On observe que plus ˙D∞ est grand et plus la résistance de pic est faible pour les fortes vitesses de sollicitation. Pour ce qui est du "quasi-statique" et des faibles vitesses de déformation (jusqu’à ˙ε= 1 s−1)la réponse est la même quels que soient les paramètres utilisés. On vérifie bien que c’est la valeur du produit b×D˙∞ qui gouverne la réponse pour les faibles vitesses et non la valeur de chacun des paramètres. A partir des résultats précédents, on choisit de retenir le couple de valeurs : b=1, ˙D∞= 50000 s−1qui présente le meilleur compromis vis à vis des critères que nous avons fixés.
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Déformation
0 1000 2000 3000 4000 5000
Dissipation [J/m3]
200/s 100/s 10/s 1/s 0,1/s 0,01/s 0,0001/s
(a) ˙D∞=5.106b=0,1
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012
Déformation
0 1000 2000 3000 4000 5000
Dissipation [J/m3]
100/s 10/s 1/s 0,1/s 0,01/s 0,0001/s
(b) ˙D∞=5.105b=1
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
Déformation
0 1000 2000 3000 4000 5000
Dissipation [J/m3]
100/s 10/s 1/s 0,1/s 0,01/s 0,0001/s
(c) ˙D∞=5.104b=10
FIG. 3.13: Influence des paramètres de viscosité sur la dissipation intrinsèque
D
=RY : ˙DDDdtremedier au problème de remplacer trDDD par dact dans l’expression de la fonction seuil comme cela a déjà été fait pour le modèle statique (paragraphe 4.4 du chapitre 1) et dans la loi d’évolution de l’endommagement . On rappelle l’expression de dact, l’endommagement actif :
dact =DDD :hεεεi+ max(εI)
La nouvelle loi d’évolution de l’endommagement avec effet de vitesse et désactivation des dommages en dynamique a pour expression :
H
(trεεε)d˙act =D˙∞[1−exp(−b(g(bε)−dact))] (3.49)Le modèle de comportement présenté se réécrit donc :
εεε= 1+ν
E [(1−DDD)−12σσσD(1−DDD)−12]D+(1−2ν) 3E
hσHi
1−trDDD− h−σHi
1 f =g(bε)−dact → ∗ f <0 : élastique
∗ f =Dv>0 : visco-endommagement
H
(trεεε)d˙act =D˙∞[1−exp(−b(g(bε)−dact))]Rappelons que l’écriture avec l’endommagement actif ne change pas la réponse en traction monotone et en compression monotone. Le résultat obtenu avec ce nouveau modèle est égale- ment présenté sur la figure 3.14. La réponse n’est pas identique à celle d’un chargement en traction simple. Cela est dû au fait que la restauration de la raideur n’est que partielle, comme cela a déjà été évoqué au chapitre 1 pour le cas quasi-statique. Les résistances sont néanmoins égales, seules les valeurs de la déformation au pic est modifiée.
Déformation-300
-20 -10 0 10 20 30
Contrainte [MPa]
Modèle initial Modèle modifié Traction seule
FIG. 3.14: Influence de la désactivation des dommages sur la résistance en traction pour un chargement alterné en dynamique (compression jusqu’à D=0,5 puis traction à ˙ε= 10.s−1)
On trace par ailleurs l’évolution de la dissipation intrinsèque pour ce même cas de charge- ment (fig. 3.15). Signalons que sur cette figure l’origine de la courbe en traction monotone a été décalée au niveau de la dissipation après décharge pour un chargement alterné de manière à pouvoir comparer les évolutions.
-0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025
Déformation
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Dissipation [J/m3]
Modèle initial Modèle modifié Traction seule
FIG. 3.15: Influence de la désactivation des dommages sur la dissipation pour un chargement alterné en dynamique - ˙ε= 10.s−1
Le modèle en trDDD conduit à une dissipation très importante comparée à la valeur attendue qui est celle de la traction simple monotone (après décalage). Avec la prise en compte de la désactivation des dommages la dissipation est du même ordre de grandeur que cette dernière.
4 Application à l’essai de traction dynamique par écaillage
Le but de cette nouvelle application numérique est triple :
•Montrer que la prise en compte des effets de vitesse joue un rôle important sur la réponse d’un calcul de structure.
• Montrer que la désactivation des dommages (ou prise en compte de la désactivation des dommages) est également nécessaire pour une modélisation réaliste.
•Montrer l’influence de la viscosité sur la dissipation totale.
Pour cela on se propose de reproduire numériquement l’essai de traction dynamique par écaillage mis au point par [KB01].
4.1 Description de l’essai
Le schéma de principe de cet essai est présenté sur la figure 3.16.
4.1.1 Dispositif expérimental
FIG. 3.16: Schéma de principe de l’essai de traction dynamique par écaillage d’après, [KB01]
Une éprouvette cylindrique de béton est impactée sur l’une de ses faces par une barre (dite de mesure) elle même impactée par un projectile, ce qui engendre une onde de compression dans l’éprouvette. En atteignant la seconde face, libre, de l’éprouvette, l’onde se réfléchit en une onde de traction de même intensité qui mène à la ruine de l’éprouvette du fait de la dissymétrie du comportement du béton. Cette éprouvette a un diamètre de 4 cm pour une longueur de 12 cm.
Le chargement expérimental est connu (figure 3.17) sous la forme de l’évolution la vitesse de la face impactée en fonction du temps. Le maximum de ce chargement est atteint au bout de 0,03 ms. Avec une masse volumiqueρde 2400 kg/m3et une module d’Young E de 42 GPa, la vitesse des ondes dans le béton (calculée par c=q
Eρ) est de 4183 m/s, ce qui signifie que le maximum du chargement atteint la face libre de l’éprouvette 0,059 ms après l’impact.
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Temps [ms]
0 1 2 3 4
Vitesse [m/s]
FIG. 3.17: Chargement expérimental pour l’essai de traction dynamique
Cet essai conduit à la ruine de l’éprouvette par l’apparition d’une macro-fissure qui coupe l’éprouvette en deux morceaux. Le résultat expérimental dont on dispose est la position cette fissure (fig. 3.18), située à 5,42 cm de la face impactée. La position de la zone de rupture dépend d’une part du chargement (intensité et durée), de la vitesse des ondes, mais également de la résistance en traction du béton. En effet, lors de la réflexion, l’onde de traction et l’onde de compression se superposent, ce qui conduit même pendant un court instant à un état de contraintes nulles (cf fig. 3.19 qui représente l’évolution de la contrainte au cours du temps
FIG. 3.18: Résultat d’un essai de traction dynamique
pour un calcul en élasticité). La rupture n’a donc pas lieu expérimentalement au niveau de la face libre, mais plus loin, quand la contrainte de traction devient suffisament importante pour dépasser celle de compresion et atteindre la valeur de la résistance du béton. L’effet de vitesse a donc un rôle prépondérant dans cet essai puisque c’est lui qui détermine la valeur de la résistance en traction, et de ce fait la position de la zone de rupture. D’autre part le chargement incident en compression n’est pas neutre vis à vis de l’endommagement latéral. La valeur de la contrainte calculée en élasticité est de l’ordre de 30MPa, soit une valeur assez proche de la résistance du béton en compression. La désactivation des dommages modifie a priori dans ce cas la réponse du calcul numérique. Cet essai peut nous permettre de confirmer ou d’infirmer l’hypothèse précédemment formulée sur la relation entre l’état d’endommagement et l’effet de vitesse en traction.
FIG. 3.19: Evolution de la contrainte longitudinale pour un calcul élastique
4.1.2 Paramètres de la simulation numérique
Le maillage utilisé est celui présenté sur la figure 3.20. Il est composé de 13632 éléments prismatiques à 6 points de Gauss. La discrétisation spatiale dans la longueur en 48 éléments conduit à une taille d’éléments suivant l’axe longitudinal x de 0,25 cm.
FIG. 3.20: Maillage Eléments finis 3D pour la simulation de l’essai de traction dynamique
On ne peut dans le logiciel utilisé (le code implicite Cast3m) imposer qu’un chargement en déplacement, aussi on intègre le chargement expérimental en vitesse pour obtenir un déplace- ment en fonction du temps (fig 3.21).
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Temps [ms]
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
Déplacement [mm]
FIG. 3.21: Chargement imposé numériquement
On compare les résultats obtenus avec quatre versions différentes du modèle : le modèle initial (fonction critère en trDDD, sans effet de vitesse) , le modèle initial avec désactivation des dommages (fonction critère en dact, sans effet de vitesse), celui avec un effet de vitesse en traction (fonction critère en trDDD) et enfin le modèle avec effet de vitesse et désactivation des dommages (dact. On les désigne par la suite par les abréviations suivantes :
Modèle Désignation
Initial INI
Initial avec désactivation des dommages INI-dact
Dynamique sans désactivation des dommages DYN Dynamique avec désactivation des dommages DYN-dact
TAB. 3.3: Différentes versions du modèle d’endommagement anisotrope
Les paramètres du modèle, déjà utilisés auparavant, sont rappelés ici :
Paramètre Valeur
E 42 GPa
ν 0,2
κ0 5.10−5
A 5000
a 2,93.10−4
Si modèle avec effet de vitesse
b 1
D˙∞ 50000 s−1
TAB. 3.4: Paramètres du modèle d’endommagement anisotrope
Aucune condition aux limites autre que le déplacement de la face impactée n’est imposée.
On remarque néanmoins que l’intégration de la vitesse conduit à imposer un déplacement constant lorsque la vitesse redevient nulle alors qu’expérimentalement, l’éprouvette est laissée complètement libre, ce qui est numériquement impossible avec le code de calcul utilisé.