Etude par simulation numérique directe du rayonnement acoustique de couches de mélange isothermes et

Pour accéder à une estimation du rayonnement acoustique produit en dehors de la zone d'écoulement, plusieurs approches sont possibles. Lorsque des méthodes numériques très précises sont utilisées, le SND apporte des connaissances précieuses sur la structure de l'écoulement.

Les analogies a´eroacoustiques

L’analogie de Lighthill (1952)

Les grandeurs acoustiques sont généralement définies comme des fluctuations par rapport à la valeur d'une variable du milieu ambiant. La solution en espace libre à ce problème est exprimée en utilisant la fonction de Green associée à l'opérateur d'expansion comme .

Fig. 1.1 – D´efinition des points source et observateur.

Autres analogies a´eroacoustiques

Conclusion sur les approches th´eoriques

On peut également citer la méthode de Kirchhoff [80], qui consiste à extrapoler le champ acoustique à partir de la connaissance du champ aérodynamique sur une surface incluant l'écoulement. L'estimation du champ acoustique par ces méthodes nécessite également la connaissance du champ aérodynamique de l'écoulement.

Rayonnement acoustique des jets turbulents

Généralités sur la structure d’un jet libre
Le bruit des jets subsoniques

Loi de Lighthill en U 8
Caract´eristiques globales et spectrales de l’´emission sonore 13

Influence de la temp´erature
Conclusions sur le rayonnement acoustique des jets subsoniques

Le point de départ de l’étude du rayonnement acoustique provenant de plans libres est l’équation de Lighthill (1.4). A partir de la solution de l'analogie de Lighthill, on peut établir une loi d'évolution de l'intensité ou de la puissance acoustique rayonnée par un jet subsonique qui résulte simplement d'une analyse dimensionnelle.

Fig. 1.2 – Structure a´erodynamique d’un jet libre, d’apr`es Goldstein [50].

Calculs num´eriques en a´eroacoustique

Calcul direct du bruit rayonn´e par un ´ecoulement

La zone d'écoulement nécessite donc une résolution bien plus fine que celle du champ acoustique. 14] effectuent le calcul direct du rayonnement sonore d'un jet tridimensionnel à M = 0,9 en simulant les grandes échelles de l'écoulement.

Fig. 1.10 – Champ de dilatation Θ = div u produit par une couche de m´elange, aux diff´erentes fr´equences : (a) f 0 /4, (b) f 0 /2, (c) f 0 , (d) 3f 0 /2

Mod´elisations bas´ees sur les analogies acoustiques

Notons également l'approche de Lilley [71, 72], qui propose un modèle de calcul du bruit émis par les jets chauds à partir de l'analogie de Lighthill et une estimation des termes sources acoustiques construite sur les données de simulation directe de turbulence homogène et isotrope de Sarkar et al. . . L'estimation du bruit rayonné peut également être réalisée à partir des données d'une simulation aux grandes échelles de l'écoulement.

Fig. 1.12 – Directivit´e des niveaux de pression rayonn´es par un jet `a M = 0, 9, — calcul direct, donn´ees exp´erimentales : ( • ) Re = 3600 Stromberg et al

Conclusion sur les calculs num´eriques en a´eroacoustique

Ainsi, les prédictions du bruit des jets s’accordent très bien avec le rayonnement acoustique directement calculé lorsque des données instantanées provenant d’une simulation d’écoulement direct sont utilisées. L'utilisation de la simulation à grande échelle peut surmonter la limitation d'un nombre de Reynolds modéré pour le calcul direct du rayonnement acoustique.

Conclusions

L'épaisseur de la couche mélangée est une des caractéristiques dont l'évolution est bien documentée expérimentalement. Premièrement, la couche mélangée se dilate linéairement et le taux de son expansion est indépendant de la position considérée dans la direction d’écoulement.

Fig. 2.1 – Visualisation instantan´ee d’une couche de m´elange spatiale, d’apr`es Brown &

Le mod`ele temporel

Généralités sur l’analyse de stabilité linéaire

La couche de m´elange incompressible

Parmi ces études, citons celle de Pierrehumbert & Widnall [89], qui distingue deux catégories d'instabilités secondaires issues de la croissance de modes obliques dans l'écoulement : l'instabilité translationnelle d'une part et l'instabilité spirale d'autre part. De plus, Comte et al.[28] ont montré que la croissance des modes obliques dans le courant peut.

La couche de m´elange compressible

Des simulations tridimensionnelles de la transition dans des couches mixtes compressibles (Sandham & Reynolds [101], Fouillet [41]) confirment l'importance des prédictions issues de l'analyse linéaire, révélant une structure tridimensionnelle beaucoup plus développée à nombre de Mach élevé. Les vortex de Kelvin-Helmholtz prennent simplement une forme plus allongée dans la direction de l'écoulement, et le processus d'appariement est retardé à mesure que le nombre de Mach augmente [99, 92].

Fig. 2.8 – Effet du nombre de Mach sur le taux d’amplification des modes obliques, d’apr`es Sandham & Reynolds [98].

Conclusions

Le chapitre suivant est dédié à la présentation de l'outil numérique que nous avons développé spécifiquement pour effectuer le calcul direct de l'émission acoustique d'une couche de mélange temporel. Dans un premier temps, nous présentons le modèle mathématique (équations + conditions aux limites + conditions initiales) correspondant à la représentation de l'évolution temporelle d'une couche de mélange et de son rayonnement acoustique.

Configuration et param`etres de l’´ecoulement

Dans le cas d'un écoulement anisotherme, T2 conserve la même valeur que dans le cas isotherme. Les coefficients numériques présents dans cette relation correspondent à la description de la variation de la viscosité de l'air dans les conditions atmosphériques.

Fig. 3.1 – Configuration de l’´ecoulement.

Conditions aux limites

Conditions p´eriodiques

Dans la direction x, la longueur du domaine de calcul Lx est un multiple entier de la longueur d'onde du mode instable le plus amplifié λa, prédit par l'analyse de stabilité linéaire [100]. La longueur de la boîte dans la direction z est prise égale à la dimension du domaine dans la direction d'écoulement : Lx=Lz.

Conditions de fronti`ere ouverte

En pratique, nous choisissons la taille du domaine de calcul en fonction des longueurs d'onde des modes d'écoulement instables. Rappelons que cette longueur d'onde λ varie en fonction du nombre de Reynolds [10] et du nombre de Mach [11] de l'écoulement étudié.

Conditions initiales

Cet ensemble de conditions est complété par l'initialisation des champs de pression et de température. Dans la première méthode, le profil de température initial est dérivé du profil de vitesse moyenne en utilisant la relation de Crocco-Busemann (P r≈1) ; on obtient.

Int´egration temporelle

Discr´etisation spatiale

Pr´esentation des sch´emas compacts

Le principe de ces schémas est de relier le calcul de la dérivée en un point avec le calcul de la dérivée en des points voisins. Soit ηi = (i−1)Δη une distribution uniforme de points de grille, les valeurs de la dérivée première refi′ =f′(ηi) = df.

Fig. 3.2 – Variation du nombre d’onde modifi´e k m en fonction du nombre d’onde k, pour la d´eriv´ee premi`ere, d’apr`es Lele [59] ; valeur exacte (—), sch´ema explicite d’ordre 2 ( · · · ), sch´ema explicite d’ordre 6 (- · -), sch´ema compact d’ordre 6 (-

Discr´etisation dans les directions p´eriodiques

Discr´etisation dans la direction non-p´eriodique

Les valeurs de la dérivée seconde de la fonction f dans l'espace (x, s, z) peuvent être obtenues à l'aide de la relation. Notez que la formulation complète de la dérivée seconde de la fonction f par rapport à

Critères de stabilité numérique

Les valeurs des coefficients correspondant à l'utilisation de schémas du même ordre de grandeur que pour l'estimation de la dérivée première sont selon Lele [59]. En revanche, dans le cas d'une distribution régulière de points de grille selon y, la solution du système (3.60) donne en réalité les valeurs de la dérivée seconde par rapport à y de la fonction

Filtrage num´erique

L’utilisation du filtrage F(q) s’étant avérée suffisante pour stabiliser nos calculs, nous avons préféré l’adopter. Certains des calculs présentés plus loin dans cette thèse ont été réalisés sur la machine NEC-SX5 de l'IDRIS.

Fig. 3.4 – Fonction de transfert du filtre compact `a l’ordre six (—), et fonction de transfert it´er´ee 1000 fois (- - -).

Validations du code de calcul

Tests en stabilit´e lin´eaire

On s'intéresse d'abord à la variation des taux d'amplification avec le nombre de Reynolds du flux. La figure 3.5-b montre la phase linéaire de l'évolution temporelle de la vitesse transversale maximale observée pour des valeurs de nombre de Reynolds de 400, 1600 et 16000.

Fig. 3.5 – ´ Evolution temporelle du maximum de la fluctuation de vitesse transver- transver-sale `a M c = 0, 1 ; a) calcul num´erique `a Re = 160 (—), stabilit´e lin´eaire e 0,31t ( --) ; b) calculs num´eriques `a Re = 400 ( · · · ), Re = 1600 (- · -), R

Rayonnement acoustique d’une couche de m´elange

Conclusion sur nos m´ethodes num´eriques

Conditions initiales et param`etres de l’´ecoulement

Rayonnement acoustique d'une couche de mélange isotherme de référence composée selon la nomenclature suivante. Rayonnement acoustique provenant d'une couche de mélange isotherme à stabilité linéaire [101], la longueur d'onde du mode le plus amélioré augmente avec l'augmentation du nombre de Mach du flux ´.

Fig. 4.1 – Amplitude des fonctions propres de la vitesse transversale pour les modes fondamental λ a ( − ¥ − ) et sous-harmoniques 2λ a ( −×− ), 4λ a ( −•− ) d’une couche de m´elange `a M = 0, 2, Re = 400

En dehors de la zone d'écoulement, la vitesse acoustique n'est pas inférieure à la composante de vitesse transversale whi. Nous abordons maintenant l'investigation acoustique de la couche de mélange elle-même en examinant l'évolution temporelle de l'intensité représentée sur la figure 4.10.

Fig. 4.2 – Champs de vorticit´e d’une couche m´elange isotherme `a M = 0, 2, Re = 400, (valeurs des iso-contours : min

Influence du nombre de Mach

En revanche, les processus d'accouplement sont ralentis par l'augmentation du nombre de Mach du flux. En général, les niveaux sonores augmentent à mesure que le nombre de Mach augmente.

Tab. 4.2 – Param`etres des simulations de couches de m´elange `a Re = 400 aux diff´erents nombres de Mach.

Influence du nombre de Reynolds

A noter que la forme de l'évolution temporelle de l'intensité acoustique de la couche de mélange à M = 0,04 est très proche de celle de la couche de mélange à M = 0,2. Il est généralement admis que le développement des instabilités devient indépendant du nombre de Reynolds du courant à partir d'une valeur d'environ 200 (Lesieur, [63]).

Fig. 4.12 – ´ Evolution temporelle de l’intensit´e acoustique ´emise par une couche de m´elange

Influence des effets tridimensionnels

Nous avons donc voulu évaluer l’impact de l’ajout d’un champ de perturbation aléatoire sur l’évolution temporelle et l’émission acoustique de la couche de mélange. L'évolution de l'isosurface d'enstrophie à différents moments typiques de l'évolution temporelle de la couche de mélange dans cette simulation est représentée sur la Figure 4.19.

Fig. 4.15 – Iso-surface de l’enstrophie (Ω = 0, 3Ω i ) d’une couche de m´elange `a M = 0, 8 (simulation 3DI0.8 0).

Pr´edictions acoustiques bas´ees sur l’analogie de Lighthill

Analogie de Lighthill pour un ´ecoulement temporel
Utilisation des donn´ees issues des simulations bidimensionnelles
Utilisation des donn´ees issues des simulations tridimensionnelles
Interpr´etations des r´esultats
Loi dimensionnelle d’´evolution de l’intensit´e acoustique

La contribution du terme (2) devient plus importante dans la deuxième partie de l'évolution temporelle et augmente significativement dans le cas de la couche mixte à M = 0,8. L'utilisation de l'échelle logarithmique transforme l'évolution de la loi dimensionnelle en une droite de pente 6.

Fig. 4.22 – Comparaison de l’´evolution temporelle de la masse volumique acoustique obtenue par calcul direct ( - · - ) et de son estimation par l’analogie de Lighthill ( — ), terme 1 ( - - - ), terme 2 ( · · · ), dans une couche de m´elange `a diff´erents

Conclusions

Conditions initiales et param`etres de l’´ecoulement
Etude de la couche de m´elange `a ´ M = 0, 2
Influence du nombre de Mach
Effets tridimensionnels sur les couches de m´elange anisothermes
Conclusions sur le calcul direct

A M = 0,4, l'émission acoustique de la couche mixte anisotherme domine toujours celle de la couche mixte isotherme. La figure 5.8-a compare les évolutions de l'intensité acoustique observées dans les simulations tridimensionnelles et bidimensionnelles de la couche de mélange anisothermique à M = 0,8.

Fig. 5.1 – Iso-contours de la vorticit´e des couches de m´elange isotherme 2DI0.2 (a-e : min.

Pr´edictions acoustiques bas´ees sur l’analogie de Lighthill

Utilisation des donn´ees issues des simulations bidimensionnelles

Dans le cas de la couche mélangée à M = 0,2, pour laquelle le terme (2) joue le rôle le plus important, nous avons également distingué les contributions des variations de pression (terme (21) ) et de densité (terme (22) ) au sein du terme deuxième source. La présentation de ces deux contributions à l'émission sonore de la couche mixte à M = 0,2 est donnée sur la figure 5.11, dans les cas isotherme et anisotherme.

Utilisation des donn´ees issues des simulations tridimensionnelles

Interpr´etations des r´esultats

Conclusions

L'originalité de l'approche que nous avons développée dans ce travail réside dans le fait qu'elle permet d'accéder directement à l'émission acoustique associée à ee à chaque phase de transition d'une couche mélangée. Il est donc possible d'évaluer l'impact de l'utilisation dans les modèles de prédiction de données d'une simulation à densité constante/variable sur l'émission sonore des couches de mélange isotherme/anisothermique.

Solution de l’´equation d’onde

La valeur de la 2ème intégrale est nulle à la limite inférieure du domaine, à y′ = −Ly/2. A la limite du domaine, à y=Ly/2, on peut raisonnablement supposer que la dérivée.

Mise en œuvre num´erique

Implémentation numérique du temps de propagation entre la position d'émission dans la zone source et la position d'observation. Pour la position d'observation yob, à chaque instant d'observation considéré tobs, il faut alors rechercher parmi les expressions sources stockées lors du calcul de q(y, t) toutes celles entendues à at=tobs, à positionyobs.