soit la vitesse d'impact.
Caractéristiques des bétons testés
Mesure de la force d’impact
Le projectile plat d'un diamètre de 22 cm est utilisé, c'est pourquoi la longueur des échantillons ne peut pas dépasser cette valeur.
Cinématique globale de l’impact
On peut voir que la vitesse de recul est plus grande si la vitesse d'impact est plus grande. L'accélération et la force d'impact semblent être directement liées, la vitesse d'impact a donc une influence. a) Influence de la vitesse d'impact (b) Influence de la longueur de l'éprouvette.
Analyse de l’enregistrement de la caméra rapide
De même, si la surface de contact est réduite, la vitesse de rebond augmente (dans ce cas moins d'énergie est dissipée). Afin de tenter d'observer la propagation des fissures, l'essai B13 a été décidé de limiter la zone filmée pour augmenter la vitesse d'acquisition à une image toutes les 0,0333 ms.
Analyse par mesure de champs
Ce nouveau résultat est particulièrement intéressant du point de vue de la validation du modèle de comportement dynamique, car nous disposons de nouvelles données qualitatives de référence (apparition de contraintes de compression avant ouverture de fissure) par rapport aux résultats numériques. Grâce à la corrélation d'images, il est également possible de dater précisément le début de l'impact et donc le moment de l'éclatement.
Géométrie, ferraillage et chargement expérimental
La disposition des renforts est représentée sur la figure 5.20 (ossatures ombrées), et le tableau 5.4 résume les caractéristiques des différentes poutres. Comme pour le test brésilien, la résistance de la cible est faible par rapport à la résistance du projectile, donc l'impact est fort au sens de [KP09] quelle que soit la vitesse d'impact.
Rupture en flexion
Le deuxième pic (positif) a une valeur de l'ordre de Fmaxreac= 100 kN, on ne retrouve donc pas l'équilibre statique du faisceau (2×Fmaxreac6=Fmax(imp). Les images du test sont enregistrées à une fréquence de 10 000 images par seconde, la cible est centrée sur le centre du faisceau.
Rupture en cisaillement
Les fissures de flexion oblique ne correspondent pas aux limites de ce cône, il apparaît donc que deux mécanismes sont en compétition. La flexion finit par l'emporter car la charge appliquée n'est pas suffisante pour casser les cadres. correspondant au moment de flexion de la poutre).
Cinématique globale de l’impact
Comme en flexion, les écailles tombent parallèlement au choc dans la partie supérieure de la poutre. Pour l'impact sur la poutre, nous avons pu observer la création d'un cône de déplacement uniforme, qui, au moins dans la partie supérieure de la poutre à hauteur de l'impacteur, ressemble au cône qui se détache lors du rodage. rocher.
Paramètres de la modélisation
Ce dernier chapitre est dédié à l'application du modèle d'endommagement développé au cours de cette thèse et synthétisé à la fin du chapitre 4 à des cas de calcul structurels réels de complexité croissante. Trois exemples sont discutés : les deux essais réalisés sur une tour de chute présentés dans le chapitre précédent (essai brésilien dynamique et impact sur poutres renforcées) et le cas d'un essai d'explosion sur dalle en béton armé [Pon95].
Résultats de simulation
Les essais sur tour de chute ont montré que la force d'impact était peu sensible à la vitesse d'impact (au moins pour les vitesses étudiées, V0 = 1,47 m/s et V0 = 2,42 m/s) mais en revanche directement proportionnelle à la longueur. (mesuré le long de l'axe des x). La simulation numérique reproduit cette dernière observation (on voit sur la figure 6.4 que la force d'impact . est double pour l'éprouvette la plus courte).
Paramètres de la modélisation
La durée de l'impact et le déplacement maximal du projectile augmentent avec la longueur de l'échantillon, ce qui n'est pas vérifié par l'expérience. Ce paragraphe est consacré à la modélisation numérique des essais de choc sur poutres en béton armé.
Résultats de simulation
Les zones où l'endommagement vaut 1 sont fortement endommagées en traction et les fissures sont ouvertes. On constate que dans les fibres inférieures et en dessous du projectile les fissures sont assez verticales, tandis que dans les fibres supérieures les dommages sont assez parallèles à la longueur de la poutre (axe x).
Description des essais
Paramètres de la modélisation
Seul un quart de la plaque est modélisé et des conditions de symétrie sont imposées. Les paramètres du modèle d'endommagement anisotrope (avec effet de vitesse) sont les mêmes que pour les deux calculs précédents (Tableau 3.4), à l'exception du module d'Young et de la densité qui sont pris égaux à ceux de la 1ère expérience, E = 31 GPa et p=2300 kg/m3 . a) Evolution de la pression appliquée P(t).
Résultats de simulation
La carte des dommages en face arrière (libre) (Figure 6.19) présente un aspect très proche du profil de fissure expérimental (Figure 6.16). Expérimentalement, ce premier mode est presque totalement amorti, le comportement de la plaque est alors quasi-statique.
Essai brésilien dynamique
Rappelons que le modèle anisotrope a estimé de manière satisfaisante la force maximale et la durée de l'impact. a) Comparaison de la force d'impact pour les deux modèles. La force de choc calculée avec le modèle isotrope coïncide dès le départ avec celle du modèle anisotrope.
Impact sur poutre
Si l'on compare le déplacement du projectile et de la poutre, on remarque d'abord que le projectile a un déplacement quasiment linéaire, c'est-à-dire que le contact avec la poutre ne ralentit pas sa chute (figure 6.26). Lorsque le projectile revient en contact avec le béton, les deux courbes se chevauchent à nouveau, puis pénètrent complètement dans la poutre.
Essai de souffle
Discussion sur l’endommagement isotrope pour des calculs de struc-
L'évolution de la force d'impact et la vitesse de recul du projectile restent des points d'amélioration. D'une part, la déflexion maximale de la plaque est assez bien représentée, mais surtout, le mode d'endommagement est fidèle au résultat expérimental.
