Recherche de la forme d’un modèle à retards échelonnés : application à la fonction d’investissement

(1)

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Bernadette Maréchal

To cite this version:

Bernadette Maréchal. Recherche de la forme d’un modèle à retards échelonnés : application à la fonction d’investissement. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME).

1980, 23 p., figures, bibliographie. �hal-01533753�

(2)

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

(3)

A L A F O N C T I O N D ' I N V E S T I S S E M E N T

B e r n a d e t t e M A R E C H A L n o v e m b r e 1 9 8 0

C e t a r t i c l e a f a i t l ' o b j e t d ' u n e c o m m u n i c a t i o n a u X l l è m e C o l l o q u e de l ' i n s t i t u t de M a t h é m a t i q u e s E c o n o m i q u e s , le 28 n o v e m b r e 1980.

L ' a u t e u r e s t a s s i s t a n t e à l ' U n i v e r s i t é d e D i j o n

I n s t i t u t d e M a t h é m a t i q u e s E c o n o m i q u e s - 4 Bd G a b r i e l - 2 1 0 0 0 D i j o n

f

(4)

l ' é c o n o m è t r e .

P o u r l ' é c o n o m i s t e , le m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s p e r m e t de t r a d u i r e le fait q u e l ' i n f l u e n c e d ' u n e v a r i a b l e é c o n o m i q u e sur u n e a u t r e e st g é n é r a l e m e n t é t a l é e sur p l u s i e u r s p é r i o d e s t o u t e n é t a n t p e u t ê t r e d é c a l é e d a n s le t e mp s . C ' e s t sur c e t t e i d é e q u e s ' a p p u i e , e n m a t i è r e d ' i n v e s t i s s e m e n t , la t h é o r i e d e s a c c é l é r a t e u r s f l e x i b l e s d é v e l o p p é e p a r les p a r t i s a n s d u p r i n c i p e d ' a c c é l é r a i i o n ( 1 ), p r i n c i p e d o n t la v e r s i o n o r i g i n a l e est d u e à J . M . C L A R K [ < } •

P ar s u i t e , a v a n t q u ' u n e m e s u r e de p o l i t i q u e é c o n o m i q u e n e soi t e n g a g é e (par e x e m p l e e n v u e de r e l a n c e r les i n v e s t i s s e m e n t s ) , il e s t i m p o r t a n t d ' e n c o n n a î t r e l ' i m p a c t t o t a l , c ' e s t - à - d i r e d ' u n e p a r t la d a t e à l a q u e l l e les p r e m i e r s e f f e t s c o m m e n c e r o n t à ê t r e p e r ç u s et c e l l e à l a q u e l l e ils s e r o n t p e r ç u s a u m a x i m u m , d ' a u t r e p a r t le n o m b r e d e p é r i o d e s d u r a n t l e s q u e l l e s ils s e r o n t p e r ç u s .

C ' e s t p o u r q u o i d a n s le m o d è l e t h é o r i q u e é t a b l i p a r l ' é c o n o m i s t e , il c o n v i e n t d ' a t t r i b u e r à c h a q u e c o e f f i c i e n t de r é g r e s s i o n u n e v a l e u r n u m é r i q u e . Et c ' e s t p o u r t r a n s f o r m e r le m o d è l e t h é o r i q u e e n m o d è l e é c o n o m é t r i q u e q u e l ' o n f a i t a p p e l à l ' é c o n o m è t r e . L e m o d è l e t h é o r i q u e se p r é s e n t e g é n é r a l e m e n t s o u s la forme:

y t = a j x t-j * u t

= (aQ + a ^ L + ... + aj L-* +...) x t + u t

= A(L) x t + u t t = 1 ,2 ,. ..

où;

. L e s t l ' o p é r a t e u r d e r e t a r d d é f i n i par:

L xt = xt_, ;

L>

xt = Xj.j

. u e s t u n t e r m e a l é a t o i r e d o n t les p r o p r i é t é s d o i v e n t ê t r e p r é c i s é e s .

Le r ô l e d e l ' é c o n o m è t r e est a l o r s de t r o u v e r d e s e s t i m a t e u r s a s y m p t o t i q u e m e n t c o n v e r g e n t s p o u r les c o e f f i c i e n t s a ^ . M a i s a v a n t

(1) C ' e s t u n e r e l a t i o n t e c h n i q u e e n t r e les v a r i a t i o n s d e la d e m a n d e de b i e n s de c o n s o m m a t i o n et la d e m a n d e de b i e n s c a p i t a u x . C e t t e r e l a t i o n s u p p o s e u n a j u s t e m e n t i n s t a n t a n é d u s t o c k d e c a p i t a l à so n n i v e a u o p t i m a l .

(5)

d ' e s t i m e r c e s c o e f f i c i e n t s , il f au t p r é c i s e r le n o m b r e de c o e f f i c i e n t s à e s t i m e r a i n s i q u e les p r o p r i é t é s d u t e r m e a l é a t o i r e .

* E n ce q u i c o n c e r n e le n o m b r e de c o e f f i c i e n t s à r e t e n i r , de n o m b r e u s e s s p é c i f i c a t i o n s o n t é té p r o p o s é e s , m a i s a u c u n e ne s ' a p p u i e sur d e s r é s u l t a t s e m p i r i q u e s d é j à é t a b l i s . A u c o n t r a i r e , et p o u r r e p r e n d r e u n e r e m a r q u e de E . M A L I N V A U D : " . . . i l i m p o r t e de t r o u v e r d e s h y p o t h è s e s c o m m o d e s et a d m i s s i b l e s p o u r la s u i t e d e s c o e f f i c i e n t s ..." [ 2 9 , p . 4 8 o 3 • P a r e x e m p l e , on s u p p o s a i t q u e t o u s les c o e f f i c i e n t s a^ é t a i e n t p o s i t i f s , q u e le c o e f f i c i e n t a^ é t a i t u n e f o n c t i o n d é c r o i s s a n t e d u r e t a r d j, etc. A i n s i l e s s p é c i f i c a t i o n s

les p l u s c o u r a m m e n t em p loyées é t a i e n t :

. la d i s t r i b u t i o n g é o m é t r i q u e p r o p o s é e p a r L . M . K O Y C K L 2 7^ et d é f i n i e par:

A(L) = ----5---- 1 - b L

. la d i s t r i b u t i o n r a t i o n n e l l e p r o p o s é e p a r D . W . J O R G E N S O N ^ 2 3 ^ et d é f i n i e par:

l ï f T ^ 1 L<

A(L) = = _ 2 ---}--- 2—

WfL) w„ + W..L + ... + w Ln0 1 n a v e c viQ - 1

. la d i s t r i b u t i o n p o l y n o m i a l e p r o p o s é e p a r S . A L M O N et q u i c o n s i s t e à a j u s t e r un p o l y n ô m e de de g r é q sur les c o e f f i c i e n t s a^

d u m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s :

a j - h * ( V ••• * f>, j q ■ •

A l ' e x c e p t i o n de la p r e m i è r e , l ' e m p l o i d e la d i s t r i b u t i o n r a t i o n n e l l e o u de la d i s t r i b u t i o n p o l y n ô m i a l e i m p l i q u e q u e s o i t a u p r é l a b l e d é t e r m i n é le d e g r é de c h a q u e p o l y n ô m e . A c e t t e fin, le c r i t è r e d e la v a r i a n c e r é s i d u e l l e m i n i m a l e et le c r i t è r e d u c o e f f i c i e n t de d é t e r m i n a t i o n sont les p l u s f r é q u e m m e n t r e t e n u s . M a i s ce q u i ne n o u s p a r a î t p a s r e p o s e r s ur des b a s e s s o l i d e s c ' e s t p l u s le c h o i x d ' u n e s t r u c t u r e de r e t a r d s p a r t i c u l i è r e q u e la m a n i è r e de d é t e r m i n e r le d e g r é de c h a q u e p o l y n ô m e . P o u r q u o i r e c h e r c h e r d e s

" h y p o t h è s e s c o m m o d e s et a d m i s s i b l e s " p l u t ô t q u ' u t i l i s e r d i r e c t e m e n t l ' i n f o r m a t i o n c o n t e n u e d a n s l ' é c h a n t i l l o n , é c h a n t i l l o n q u i n ' e s t

q u e la t r a d u c t i o n c h i f f r é e d u p h é n o m è n e qu e l ' o n c h e r c h e à e x p l i q u e r ? C ' e s t ce q u e n o u s n o u s s o m m e s p r o p o s é e de f a i r e à p r o p o s de la f o n c t i o n d ' i n v e s t i s s e m e n t e n F r a n c e .

(6)

■tfLe s e c o n d p r o b l è m e est r e l a t i f à la s t r u c t u r e d u t e r m e a l é a t o i r e . A l ' e x c e p t i o n d e la s t r u c t u r e p o l y n ô m i a l e , le s d e u x a u t r e s c o n d u i s e n t à u n m o d è l e d o n t la f o r m e f i n a l e e s t u n m o d è l e a u t o r é g r e s s i f . O n d o i t a l o r s se d e m a n d e r si le t e r m e a l é a t o i r e d o i t ê t r e a j o u t é sur la f o r m e o r i g i n a l e ou sur la f o r m e f i n a l e d u m o d è l e . G é n é r a l e m e n t , le t e r m e a l é a t o i r e est a j o u t é sur la f o r m e f i n a l e d u m o d è l e , et il ..atisfait a u x c o n d i t i o n s d ' a p p l i c a t i o n de la m é t h o d e o r d i n a i r e d e s m o i n d r e s c a r r é s : "... l ' h y p o t h è s e de n o n - c o r r é l a t i o n à la fin de la p r o c é d u r e p l u t ô t q u ' a u d é b u t n e p e u t ê t r e j u s t i f i é e sur le p l a n é c o n o m i q u e " |[l8,p.38

J

. Il es t v r a i q u e , d a n s le cas d ' e r r e u r s a u t o c o r r é l é e s s ur la f o r m e o r i g i n a l e d u m o d è l e , d e s

d i f f i c u l t é s d ' o r d r e t e c h n i q u e p e u v e n t a p p a r a î t r e l o r s de l ' e s t i m a t i o n de s c o e f f i c i e n t s de ce m o d è l e . M a i s , si l ' o n v e u t q u e le m o d è l e é c o n o m é t r i q u e so i t u t i l e à l ' é c o n o m i s t e , ce r i s q u e n e m é r i t e - t - i l p as d ' ê t r e p r i s ?

A i n s i , j u s q u ' à p r é s e n t , l ' e s t i m a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s i m p l i q u a i t q u e s o i e n t a u p r é a l a b l e p o s é e s d e s h y p o t h è s e s a s s e z c o n t r a i g n a n t e s q u i p o u v a i e n t , d a n s

c e r t a i n s cas, ê t r e en c o n t r a d i c t i o n avec le p r i n c i p e m ê m e d u m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s . N o u s a l l o n s m o n t r e r , d a n s u n e p r e m i è r e p a r t i e , q ue les c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s p e u v e n t ê t r e e s t i m é s s an s a u c u n e i n f o r m a t i o n a p r i o r i ni s u r le s c o e f f i c i e n t s d u m o d è l e ni su r la s t r u c t u r e d u t e r m e a l é a t o i r e . La m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n e m p l o y é e e s t c o n n u e so u s le n o m de m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e . E l l e a ét é d é v e l o p p é e p a r E . J . H A N N A N ^ 2 0 ^ e n 1965,

p u i s r e p r i s e p a r G . S . F I S H M A N ^ 1 6 } et P . J . D H R Y M E S «

La s e c o n d e p a r t i e s e r a c o n s a c r é e à l ' a p p l i c a t i o n o u p l u s e x a c t e m e n t à l ' u t i l i s a t i o n d e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e . En d ' a u t r e s t e r m e s , il s ' a g i r a d e t r o u v e r à q u e l l e f o n c t i o n s ' a p p a r e n t e n t les c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s , c o c f f i c i e n t s qu i o nt é té e s t i m é s p a r la m é t h o d e de la . r é g r e s s i o n s p e c t r a l e .

(1) "... t h e r e is no s t r o n g e c o n o m i c a r g u m e n t f o r m a k i n g t h e u n c o r r e l a t i o n a s s u m p t i o n at th e e nd o f t h e p r o c é d u r e r a t h e r t h a n at t h e o t h e r " . £_18,p.38} .

(7)

1 - La m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e

C o m m e s o n n o m l ' i n d i q u e , la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e f a i t r é f é r e n c e à l ' a n a l y s e s p e c t r a l e (1), et p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t à l ' a n a l y s e s p e c t r a l e c r o i s é e (2). B i e n q u e c e t t e m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n s oi t t r è s a t t r a y a n t e , e l l e n ' a p r a t i q u e m e n t j a m a i s é t é e m p l o y é e d a n s d e s t r a v a u x é c o n o m é t r i q u e s f r a n ç a i s . C e p e n d a n t , d è s 1971, E . M A L I N V A U D et D . F O U Q U E T a v a i e n t c o m p r i s l ' a v a n t a g e d e l ' e m p l o i de l ' a n a l y s e s p e c t r a l e d a n s la r e c h e r c h e é c o n o m é t r i q u e : " E n p e r m e t t a n t u n e é t u d e t r è s s o u p l e d e s d é l a i s q u i i n t e r v i e n n e n t d a n s les d i v e r s p h é n o m è n e s c o n s i d é r é s , l ' a n a l y s e s p e c t r a l e c o n s t i t u e r a i t u n g u i d e a u m o m e n t d u c h o i x de m o d è l e s a p p r o p r i é s " [_30, p . 44*}.

Le b u t de la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e , r a p p e l o n s - le, est d ' e s t i m e r les c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s s ans a u c u n e i n f o r m a t i o n a p r i o r i ni s u r l ' é v o l u t i o n t e m p o r e l l e d e s c o e f f i c i e n t s de r é g r e s s i o n , n i su r la s t r u c t u r e d u t e r m e a l é a t o i r e .

11 - L e s h y p o t h è s e s de la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e C o n s i d é r o n s le m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s t r è s g é n é r a l :

*2

(1.1) y t = 51. Sj x t _j + u t t = 1 ,. .. ,T j — r 1

d o n t la r e p r é s e n t a t i o n m a t r i c i e l l e est:

(1.2) Y - X A + U.

L ' i n t r o d u c t i o n de " r e t a r d s n é g a t i f s " p e r m e t de p r e n d r e e n c o m p t e l ' i n f l u e n c e d e s a n t i c i p a t i o n s , m a i s l ' é t u d e p e u t t r è s b i e n ê t r e c o n d u i t e e n ne r e t e n a n t q u e d e s " r e t a r d s p o s i t i f s " . L e s h y p o t h è s e s n é c e s s a i r e s h l ' a p p l i c a t i o n de la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e s ont p e u n o m b r e u s e s , et s u r t o u t t r è s p e u c o n t r a i g n a n t e s .

H1 - L es p r o c e s s u s t = 1 , . . . j , ^ x t , t = 1 , . . . ^ et

^ u t , t = 1 , . . . J s o n t c e n t r é s et s t a t i o n n a i r e s en c o v a r i a n c e . La f o n c t i o n d ' a u t o c o v a r i a n c e , et d o n c la f o n c t i o n d ' a u t o c o r r é l a t i o n , n e d é p e n d e n t q u e d u d é c a l a g e e n t r e d e u x o b s e r v a t i o n s :

(1) E t u d e d e s s é r i e s t e m p o r e l l e s d a n s le d o m a i n e d e s f r é q u e n c e s | 2 l \

et L 1 7 } • r ,

(2) E t u d e d e s r e l a t i o n s e n t r e les c o m p o s a n t e s de m e m e f r é q u e n c e \_21J et [17 1.

(8)

KX (T) - E [ x t+(£ * t ] î - 0 , - 1 , - 2 , . . .

Il en e s t de m ê m e p o u r la f o n c t i o n de c o v a r i a n c e c r o i s é e :

Kx y (T) = E yt 1 T-0,i1.î2.---

H2 - Il y a i n d é p e n d a n c e e n t r e la v a r i a b l e e x o g è n e x et le t e r m e a l é a t o i r e u:

£XU(A)

_{X U} = 0

v A € l-ïï>rr].

x u l A ) r e D r e s e n t e îe S D e c t r e c r o i s e e n t r e ±es , u- i , • . ^P f (A) r e p r é s e n t e le s p e c t r e c r o i s é e n t r e les p r o c e s s u s £ x t , t = 1 , . . . j et [ u t , t = 1 , . . . j . C ' e s t la t r a n s f o r m é e de F o u r i e r de la f o n c t i o n de c o v a r i a n c e c r o i s é e :

fx u CX) - — £ e'iT>l Kx u (T)-

x u 2ÏÏ x u

H3 - Le s p e c t r e de p u i s s a n c e fu (A) 0 ) d u t e r m e a l é a t o i r e u est t o u j o u r s p o s i t i f s ur l ' i n t e r v a l l e J-TTj+Tf^, d e t e l l e s o r t e q ue la m a t r i c e «Q. des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s d e s e r r e u r s e s t u n e m a t r i c e d é f i n i e p o s i t i v e et d o n c n o n - s i n g u l i è r e .

H4 - Le s p e c t r e de p u i s s a n c e fu (X) d u t e r m e a l é a t o i r e u es t u n e f o n c t i o n b o r n é e p o s s é d a n t u n e sé r i e de F o u r i e r a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e . Il e n e st de m ê m e p o u r f ~ ^ ( X ) :

C m - — * £ / v eipA

u 2lt p — p

a v e c :

±0+

pn=-<?»

115 - Le v e c t e u r U de s e r r e u r s es t d i s t r i b u é s u i v a n t u n e loi n o r m a l e m u l t i v a r i é e d ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e n u l l e et de m a t r i c e des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s - A

U t (0, -ilu) .

(1) ou t r a n s f o r m é e de F o u r i e r de la f o n c t i o n d ' a u t o c o v a r i a n c e d u t e r m e a l é a t o i r e u soit:

*U CX) = ~ e " i T > Ku ^ -

u 2 ft ? = -* * u

(9)

A f i n d e f a c i l i t e r l ' e x p o s é d e s d é m o n s t r a t i o n s q u i v o n t s u i v r e d o n n o n s q u e l q u e s r é s u l t a t s s u p p l é m e n t a i r e s .

■*0n m o n t r e f a c i l e m e n t que:

f x 0 O e i ( k ’k,)* = f Q O

x V * - V

(1.3) , k

f x y (A) e 1 ^ ’^ f Q O .

* S i IU (X) d é s i g n e le p é r i o d o g r a m m e du p r o c e s s u s ^ u t , t = 1 ,. .. ^ ,

alor s: T

I u (>.) " i 27 e- i ut I 2

u T lt-1 r lrl

- Iy ( W ♦ Z T ¿ a a I a )

y -i i t = - r J J A

(1.4)

j = - r 1 j ' - r , r 2

- 2 2 1 a. I (A) e 1^ . j = - r v J

P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il s u f f i t de r e m p l a c e r u t p a r (y. - 2 ^ a- x . _ . ) d a n s la d é f i n i t i o n de IU ( A ) •

j = - r 1 3 ~J

A l ' e x c e p t i o n de l ' h y p o t h è s e d ' u n e d i s t r i b u t i o n n o r m a l e p o u r le t e r m e a l é a t o i r e , les h y p o t h è s e s n é c e s s a i r e s à l ' a p p l i c a t i o n d e la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e ne c o n c e r n e n t q u e le s p r o p r i é t é s s p e c t r a l e s de s v a r i a b l e s r e t e n ù e s d a n s le m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s .

12 - E s t i m a t i o n d u v e c t e u r A de s c o e f f i c i e n t s de r é g r e s s i o n a ^ Le v e c t e u r A d e s c o e f f i c i e n t s de r é g r e s s i o n r e c h e r c h é e s t c e l u i q ui m a x i m i s e la f o n c t i o n

*\f

d e v r a i s e m b l a n c e (1), o u b i e n c e l u i q u i m a x i m i s e le l o g a r i t h m e de c e t t e f o n c t i o n de v r a i s e m b l a n c e d o n t

l ' e x p r e s s i o n est:

(1.5) Log If = K - - U' -A " 1 U

(1) c ' e s t - à - d i r e la d e n s i t é de p r o b a b i l i t é d e s e r r e u r s .

(10)

a v e c :

K = - - L o g 2TT - 1 L og |

SI „ l

.

2 2 . u

La m a t r i c e ü u e st u n e m a t r i c e i n c o n n u e . Le b u t e s t a l o r s de t r a n s f o r m e r le m o d è l e d é f i n i p a r l ' é q u a t i o n (1.2) e n u n m o d è l e d o n t les e r r e u r s o nt des p r o p r i é t é s c o n n u e s , o u d u m o i n s q u e l ’on p e u t facilemer*. d é t e r m i n e r .

C o n s i d é r o n s u n e m a t r i c e W c a r r é e et a y a n t p o u r é l é m e n t g é n é r a l :

« r s ^ ° iS&r

C e t t e m a t r i c e est d o n c un e m a t r i c e à é l é m e n t s c o m p l e x e s q u i e s t n o r m a l e et u n i t a i r e (1).

P r é - m u l t i p l i o n s le m o d è l e d é f i n i p a r l ' é q u a t i o n (1.2) p a r la m a t r i c e W :

W Y = W X A + W U s oit :

A / A /

(1.6) Y = X A + U .

Le v e c t e u r U des e r r e u r s t r a n s f o r m é e s p o s s è d e les p r o p r i é t é s s u i v a n t e s li(ÏÏ) = li(WU) « W E (U) = 0

L(ÎIU') = W li(UU') W' = W Jlu W' = -^-v .

Si d s j. r e p r é s e n t e l ' é l é m e n t g é n é r a l de la m a t r i c e e n u t i l i s a n t les r è g l e s de c a l c u l m a t r i c i e l , il v ie n t:

1 ^{J-- J .} i a v h *k>

d , = l r 2Z K (l-h) e k .

SK T 1=1 h-1 u

L o r s q u e T d e v i e n t i n f i n i , on m o n t r e que:

l i m i t e d

2 TT fu .(frs ) s = k

T —>+ ao sk

V.

A i n s i , a s y m p t o t i q u e m e n t , la m a t r i c e SLy des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s d u

/V U

v e c t e u r U e s t é g a l e à u n e m a t r i c e d i a g o n a l e : ( 1 ) c”' e s t - ù - d i r e t e l l e que: W' W = W W'

W' W = I.

(11)

(1.7) _/l y - 2 TT d i a g £ f^ ( ^ ) , . . . , (^g) » ♦ • • > f ^ (&p) J •

L es é l é m e n t s de c e t t e m a t r i c e d i a g o n a l e p e u v e n t ê t r e f a c i l e m e n t é v a l u é s . E n c o n s i d é r a n t le m o d è l e d é f i n i p a r l ' é q u a t i o n (1.1) c o m m e le r é s u l t a t de l ' a p p l i c a t i o n d ' u n f i l t r e l i n é a i r e à la s é r i e i n p u t

^ x t ^ , il v i e n t :

fu C*s> - W l 1 - ï y x M

où Y (&■ ) r e p r é s e n t e la c o h é r e n c e (1) e n t r e les c o m p o s a n t e s de

Y * ^ r 1

f r é q u e n c e o ( £ s = 2lTs/T) d e s p r o c e s s u s f y t > t = 1 , . . . j et S , t = 1,... ^ .

P a r s u i t e , il e s t p o s s i b l e d ' e s t i m e r le s p e c t r e d u t e r m e a l é a t o i r e u sa n s c o n n a î t r e la s t r u c t u r e de ce t e r m e a l é a t o i r e , c'est- à - d i r e s a n s c o n n a î t r e la f o n c t i o n d ' a u t o c o v a r i a n c e d u p r o c e s s u s

^ u t , t —1,... ^ .

E x p r i m o n s m a i n t e n a n t le l o g a r i t h m e de la f o n c t i o n de v r a i s e m b l a n c e en f o n c t i o n de la m a t r i c e et ce a f i n d ' o b t e n i r u n e e x p r e s s i o n c o n t e n a n t les c o e f f i c i e n t s de r é g r e s s i o n a j .

P u i s q u e :

= W J I W'

U u

il v ie n t :

XI = w f il ^ W f

u u

et :

(1.8) i l “1 = W ' i l % W .

D an s l ' e x p r e s s i o n (1.5), r e m p l a ç o n s il 1 p a r s o n e x p r e s s i o n e n f o n c -

~ 1 ^

t i o n de ilU

Log if = K - - (WU) ' il (WU)

2 U

et e f f e c t u o n s ce p r o d u i t m a t r i c i e l :

(1)

La c o h é r e n c e e s t d é f i n i e par:

Y (& ) = —^ — —

y f x ( e s>

S o n i n t e r p r é t a t i o n e s t a n a l o g u e à c e l l e du c o e f f i c i e n t de d é t e r m i n a t i o n .

(12)

_ 1 -, T T T

-i(t-t')fr ,

Lo g A f = K - --- ¿ X X e u t u t' f u (* s }

4

TT t s=1 t = 1 t' = 1 t t u s

■ K ' r n s i r» ^ ^

soit, en utilisant la relation (1.4) dans laquelle les quantités inconnues Iy (£s) , Ix (frs) et ryx^s^ ont été remP lacées Par leur estimateur re pectif fy ($s) » ^x (^s) et ^ :

T

(1.9) L o g i r - k - i - r f ' 1 ^ s ) [ f y (»s )

4

lT

S = 1

u s i_ y s

-1.2 Jl2 -i(j'-j )^s

-

2 1

aj a

y

e £x ^s^

3 = ~ r 1 J ,= - r 1 J J

J -2 ij *s ^ 1

+ 2

T . a.

e f y x ^ ] *

J = - r 1 J 1

Les conditions du premier ordre de maximisation de la fonction Log 1/ par rapport aux coefficients aj sont données par un système de (r^+r

2

+

1

) equations de la forme:

3 Log if _ 0

soit:

j

r2 -i(j»-j

) »

A

(1.10) 2 I a., e f (A) f (& )

s=1 j ,=-r1 J x s u s

^ j .A. - 1

= i i 6 fy x (*s> £u <*s> j = - r r . . . , A 2 .r, A p r è s a v o i r d ' u n e p a r t m o d i f i é l ' i n t e r v a l l e de v a r i a t i o n de s de t e l l e s o r t e q u e 6 ] -TTi+n’} , d ' a u t r e p a r t m u l t i p l i é les d e u x m e m b r e s de c h a q u e é q u a t i o n p a r 1 / 2 m (2), le s y s t è m e d ' é q u a t i o n s a d m e t p o u r r e p r é s e n t a t i o n m a t r i c i e l l e :

(1) P o u r e s t i m e r le s p e c t r e de p u i s s a n c e , o n p o n d è r e l es a u t o c o v a r i a n c e s e s t i m é e s K(r) p a r u n e f o n c t i o n k(l*) a p p e l é e f e n ê t r e ds r e t a r d s Î 8 J , ^363 et f37j . Ai ns i:

/s

1

^m ^"rf*« ^{^}

fx (&s) m H t e k(r) K x ^

où: . m d é s i g n ë m le n o m b r e d ' a u t o c o v a r i a n c e s e s t i m é e s ,

-a ô 1 ^{T - ^}

* K x (^ =T ^ F ^ x t + t x t * = 0 , 1 , . . . ,m.

C e t t e p r o c é d u r e e s t é g a l e m e n t v a l a b l e p o u r l ' e s t i m a t i o n d u s p e c t r e c r o i s é .

(2) a f i n d ' u t i l i s e r les p r o p r i é t é s d u s p e c t r e de p u i s s a n c e et d u s p e c t re c r o i s é , a i n s i q u e c e l l e s de l e u r e s t i m a t e u r r e s p e c t i f .

(13)

(1.11) P A = Q où:

. *P e s t u n e m a t r i c e c a r r é e , d ' o r d r e ( r ^ + ^ + l ) et d o n t l ' é l é m e n t g é n é r a l est: „ - K j . - j ) ®

» 11- - f

₃₃ 2 m s = - m + 1

r ., e W fu (8s>

Q* es t u n v e c t e u r de d i m e n s i o n s ( ^ + ^ + 1 , 1 ) et d o n t l ' é l é m e n t g é n é r a l est: i j &

4. - J - 2 T e f ( * ) f ’( » ) .

3 2m s = - m + 1 y x

Pa r su it e , le v e c t e u r A r e c h e r c h é est s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n (1.11), soit :

^ A _ 1 Ai (1.12) A = P 1 Q.

a y\

T o u s les é l é m e n t s de la m a t r i c e P et du v e c t e u r Q p e u v e n t e t r e f a c i l e m e n t c a l c u l é s , u n e s t i m a t e u r d u s p e c t r e de p u i s s a n c e d e s e r r e u r s é t a n t d o n n é p a r la r e l a t i o n s u i v a n t e :

W ) - V » s ) t 1 - T y x ^ s ) ] '

E n c o n s é q u e n c e , les c o e f f i c i e n t s de r é g r e s s i o n e s t i m é s â.

A J

ne d é p e n d e n t q u e de s s p e c t r e s de p u i s s a n c e e s t i m é s f Y ( £ c ) et fv (£,J

a x s y s

et d u s p e c t r e c r o i s é e s t i m é fv v (ÎL)* D an s le ca s q u i v i e n t d ' ê t r e p r é s e n t é , le v e c t e u r A d é p e n d é g a l e m e n t d u n o m b r e d e c o e f f i c i e n t s à e s t i m e r . Si les v a l e u r s de r^ et ^ n ' o n t p a s é t é c o r r e c t e m e n t c h o i sies, a l o r s la c o h é r e n c e e n t r e l e s r é s i d u s e s t i m é s et la v a r i a b l e e x p l i c a t i v e p o u r r a ê t r e a s s e z é l e v é e p o u r c e r t a i n e s f r é q u e n c e s

( t h é o r i q u e m e n t c e t t e c o h é r e n c e e s t n u l l e ) . M a i s il e x i s t e u n cas p a r t i c u l i e r t r è s i n t é r e s s a n t p o u r la c o n d u i t e d e s c a l c u l s . L o r s q u e la v a l e u r d u r a p p o r t f „(&■_) / £,.(&-) est à p e u p r è s c o n s t a n t e s u r

À 3 La w ^

tout l ' i n t e r v a l l e J-ïT,+Tr] , le v e c t e u r A es t i n d é p e n d a n t d u n o m b r e de c o e f f i c i e n t s à e s t i m e r . En e f f e t , da n s ce ca s p a r t i c u l i e r la m a t r i c e ^ e s t u n e m a t r i c e d i a g o n a l e .

A i n s i la m é t h o d e d e la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e p e r m e t d ' e s t i m e r les c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s s a n s a u c u n e i n f o r m a t i o n a p r i o r i . O n p e u t a l o r s se d e m a n d e r q u e l l e s s o n t les p r o p r i é - tés a s y m p t o t i q u e s de c e t e s t i m a t e u r A.

(14)

13 - P r o p r i é t é s a s y m p t o t i q u e s de l ' e s t i m a t e u r A

L ' é t u d e de s p r o p r i é t é s a s y m p t o t i q u e s de l ' e s t i m a t e u r A A

n é c e s s i t e u n e l é g è r e m o d i f i c a t i o n de l ' é q u a t i o n (1.12).

P a r u n p r o c é d é a n a l o g u e à c e l u i q ui a é t é u t i l i s é p o u r o b t e n i r la r e l a t i o n (1.4), on m o n t r e qi#?:

fuxtes) - ry x C£)s)

- ¿ 2

By eiJ

5

W .

J — I-!

lin s u b s t i t u a n t c e t t e relation d a n s l ' é q u a t i o n (1 .1 0) , il v i e n t , a p r è s s i m p l i f i c a t i o n :

s * r a a

(1 . 13) P [ A - A J = C

où C est u n v e c t e u r de d i m e n s i o n s ( r ^ + r 2 +1,1) et a y a n t p o u r é l é m e n t A

g é n é r a l : „

ij » „ ,

' j - f

_J 2m s =- m+ 1

fux(»s’ fu •

A /N

Les é l é m e n t s de la m a t r i c e P et d u v e c t e u r C é t a n t de s q u a n t i t é s e s t i m é e s , les t h é o r è m e s r e l a t i f s a u x t r a n s f o r m a t i o n s l i n é a i r e s n e p e u v e n t ê t r e a p p l i q u é s à l ' é q u a t i o n (1.13) p o u r t r o u v e r les p r o p r i é tés a s y m p t o t i q u e s d u v e c t e u r A. E n r e v a n c h e , le t h é o r è m e s u i v a n t (1) p e u t ê t r e u t i l i s e :

Soit x ^ , X2>..., x n ,... une s u i t e de v a r i a b l e s a l é a t o i r e s a y a n t p o u r f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n , F2^»..., S u p p o s o n s q u e l o r s q u e n d e v i e n t i n f i n i , la f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n F n t e n d e v e r s la f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n F(v).

S o i t z-, z ~ , . . . , z ,... une s u i t e de v a r i a b l e s a l é a t o i r e s l L n 7 t e l l e s q u e l o r s q u e n d e v i e n t i n f i n i la v a r i a b l e a l é a t o i r e zn c o n v e r ge en p r o b a b i l i t é v e r s la c o n s t a n t e d s u p p o s é e p o s i t i v e .

A l o r s la v a r i a b l e a l é a t o i r e y„ = x z * n n n a d m e t p o u r f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n la f o n c t i o n F ( v / d ) . L ' a p p l i c a t i o n de ce t h é o r è m e à l ' é t u d e d e s p r o p r i é t é s a s y m p t o t i q u e s d u v e c t e u r A s u p p o s e q u e la -A*

l i m i t e en p r o b a b i l i t é de la m a t r i c e P soit é g a l e à la m a t r i c e P,

/ S

et que la d i s t r i b u t i o n a s y m p t o t i q u e du v e c t e u r C s o i t c o n n u e . L ' é t a b l i s s e m e n t de c es d e u x c o n d i t i o n s fait a p p e l a u x p r o p r i é t é s a s y m p t o t i q u e s d e s e s t i m a t e u r s d u s p e c t r e de p u i s s a n c e t 3 6 ] , [38] et [2 1^{} ,} et d u s p e c t r e c r o i s é \_2l] . A f i n de ne p a s a l o u r d i r c e t e x p o s é , c e s

(1) ce t h é o r è m e e s t d o n n é d a n s l ' o u v r a g e de H . C R A M E R L ? , p . 2 5 4 3 .

(15)

A . p- l i m i t e P = P

T _> + co

. f î C /f(0,P) .

P ar c o n s é q u e n t le v e c t e u r : Î T [a - y \ = 'Jt P " 1 C

est a s y m p t o t i q u e m e n t d i s t r i b u é s e l o n un e loi n o r m a l e m u l t i v a r i é e d ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e n u l l e et de m a t r i c e d e s v a r i a n c e s - c o v a r i a n - c cs P - 1 :

(1.14) \JT [ A - A 3 ^ T ( o , p _ 1 ) .

C o n n a i s s a n t la d i s t r i b u t i o n a s y m p t o t i q u e du v e c t e u r C, o n p e u t e n s u i t e e f f e c t u e r les t e s t s de s i g n i f i c a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d e r é g r e s s i o n .

En r é s u m é , la c o m p l e x i t é de la m é t h o d e d e la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e n ' e s t q u ' a p p a r e n t e . E l l e ne n é c e s s i t e e n e f f e t q u e l ' e s t i m a t i o n de s s p e c t r e s de p u i s s a n c e et de s s p e c t r e s c r o i s é s d e s v a r i a b l e s r e t e n u e s d a n s le m o d è l e de r é g r e s s i o n . De p l u s , d a n s s o n

a r t i c l e , E . J . H A N N A N a m o n t r e que, p o u r l ' e s t i m a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s , la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e é t a i t b e a u c o u p p l u s e f f i c a c e que la m é t h o d e p r o p o s é e p a r N. L I V I A T A N [_28^ .

C e t t e m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e v a m a i n t e n a n t ê t r e a p p l i q u é e à u n e x e m p l e n o n p a s en v u e de l ' e s t i m a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s , m a i s d a n s le b u t de

t r o u v e r à p a r t i r de l ' é v o l u t i o n t e m p o r e l l e des c o e f f i c i e n t s âj e s t i m é s la f o n c t i o n à l a q u e l l e s ' a p p a r e n t e n t ces c o e f f i c i e n t s . E n d ' a u t r e s t e r m e s , il s ' a g i t de t r o u v e r u n e a p p r o x i m a t i o n à u n e s t r u c t u r e de r e t a r d s fi ni e.

(16)

2 - A p p l i c a t i o n de la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e : r e c h e r c h e d u p r o c e s s u s d ' a j u s t e m e n t d u s t o c k d e c a p i t a l à s o n n i v e a u o p t i m a l

L a t h é o r i e n é o - c l a s s i q u e de l ' i n v e s t i s s e m e n t d é v e l o p p é e p a r D . W . J O R G E N S O N [22~\ s e r t de s u p p o r t t h é o r i q u e à c e t t e é t u d e e m p i r i q u e . D a n s c e t t e t h é o r i e , l ' i n v e s t i s s e m e n t n e t (1) e s t u n e f o n c t i o n à r e t a r d s é c h e l o n n é s de la v a r i a t i o n d u n i v e a u o p t i m a l K d u s t o c k de c a p i t a l , soit:

INt t K t - K ï - i l

ou :

/ (L) 7 o l h 1 * v i

Ll *

0 ^ d é s i g n e l ' é l a s t i c i t é de la p r o d u c t i o n p a r r a p p o r t a u s t o c k de c a p i t a l , p le p r i x de la p r o d u c t i o n , Q la p r o d u c t i o n et c le c oû t d ' u s a g e d u c a p i t a l .

L ' i n v e s t i s s e m e n t b r u t e st o b t e n u en a j o u t a n t à l ' i n v e s t i s s e m e n t n e t l ' i n v e s t i s s e m e n t de r e m p l a ç e m e n t ; ce d e r n i e r e s t s u p p o s é p r o p o r t i o n n e l a u s t o c k d e c a p i t a l de la f i n de la p é r i o d e p r é c é d e n t e

(ou du d é b u t de la p é r i o d e a c t u e l l e ) . La f o n c t i o n d ' i n v e s t i s s e m e n t b r u t p r o p o s é e p a r D . W . J 0 R G E N S 0 N e s t a l o r s la s u i v a n t e :

(2.15) I( ■ ^ ( L ) - K t - l l * Y Kt-1

où Y est le t a u x de d é p r é c i a t i o n du c a p i t a l .

L ' a u t e u r a é g a l e m e n t m o n t r e que, so u s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s , la s t r u c t u r e de r e t a r d s ^ ( L ) p o u v a i t ê t r e r e m p l a c é e p a r u n e s t r u c t ur e de r e t a r d s r a t i o n n e l l e de la forme:

D U(L) _ u o u 1" un L

- ---5 ^{w = 1 .}

W(L) w + w 1L + . . . + w Lo 1 n

M a i s le m o d è l e d e D . W . J 0 R G E N S 0 N ne p e r m e t p a s d e d i s s o c i e r 1 ' e f f e t - p r i x r e l a t i f de 1 ' e f f e t - p r o d u c t i o n d a n s la d e m a n d e d e b i e n s c a p i t a u x . C ' e s t p o u r p a l l i e r ce t i n c o n v é n i e n t , et a u s s i a f i n de

( 1) sous l ' h y p o t h è s e d ' u n e f o n c t i o n de p r o d u c t i o n de C o b b - D o u g l a s à r e n d e m e n t s d ' é c h e l l e d é c r o i s s a n t s .

(17)

j u s t i f i e r le c h o i x d ' u n e f o n c t i o n de p r o d u c t i o n de C o b b - D o u g l a s , q u e R . E I S N E R et M . I . N A D I R I (j 1 } ont p r o p o s é u n e a u t r e v e r s i o n d u m o d è l e de D . W . J O R G E N S O N , soit:

U (L) U (L)

(2.16) A L o g K. = - 2 ---- A L o g (£). + - 3 A L o g Q .

x W (L) c r W(L)

A v a n t d ' e s t i m e r les c o e f f i c i e n t s de c e s d e u x m o d è l e s , p l u s i e u r s p r o b l è m e s d o i v e n t ê t r e r é s o l u s :

•»♦Quel e s t le d e g r é de c h a q u e p o l y n ô m e ?

**Le t e r m e a l é a t o i r e d o i t - i l ê t r e a j o u t é s u r la f o r m e o r i g i n a l e o u b i e n s u r la f o r m e f i n a l e d u m o d è l e ?

★ Quelle e s t la s t r u c t u r e de ce t e r m e a l é a t o i r e ?

* E x i s t e - t - i l u n c e r t a i n d é l a i a v a n t q u e l ' i n v e s t i s s e m e n t ne r é a g i s s e a u x v a r i a t i o n s de l ' u n de ses d é t e r m i n a n t s ? E n d ' a u t r e s t e r m e s les p r e m i e r s c o e f f i c i e n t s de la s é r i e d o i v e n t - i l s ê t r e n u l s ?

A n o t r e a v i s , la r é p o n s e à ces d i f f é r e n t e s q u e s t i o n s d o i t - ê t r e d o n n é e p a r l ' i n f o r m a t i o n c o n t e n u e d a n s l ' é c h a n t i l l o n . C ' e s t p o u r q u o i la m é t h o d e d e la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e a é t é e m p l o y é e . M a i s p o u r qu e c e t t e m é t h o d e s o i t v a l a b l e m e n t a p p l i q u é e , il f a u t d i s p o s e r d ' u n g r a n d n o m b r e d ' o b s e r v a t i o n s . A u s s i a v o n s - n o u s d é c i d é d e t r a v a i l l e r sur d o n n é e s s t a t i s t i q u e s t r i m e s t r i e l l e s . De p l u s , l a t h é o r i e n é o - c l a s s i q u e a ét é é l a b o r é e d a n s le c a d r e de la f i r m e . C e c a d r e

d e v a i t é g a l e m e n t ê t r e r e s p e c t é . P o u r la c o n s t i t u t i o n d e l ' é c h a n t i l l o n , la f i r m e a é t é a s s i m i l é e à la b r a n c h e , la b r a n c h e é t a n t e n t e n d u e a u sen s de la C o m p t a b i l i t é N a t i o n a l e . A n o t r e c o n n a i s s a n c e , il n ' e x i s r tai t p a s en F r a n c e de s é r i e s s t a t i s t i q u e s t r i m e s t r i e l l e s r e l a t i v e s à l ' i n v e s t i s s e m e n t ni au s t o c k de c a p i t a l p a r b r a n c h e . Il a d o n c f a l l u les c o n s t r u i r e à p a r t i r de s é r i e s a n n u e l l e s et en u t i l i s a n t les m é t h o d e s de t r i m e s t r i a l i s a t i o n des s é r i e s a n n u e l l e s é l a b o r é e s pa r la D i v i s i o n de s C o m p t e s T r i m e s t r i e l s de 1 ' I N S E E [ 3 5 ] et [ 3 ] . Les c a l c u l s o n t é t é e f f e c t u é s p o u r la p é r i o d e 1 9 6 3 - 1 9 7 7 (1) a v e c u n e r é t r o p o l a t i o n d e p u i s 1959, p o u r c h a c u n e d es d i x b r a n c h e s de la n o m é n c l a t u r e e n U de la C o m p t a b i l i t é N a t i o n a l e et e n d i s t i n g u a n t le m a t é r i e l d u b â t i m e n t et t r a v a u x p u b l i c s h o r s l o g e m e n t .

(1) L o r s q u e n o u s a v o n s o b t e n u c e r t a i n e s s é r i e s a n n u e l l e s , les r é s u l t a t s c o n c e r n a n t l ' a n n é e 1978 n ' é t a i e n t p a s e n c o r e d i s p o n i b l e s . M a i s la m i s e à j o u r de s s é r i e s t r i m e s t r i e l l e s q u i o n t é t é a i n s i c o n s t r u i t e s ne p o s e a u c u n p r o b l è m e .

(18)

A p a r t i r d e c e s s é r i e s t r i m e s t r i e l l e s , o n t é t é r e c h e r c h é e s la n a t u r e d e s s t r u c t u r e s de r e t a r d s et la s t r u c t u r e d u t e r m e a l é a t o i r e d e s d e u x m o d è l e s s u i v a n t s :

. M o d è l e de D . W . J O R G E N S O N r Pf-Qt ^ t - i ^ t - i

h = / v l ) l “ ¥ ' v r \ V 2 1 + U t

. M o d ô l e _ d e _ R . E I S N E R _ e t _ M . I . N A D I R I

A L o g K t = y ^ p (L) A L o g ( | ) t + ^*qCL)

A

Lo g

Qt + ut

•

A c e t t e fin, les c o e f f i c i e n t s d u m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s s u i v a n t :

20 20

yt = ^ a . Xl • + ZZ

a 2 . x 2

. + u (1)

j = - 2 0 J J j = - 2 0 J •'

ont été e s t i m é s p a r la m é t h o d e d e la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e .

P o u r la b r a n c h e " I n d u s t r i e s des b i e n s d ’é q u i p e m e n t p r o f e s s i o n n e l " ( b r a n c h e U 0 5 - M a t é r i e l ) les é v o l u t i o n s t e m p o r e l l e s d e s c o e f f i c i e n t s e s t i m é s â^j et â 2 j o nt été r e p r é s e n t é e s ( c f .g r a p h i q u e s 1 et 2) .

(1) Par e x e m p l e y. r e p r é s e n t e l ’i n v e s t i s s e m e n t b r u t si l ’o n c o n s i d è r e le m o d è l e de D . W . J O R G E N S O N , la v a r i a t i o n l o g a r i t h m i q u e d u s t o c k d e c a p i t a l si l ’o n c o n s i d è r e le m o d è l e d e R . E I S N E R et M . I . N A D I R I . T o u t e s les v a r i a b l e s sont d e s v a r i a b l e s c e n t r é e s .

(19)

G r a p h i q u e I : E v o l u t i o n s t e m p o r e l l e s d es c o e f f i c i e n t s â 1 . et §2^{j ■} B r a n c h e U05. .Modèle d e 3 D . W . J O R G E N S O N . M a t é r i e l .

(20)

G r a p h i q u e 2 é v o l u t i o n s t e m p o r e l l e s de s c o e f f i c i e n t s et â 2 . B r a n c h e U05. M o d è l e de R . E I S N E R et M . Ï . N A D I R I . J M a t é r i e l .

(21)

A la l e c t u r e d e c es g r a p h i q u e s (seuls les r e t a r d s p o s i tif s son t c o n s i d é r é s ) , il r é s u l t e que:

• l ' i n f l u e n c e d e la p r o d u c t i o n p e u t ê t r e d é c r i t e p a r u n e s t r u c t u r e a u t o r ë g r e s s i v e t r è s s i m p l e ,

. l ' i n f l u e n c e d u p r i x r e l a t i f , l o i n d ' ê t r e n é g l i g e a b l e , n e s e m b l e p a s s u i v r e u n e d i s t r i b u t i o n s i m p l e et c o n n u e ,

• l ' i n v e s t i s s e m e n t de r e m p l a c e m e n t a p p a r a î t d é j à c o m m e p r o p o r t i o n n e l au s t o c k de c a p i t a l d u dé b u t du t r i m e s t r e .

lin ce q u i c o n c e r n e le t e r m e a l é a t o i r e , le s p e c t r e d e s r é s i d u s é t a n t c a r a c t é r i s é p a r u n e f o r t e p u i s s a n c e s p e c t r a l e a u x b a s s e s f r é q u e n c e s ( c f . g r a p h i q u e 3), o n p e u t r e t e n i r u n p r o c e s s u s a u t o r é g r e s s i f du p r e m i e r o r d r e p o u r la s t r u c t u r e de ce t e r m e a l é a -

G r u p h i q u e 3: R e p r é s e n t a t i o n g r a p h i q u e du s p e c t r e d e s r é s i d u s . M o d è l e de D . W . J O R G E N S O N . B r a n c h e U 05 . M a t é r i e l .

(22)

C e s p r e m i e r s r é s u l t a t s o b t e n u s sur s é r i e s s t a t i s t i q u e s t r i m e s t r i e l l e s , d o n t la f i a b i l i t é n ' é t a i t p a s a u d é p a r t g a r a n t i e , s ont t r è s n e t t e m e n t en f a v e u r de la t h é o r i e n é o - c l a s s i q u e de l ' i n v e s t i s s e m e n t en F r a n c e . Les d é c i s i o n s d ' i n v e s t i s s e m e n t d e m e u r e n t t rès d é p e n d a n t e s d e s v a r i a t i o n s de la p r o d u c t i o n , m a i s l ' i n f l u e n c e d u p r i x r e l a t i f n ' e s t p a s n é g l i g e a b l e .

C O N C L U S I O N

L a m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e t e l l e q u ' e l l e a é t é d é v e l o p p é e p a r E . J . H A N N A N a p p a r a î t s u r t o u t c o m m e u n e m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d ' u n m o d è l e à r e t a r d s é c h e l o n n é s , m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n q u i n e s ' a p p u i e su r a u c u n e i n f o r m a t i o n a p r i o r i . M a i s c e t t e m é t h o d e p e u t et d o i t ê t r e u t i l i s é e à d ' a u t r e s f i n s . E n e f f e t , e l l e p e u t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n e m é t h o d e d ' a n a l y s e d e s s é r i e s t e m p o r e l l e s a u m ê m e t i t r e q u e c e l l e q u i a é t é s u g g é r é e p a r G . E . P . B O X et G . M . J E N K I N S [_5 J , c ' e s t - à - d i r e u n e m é t h o d e d o n t le b u t

c o n s i s t e à t r o u v e r le m o d è l e le m i e u x a d a p t é a u x d o n n é e s s t a t i s t i q u e s d i s p o n i b l e s . Il e s t é g a l e m e n t i m p o r t a n t de n o t e r qu e , d a n s s o n o u v r a ge " D i s t r i b u t e d La gs , P r o b l e m s o f e s t i m a t i o n a n d f o r m u l a t i o n "

P . J . D H R Y M E S a d é v e l o p p é u n e m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s d ' u n e s t r u c t u r e de r e t a r d s r a t i o n n e l l e p a r les t e c h n i q u e s d ' a n a l y s e s p e c t r a l e . C e t t e m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n a p p a r a î t a i n s i c o m m e le p r o l o n g e m e n t d e l ' i d e n t i f i c a t i o n de la f o r m e d ' u n m o d è l e p a r la m é t h o d e de la r é g r e s s i o n s p e c t r a l e .

Il r e s t e à e s p é r e r q u e d ' a u t r e s é t u d e s s o i e n t e n t r e p r i s e s d a n s ce d o m a i n e , c a r d ' u n e p a r t la c o m p l e x i t é de c e t t e m é t h o d e d ' a n a

l yse n ' e s t q u ' a p p a r e n t e , d ' a u t r e p a r t e l l e c o n s t i t u e u n g u i d e p o u r le c h o i x d u m o d è l e le p l u s a p p r o p r i é au x d o n n é e s s t a t i s t i q u e s d i s p o n i b l e s .

(23)

[l ^ A L M O N S., T h e d i s t r i b u t e d l a g b e t w e e n c a p i t a l a p p r o p r i a t i o n s a n d e x p e n d i t u r e s . E c o n o m e t r i c a , vol.33,n° 1,

J a n u a r y 1965, p p . 1 78 -196.

[ 2 ^ A L P H E N H . J . V a n , M E R K I E S A . H . Q . M . , D i s t r i b u t e d l a g s in c o n s t r u c tion: an e m p i r i c a l study. I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , v o l . 1 7 ,n°2, J u n e 1976, p p . 4 1 1 - 4 3 0 .

[3) B O U R N A Y J., L A R O Q U E G., C o m p t e s t r i m e s t r i e l s 1 9 4 9 - 1 9 5 9 . C o l l e c t i o n s de l ' I N S E E , S é r i e C,n°70, m a r s 1 9 7 9 , p p . 9 - 1 7 8 .

^ 4 ] B O U R N A Y J., L A R O Q U E G., R é f l e x i o n s sur la m é t h o d e d ' é l a b o r a t i o n d e s C o m p t e s T r i m e s t r i e l s . A n n a l e s d e l ' I N S E E , n°36,O c t o b r e - D é c e m b r e 1 9 7 9 , p p . 3-29 .

^ 5^ B O X G . E . P . , J E N K I N S G . M . , T i m e s e r i e s a n a l y s i s . F o r e c a s t i n g a n d C o n t r o l , H o l d e n Day, S a n F r a n c i s c o , R e v i s e d e d i t i o n ,

1 976.

[ ô ] C L A R K J . M . , B u s i n e s s a c c e l e r a t i o n a n d the l a w o f d e m a n d : a t e c h n i c a l f a c t o r in e c o n o m i c c y c l e s . J o u r n a l o f P o l i t i cal E c o n o m y , vol.25,n° 3, M a r c h 1 9 1 7 , p p . 2 1 7 - 2 3 5 .

[7"] C R A M E R H. , M a t h e m a t i c a l m e t h o d s o f s t a t i s t i c s . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , Piinceton, N e w J e r s e y , 1946.

[ s ] D H R Y M E S P. J ., E c o n o m e t r i c s s t a t i s t i c a l f o u n d a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s . H a r p e r a n d Row, L o n d o n , 1970.

[9] D H R Y M E S P . J . , D i s t r i b u t e d lags. P r o b l e m s o f e s t i m a t i o n a n d f o r m u l a t i o n . H o l d e n Day, S a n F r a n c i s c o , 1971.

j j o ] D O R A N H . E . , A s i m u l a t i o n s t u d y of t he s m a l l s a m p l e p r o p e r t i e s o f t he H a n n a n e s t i m a t o r o f a d i s t r i b u t e d la g m o d e l w h e n t he s i g n a l - t o - n o i s e is c o n s t a n t . I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , vol.17,n° 1, F e b r u a r y 1 9 7 6 , p p .8-25.

[1 1] E I S N E R R . , N A D I R I M . I . , I n v e s t m e n t b e h a v i o r a n d n e o - c l a s s i c a l t h e o r y . R e v i e w o f E c o n o m i c s a n d S t a t i s t i c s , iiol.50, n°3, A u g u s t 1968, p p . 3 6 9 - 3 8 2 .

£12] E N G L E R . , B a n d s p e c t r u m r e g r e s s i o n . I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , vol.15,n° 1, F e b r u a r y 1974, p p . 1-11.

[13] E N G L E R . , T e s t i n g p r i c e e q u a t i o n s fo r s t a b i l i t y a c r o s s s p e c t r a l f r e q u e n c y b a n d s . E c o n o m e t r i c a , v o l.46,n° 4, J u l y 1978, p p . 8 6 9 - 8 8 1 .

B I B L I O G R A P H I E

(24)

[14 ^ E N G L E R., G A R D N E R R., S o m e f i n i t e s a m p l e p r o p e r t i e s o f s p e c t r a l e s t i m a t e s o f a l i n e a r r e g r e s s i o n . E c o n o m e t r i c a , vol.44,n° 1, J a n u a r y 1976, p p . 1 4 9 - 1 6 5 .

[^15] F I S H E R I., N o t e o n a s h o r t - c u t m e t h o d for c a l c u l a t i n g d i s t r i b u t e d lags. B u l l e t i n de 1 ' I n s t i t u t I n t e r n a t i o n a l de S t a t i s t i q u e , v o l . 29, p a r t 3, 1937, p p . 3 2 3 - 3 2 7 . [j 6} F I S H M A N G . S . , S p e c t r a l m e t h o d s in e c o n o m e t r i c s . H a r v a r d U n i

v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , 1969.

\j73 G R A N G E R G . W . J . , H A T A N A K A H., A n a l y s e s p e c t r a l e d e s s é r i e s t e m p o r e l l e s en é c o n o m i e . D u n o d , F i n a n c e et E c o n o m i e A p p l i q u é e , v o l . 29, P a r i s , 1969.

£l 8J G R I L I C H E S Z., D i s t r i b u t e d lags: a s u r v e y . E c o n o m e t r i c a , v o l . 35, n°1, J a n u a r y 1967, p p . 16-49.

£l9J G U T H H., K U G L E R P., Z E H N D E R R , , Zu e i n i g e n n e u e n e n t w i c k l u n g e n in der Schätzung von time - l ag - Strukturen.

K y k l o s , v o l . 32, f a s c . 1 / 2 , 1979, p p . 3 6 5 - 3 7 9 .

[20] H A N N A N E . J , , T h e e s t i m a t i o n o f r e l a t i o n s h i p s i n v o l v i n g d i s t r i b u t e d lags. E c o n o m e t r i c a , v o l . 33, n°1, J a n u a r y

1965, p p . 2 0 6 - 2 2 4 .

^2lJ J E N K I N S G . M . , W A T T S D . G . , S p e c t r a l a n a l y s i s a n d its a p p l i c a t i o n s . H o l d e n Day, S a n F r a n c i s c o , 1968.

^22^ J O R G E N S O N D . W . , C a p i t a l t h e o r y a n d i n v e s t m e n t b e h a v i o r . A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , v o l . 53, n°2, M a y 1963, p p . 2 4 7 - 2 5 9 .

^23^ J O R G E N S O N D . W . , R a t i o n a l d i s t r i b u t e d lag f u n c t i o n s . E c o n o m e t r i c a , vol.32,n° 1, J a n u a r y 1966, p p . 1 3 5 - 1 4 9 .

£24} J O R G E N S O N D , W . , T h e t h e o r y o f i n v e s t m e n t b e h a v i o r , in D e t e r m i n a n t s o f i n v e s t m e n t b e h a v i o r . E d i t e d b y R . F E R B E R , U n i v e r s i t i e s N a t i o n a l B u r e a u C o n f e r e n c e , S e r i e s n°18, N e w Y o r k , 1967.

[25] J O R G E N S O N D . W . , E c o n o m e t r i c s t u d i e s o f i n v e s t m e n t b e h a v i o r : a s u r v e y . J o u r n a l of E c o n o m i c L i t e r a t u r e , v o l . 9, n°4, D e c e m b e r 1971, p p . 1 1 1 1 - 1 1 4 7 .

(26] J O R G E N S O N D . W . , H U N T E R J., N A D I R I M . I . , A c o m p a r i s o n o f a l t e r n a t i v e e c o n o m e t r i c m o d e l s of q u a r t e r l y i n v e s t m e n t b e h a v i o r . E c o n o m e t r i c a , vol.38,n° 2, M a r c h 1970, p p . 1 8 7 - 2 1 2 .

(25)

K O Y C K L.M.

L I V I A T A N N

M A L I N V A U D M A L I N V A U D

M A R T I N J . P

M U E T P . A . ,

N A S S E P h . , P A R Z E N E , ,

P A R Z E N E . ,

, D i s t r i b u t e d l a g s and i n v e s t m e n t a n a l y s i s . N o r t h H o l l a n d P u b l i s h i n g Co, A m s t e r d a m , 1954.

., C o n s i s t e n t e s t i m a t i o n of d i s t r i b u t e d l a gs . I n t e r n a t i o n a l E c o n o m i c R e v i e w , v o l . 4, n°1, J a n u a r y 1963, p p .44-52.

B., M é t h o d e s s t a t i s t i q u e s de 1 1é c o n o m ê t r i e . D u n o d , F i n a n c e et E c o n o m i e A p p l i q u é e , v o l . 16, P a r i s , 1964.

l'i. , F O U Q U E T D. , A n a l y s e s p e c t r a l e d e s d o n n é e s é c o n o m i q u e s : u n e s s a i sur l ' a c t i v i t é d a n s l ' i n d u s t r i e f r a n ç a i s e . A n n a l e s de l ' I N S E E , n°6, J a n v i e r - a v r i l 1971, p p . 4 1 - 7 5 .

., D é p e n d a n c e à c o u r t t e r m e e n t r e v a r i a b l e s é c o n o m i q u e s . J o u r n a l de la S o c i é t é S t a t i s t i q u e de P a r i s , n Q 2 , 1 975, p p . 1 34 -1 47 .

C r o i s s a n c e , p r o f i t s et i n v e s t i s s e m e n t : u n e é t u d e é c o n o m é t r i q u e . T h è s e de 3 èm e c y c l e , U n i v e r s i t é de P a r i s I, r o n é o t é , INSEE, C E P R E M A P , j u i n 1978.

L es m o d è l e s à r e t a r d s é c h e l o n n é s : f o n d e m e n t s t h é o r i q u e s , s p é c i f i c a t i o n s et m é t h o d e s d ' e s t i m a t i o n u s u e l l e s . C a h i e r s du G r o u p e de M a t h é m a t i q u e s E c o n o m i q u e s , U n i v e r s i t é de P a r i s I, C a h i e r n°2, o c t o b r e 1 979.

Z A G A M E P., F o n c t i o n d ' i n v e s t i s s e m e n t et r e t a r d s é c h e l o n n é s . A n n a l e s de l ' I N S E E , n°21, J a n v i e r - M a r s 1976, p p . 8 5 - 1 3 2 .

Le s y s t è m e d es c o m p t e s n a t i o n a u x t r i m e s t r i e l s . A n n a l e s de l ' I N S E E , n°14, S e p t e m b r e - D é c e m b r e 1973, p p . 1 1 3 - 1 6 1 . O n c o n s i s t e n t e s t i m a t e s of t he s p e c t r u m o f a s t a t i o

n a r y t i m e s e r i e s . A n n a l s of M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s , v o l . 28, n°3, S e p t e m b e r 1957, p p . 3 2 9 - 3 4 8 .

O n c h o o s i n g a n e s t i m a t e o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n of a s t a t i o n a r y t i m e s e r i e s . A n n a l s o f

M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s , v o l . 28, n°4, D e c e m b e r 1957, p p . 9 2 1 - 9 3 1 .

O n a s y m p t o t i c a l l y e f f i c i e n t c o n s i s t e n t e s t i m a t e s o f th e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f a s t a t i o n a r y t i m e s e r i e s . J o u r n a l o f th e R o y a l S t a t i s t i c a l S o c i e t y , S e r i e s B, v o l . 20, n°2, 1958, p p . 3 0 3 - 3 2 9 .

(26)

S O L O W R . M . , O n a f a m i l y o f l a g d i s t r i b u t i o n s . E c o n o m e t r i c a , vol.28,n° 2, A p r i l 1960, p p . 3 9 3 - 4 0 6 .

Z E H N D E R R . , Z u r s p e k t r a l t e c h n i s c h e n S c h ä t z u n g v o n d i s t r i b u e d l a g - m o d e l l e n . H a b i l i t a t i o n s - s c h r i f t , B a s e l , 1977*

( n o c h n i c h t v e r ö f f e n t l i c h t ) .