opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Σήματα και Συστήματα | Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου – Περιοδικά σήματα

Σήματα

Ανάλυσ συνεχο

Κωνσταντί Τμήμα Πλη

α‐Συστή

ση  Fou ούς χρόν

ίνος Κοτρόπ ηροφορικής

Θεσσαλ

ήματα

urier  γ νου– Πε

πουλος  ς 

λονίκη, Ιούν

για  σή εριοδικά

νιος 2013 

ήματα  ά Σήματ

και  σ α ( Σειρά

 

συστήμα ά Fourie

ατα 

er) 

Άδ

Το  π εκπ άδε

Χρ

Το  έργο Αρισ ανα

Το  έ και  (Ευρ

 

δειες Χρή

παρόν  εκπα αιδευτικό υ εια χρήσης α

ηματοδό

παρόν  εκπ ου  του  δ στοτέλειο  αδιαμόρφωσ

έργο  υλοπο Δια  Βίου  ρωπαϊκό Κο

ήσης 

αιδευτικό  υ υλικό, όπως αναφέρετα

ότηση 

παιδευτικό  διδάσκοντα

Πανεπιστ ση του εκπα

οιείται  στο  Μάθηση»

οινωνικό Τα

Θεσσαλ υλικό  υπόκ ς εικόνες, π

ι ρητώς.  

υλικό  έχει α.  Το  έργ ήμιο  Θεσσ αιδευτικού 

πλαίσιο  το

»  και  συγχ αμείο) και α

λονίκη, Ιούν ειται  σε  άδ που υπόκειτ

ι  αναπτυχθ γο  «Ανοικ

σαλονίκης»

υλικού.  

ου  Επιχειρη χρηματοδοτ από εθνικού

 

νιος 2013  δειες  χρήση ται σε άλλο

  

θεί  στα  πλ κτά  Ακαδη

»  έχει  χρ

σιακού  Προ τείται  από ύς πόρους.

ης  Creative  ου τύπου άδ

λαίσια  του  ημαϊκά  Μ ρηματοδοτή

 

ογράμματο ό  την  Ευρω

Commons.

δειας χρήση

εκπαιδευτ αθήματα  ήσει  μόνο 

ος  «Εκπαίδε ωπαϊκή  Έν

.  Για  ης, η 

ικού  στο  τη 

ευση  ωση 

 

Fourier

!" "! #$ $ $ $ %

# !#$

δ ( t − τ )

^{& #$ !& $ "}

! ! & ! !# '&

& !# !( !

! !!#$ $

!#!!!#

# ) #$ !&

" ! !

! "%

! !# !#

* ! ! #( # "# !( ! ($#

!# $ $ $ $ "!#

! ! %

+ &! # $ $ !" "!

!#$ "$$ &! $ !( (%

# +# !# (

# ( # #$ "$ $ #

!! "$ $ ) " # ( + (%

./ # ( 0 !&

Fourier,

% # ( 0

Fourier

^{! ( (}

+

& "# !( & !#%

# ! $ !! "$ $

!! $ ! $ ( ! "

# ! "( $ %

" # !# #

! !# . #! # $ +%

( $ ( $ "$$

!(

1 !# ( " #

+# $ + ! !

!# 2 &! 3

, ) ( !#

(eigenfunctions)

^{$ !$}

4 # ! ! ! ! ( ( %

# ! ! # .

/ ! $

- 2&! !#

M

^{!$ #$ # + (%}

! ! "! ! #

x ( t )

^{" !}

t ∈ [0 , T ]

'# !#(!!

" # # 55(# " /

7 ( ! # ! &#

+

, 8 "( !! ! "#& %

$

- * !# # #

2 &! ( "# - ./$

x ( t ) = est

s ∈ C

^{* ! $ (}

!#

x ( t ) = est

y ( t ) =

_+∞

−∞ h ( τ ) x ( t−τ ) dτ = _+∞

−∞ h ( τ ) es ( t − τ ) dτ = est

+∞

−∞ h ( τ ) e − sτ dτ

H(s)

= H ( s ) est.

9,

:(

est

^!!##3

H ( s ) =

_+∞

−∞ h ( τ ) e − sτ dτ

^9-

(eigenvalue)

^{! "; !}

est

^*

!#

est

^{" "# 9, !(}

est H ( s ) est

"# 9,3 !# (

#!

x ( t ) = a 1 es ¹ t + a 2 es ² t + a 3 es ³ t.

⁹⁶

+! &$ 9, ( ! ! ( 96 !

&# 3

a 1 es ¹ t −→ a 1 H ( s 1 ) es ¹ t a 2 es ² t −→ a 2 H ( s 2 ) es ² t

99

a 3 es ³ t −→ a 3 H ( s 3 ) es ³ t.

4+; "#!(# ! !#

x ( t )

^{! 96}

y ( t ) =

3 k=1

a k H ( s k ) es ^k t.

^9<

'# $;!

H ( s k )

^!!

( !

+ ( #! !(#3

$ !

Fourier

^{( +%}

(

/ !

Fourier

^{% # "}

Fourier)

! ! "

Fourier

^"

Laplace.

/+&# ( "# ! # $ !!

# + ( !" !

(! = " $ ($

+#+$"!"!>!$!

! ! "!

L. Euler

^{,?9@ " $ (}

"# * !# ( &$

! ! & "#$ $( !(

! *!

L. Euler

D. Bernoulli,

^"!

+! # "# ( + $ (

,?<6 ./& " ,?<A # !

Euler,

^{!$ !}

J. L. Lagrange,

^{! 0 $ $ #}

Lagrange

+ # !" "

$ ( !( $ ( $ !$

!"!(!#$$#

8 "( ! +( $

J. B. Fourier

^{&" ! #}

( & ($ ! % $

$ ! !! " * !

Fourier

^{! + "#}

($ !#( ! + ,@B? ! $ #

# !

Lagrange

^{(# # !}

Lacroix, Monge

Laplace,

^{,< " * #( $ !# ($}

($ " 0 !#$

P. L. Dirichlet

,@-A 7 $ ( &( !(#

Dirichlet

^{+! #}

! $ & ! ,ACB 55!0

! #! "

Fourier

^!

Cooley

Tuckey

^{;$ $}

+ !

Fourier,

^{# ! +}

!$$!+" $

! + & 7 (

!0 $

Cooley-Tuckey

^{# # 4}

Gauss

^!

Lanczos

^{" !# !}

Fourier

^{$ !$}

!

Cooley

Tuckey.

! " #

Fou- rier

./ # "

∃T = 0 : x ( t + T ) = x ( t ) , ∀t.

^9C

# !# +

(

x ( t ) = cos ω 0 t

^#

x ( t ) = sin ω 0 t x ( t ) = ejω ⁰ t

9?

!

ω 0

^{( !# !"}

rad/sec

T 0 = 2 π

ω 0

(

sec.

^{7 ;! #}

φ k ( t ) = ejk ω ⁰ t, k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

^9@

$ $ ( !"

ω 0

^{) !}

( #! + #

x ( t )

T 0

^{$ !!}

x ( t ) =

+∞

k=−∞

a k ej kω ⁰ t.

^9A

1

• k = 0

^{"! ( #}

dc

• k = ± 1

^{! ! ! "!}

T 0

• k = ± 2

^{3 "! ! ! !" #}

• k = ±N

^!

N

* 9A ; ! #

x ( t )

Fourier.

#! (! !!

a k

^9A

1 1 9, #

( (

./$

x ( t ) =

3 k=−3

a k ejk 2 π t

9,B

a 0 = 1

a 1 = a −1 = ¹ ₄

a 2 = a −2 = ¹ ₂

a 3 = a −3 = ¹ ₃ .

^{) ( 9,B}

!

x ( t ) = 1 + 1

4 ( ej 2 πt + e −j 2 πt ) + 1

2 ( ej 4 πt + e −j 4 πt ) + 1

3 ( ej 6 πt + e −j 6 πt )

= 1 + 1

2 cos 2 πt + cos 4 πt + 2

3 cos 6 πt.

^9,,

) "#9- %; "!!(#

x ( t )

!

2 $! 9A ! $ %

# ! ! " ! #

( " .4$ !# D(!

"

(vector space).

t x 0 (t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 1 (t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 0 (t )+ x 1 ( t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 2 ( t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 0 ( t )+ x 1 ( t )+ x 2 ( t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 3 ( t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

t x 0 ( t )+ x 1 ( t )+ x 2 ( t )+ x 3 ( t )

%, %B@ %BC %B9 %B- B B- B9 BC B@ ,

%,

%B<

B B<

, ,<

- -<

6 6<

;

"# 9-3 4 (

x 0 ( t ) = 1 .

^{* #}

x 1 ( t ) = ¹ ₂ cos 2 πt

E(( ! #

x 0 ( t ) + x 1 ( t )

^{* #}

x 2 ( t ) = cos 4 πt

^{E( ( ! #}

x 0 ( t ) + x 1 ( t ) + x 2 ( t )

* #

x 3 ( t ) = ² ₃ cos 6 πt

^{; E(( ! $ $}

x 0 ( t ) + x 1 ( t ) + x 2 ( t ) + x 3 ( t )

) ! ! ! "! !

!

(scalar field).

^{./ ($}

K

^{( !}

$ ( # (

$# "$

K

^#

K

^{) (}

$ ./$

x, y, z ∈ K

^{) (}

" ! &# 3

•

^(#

(commutative)

x + y = y + x x · y = y · x

^9,-

•

^#

(associative)

( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( x · y ) · z = x · ( y · z )

^9,6

•

^&!!"!

(null element)

^!!;

0 ∈ K

⁽

1 ∈ K

x + 0 = x x · 1 = x.

^9,9

•

^{=" #}

(distributive)

^{! $}

(

x · ( y + z ) = ( x · y ) + ( x · z ) .

^9,<

•

^{/ "!}

K

^{"! + ! #}

K

^$

( ! !#($ " !

K

! B "! # $

) $(

R

⁺⁽

. ! ; (

$ (

C

^{$ (}

Q

^{2 "#!}

R

C

^{! $ !$}

./ ! " $ / $

"

S

^{$ (}

R

^{# $ (}

C

"$

x

y

z ∈ S

^{! ;3}

•

^{( !$ ! !}

•

^#(&

! !

'#

S

^{$ !# (}

# ( &

* !# ( #

( & "! !( 3

, (#

∀x, y ∈ S : x + y = y + x.

^9,C

- 1#

∀x, y, z ∈ S : ( x + y ) + z = x + ( y + z ) .

^9,?

6 .E&

0

∀x ∈ S : x + 0 = x.

^9,@

9 .E& (!

∀x ∈ S ∃y ∈ S : x + y = 0 .

^9,A

< ! " ! ($

1 ∈ R

^"

∀x ∈ S : 1 x = x.

^9-B

C / 3

∀x ∈ S, a, b ∈ R : a ( b x ) = ( a b ) x

^9-,

∀x ∈ S, a, b ∈ R : ( a + b ) x = ( ax ) + ( b x )

^9--

∀x, y ∈ S, a ∈ R : a ( x + y ) = ( ax ) + ( a y ) .

^9-6

)! ! "!

R ⁿ

^$!%

$# (!

n × 1

x = x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ^T

^9-9

!

x i ∈ R

i = 1 , 2 , . . . , n

^T

^{#+# /+"}

; ! "$

C

8 " ! ! "!

•

^!"!#

x ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

•

^!"!#

φ ( s )

s = a + jb ∈ C

s ∈ C ⊆ C

% &"

./

M ⊆ S

^{! "!}

S

^"$

#! !" !

S

^$&$

M

⁽

M

^{! " =# !(#}

M ⊆ S

^!%

" !

S

0 ∈ M

^{* # !"$ !"}

!" !! /!! ! "!

R ³

^&#3

.

R ³

. # "#$ &$

0 = (0 , 0 , 0) ^T

. # !( "#

. "#

./ !$

x i ∈ S

i = 1 , 2 , . . . , n

^!%

( +#

a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n

^!

a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R

^9-<

)

x i ∈ S

i = 1 , 2 , . . . , n

^{" ' !"!}

a 1

a 2

. . .

a n ∈ R

^"

a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = 0 .

^9-C

)

x i ∈ S

i = 1 , 2 , . . . , n

^{"'9-C (}

a 1 = a 2 = . . . = a n = 0

./$

X = {x 1 , x 2 , . . . , x n }

^!

(span)

^!

X

^$

!!! $ !$ #

span( X ) = {y : y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n , a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R}.

^9-?

./ !! !$ "( "

" ! " #

span( X )

^{!" !}

S

^{$;! 9A !! !"}

!#

x ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^{! ! " !"}

!# ( ! !;##

!"$

( ! "

./$

S

^{! " $ !" !#$ & #}

t

# $

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^$

R

^{.4 # ! ( "(}

!" ( #! ! ! " 4;! !( ($

!# ! "!3

, )

< x ( t ) , y ( t ) >

^{3 / ! $}

x ( t )

y ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^{! ($##}

< x ( t ) , y ( t ) > = _{t 2}

t 1

x ( t ) y ( t ) dt.

^9-@

1+ ;! #

x ( t )

y ( t )

^#

/! " =" ! !(

! $ !3

F

< x ( t ) , y ( t ) > = < y ( t ) , x ( t ) >

F

< c x ( t ) , y ( t ) > = c < y ( t ) , x ( t ) >

c ∈ R

F

< x ( t ) + y ( t ) , z ( t ) > = < x ( t ) , z ( t ) > + < y ( t ) , z ( t ) >

F

< x ( t ) , x ( t ) > ≥ 0

^{! "}

x ( t ) = 0

∀t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^{) $}

# ! ! ! #

- *

|x ( t ) |

^{3 / $# ; #}

|x ( t ) | =

< x ( t ) , x ( t ) > =

_{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt

^9-A

" ! &#

F

|x ( t ) | ≥ 0

^"

x ( t )

^!

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

F

|a x ( t ) | = |a| |x ( t ) |

∀a ∈ R

F

|x ( t ) + y ( t ) | ≤ |x ( t ) | + |y ( t ) |

^$#

6 * !

d ( x ( t ) , y ( t ))

^{3 / ! $ !}

($##

d ( x ( t ) , y ( t )) = |x ( t ) − y ( t ) | =

_{t 2}

t 1

( x ( t ) − y ( t )) ² dt.

^96B

1+ +! !# =" ! !(3

F

d ( x ( t ) , y ( t )) ≥ 0

^{! "}

x ( t ) = y ( t )

F

d ( x ( t ) , y ( t )) = d ( y ( t ) , x ( t ))

^!#

F

d ( x ( t ) , y ( t )) ≤ d ( x ( t ) , z ( t )) + d ( z ( t ) , y ( t ))

^$#

!" $ !#$ ! $ !

" $ &#3

< x ( s ) , y ( s ) > = _{s 2}

s 1

x ( s ) y ^∗ ( s ) ds

^96,

!

∗

# # !;!

+ ! "

.4$$ &#$!$!!!%

"

S

S

^{'# # " !}

S

^%

( $ !! $ !$ ! !

+&# G( ! "(

# 4($!$;

(dimension)

!! "!

./" !$ !!"$!"

$

x ( t )

^$

R

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^{! ! $}

∠ ( x ( t ) , y ( t )) = < x ( t ) , y ( t ) >

|x ( t ) | |y ( t ) | |x ( t ) | = 0 , |y ( t ) | = 0 .

^96-

/$ # "

< x ( t ) , y ( t ) > = 0 .

⁹⁶⁶

%

x 1

x 2

. . .

x n

⁽

& ! !#

n

^!#$

ϕ 1 ( t )

ϕ 2 ( t )

. . .

ϕ n ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^!

( "! #

< ϕ i ( t ) , ϕ j ( t ) > = δ ij

=

⎧ ⎨

⎩

1 i = j 0 i = j

969

!

δ ij

Kronecker,

^{! *}

! $ %

( 8 "( ($

!( $

Gram-Schmidt.

^{/$ !# !}

!# '

4 !!#!

$( &! !"! (# !&

Fourier.

^{! !#(+ %}

#$ !!# !#$!

!#$!" #!#%

+ + ( !

! (# /

Fourier

³

•

Legendre

^{! " !!}

Legendre

^{$ !#}

•

Laguerre

^{! " ! !!$ !#}

•

Walsh

^{! " ! !#$ !#}

!"((!#($#

# $ (

Fourier

^{$ !}

a k

9A

./$

x ( t ) =

+∞

n=−∞

a n ϕ n ( t )

^96<

!#

{ϕ n ( t ) }

^{! (# ! " $}

$

x ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^2!

x ˆ ( t )

x ( t )

^"

#( $

M < ∞

^96<

x ˆ ( t ) =

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t ) .

^96C

!(

M

^{" "( 1 ! 96C 96< H}

( ! ./

( # & $

x ( t )

x ˆ ( t ) I = d ( x ( t ) , x ˆ ( t )) =

_{t 2}

t 1

[ x ( t ) −

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t )] ² dt.

^96?

4

ˆ a n

n = −M, . . . , M

^"

I

^#

a ˆ n : ∂I ²

∂ ˆ a n

= 0 n = −M, . . . , M.

^96@

./"!

I ² = _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt − 2

M n=−M

ˆ a n

_{t 2}

t 1

x ( t ) ϕ n ( t ) dt +

M n=−M

M m=−M

a ˆ n ˆ a m

_{t 2}

t 1

ϕ n ( t ) ϕ m ( t ) dt

= _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt − 2

M n=−M

ˆ a n

_{t 2}

t 1

x ( t ) ϕ n ( t ) dt +

M n=−M

M m=−M

a ˆ n ˆ a m δ nm

= _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt − 2

M n=−M

ˆ a n < x ( t ) , ϕ n ( t ) > +

M n=−M

ˆ a ² _n .

^96A

4

∂I ²

∂ ˆ a n

ˆ a n,opt

= 0 ⇔ − 2 < x ( t ) , ϕ n ( t ) > +2ˆ a n,opt = 0 ⇔

ˆ a n,opt = < x ( t ) , ϕ n ( t ) > n = −M, . . . , M.

^99B

) +

I _min ² = _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt − ^M

n=−M

ˆ a ² _n,opt .

^99,

/# !#

{ϕ _n ( t ) }

^{! (#}

x ( t )

^%

( $ !! $!#$

ˆ a n,opt = < x ( t ) , ϕ n ( t ) > = <

+∞

m=−∞

a m ϕ m ( t ) , ϕ n ( t ) > =

+∞

m=−∞

a m < ϕ m ( t ) , ϕ n ( t ) > = a n ∀n

99-

! "#

+∞

m=−∞

a m δ mn = a n ∀n.

⁹⁹⁶

* 99- ; $!

)# $ ! ($#3 ./$

S

^{! " $ $}

x ( t )

t ∈ [ t 1 , t 2 ]

^$

R

{ϕ _n ( t ) }

^(#!

S

x ( t )

$ &#

x ( t ) =

N n=−N

a n ϕ n ( t )

⁹⁹⁹

!

N

^{!#($ (! !}

x ( t )

^{$ !!}

#(

(2 M + 1)

^{!#$(# $}

+

I ²

^{" )}

•

^!

ˆ a n = a n = < x ( t ) , ϕ n ( t ) > n = −M, . . . , M

^99<

•

x ˆ ( t ) =

M n=−M

a n ϕ n ( t )

^99C

•

^$+

I ² = _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt −

M n=−M

a ² _n .

^99?

4 99? $

_{t 2}

t 1

x ˆ ² ( t ) dt =

M n=−M

M m=−M

a n a m

_{t 2}

t 1

ϕ n ( t ) ϕ m ( t ) dt

=

M n=−M

M m=−M

a n a m δ nm =

M n=−M

a ² _n .

^99@

1#

, *

Bessel:

^{/# $ + %}

"!

I ² ≥ 0 ⇒ _{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt ≥

M n=−M

a ² _n .

^99A

- ,

Parseval:

M = N = ∞

^!#

W =

_{t 2}

t 1

x ² ( t ) dt =

+∞

n=−∞

a ² _n .

^9<B

6 4 !#

M→∞ lim η M = lim

M→∞ (1 − 1 W

M n=−M

a ² _n ) = 0 , ∀x ( t ) .

^9<,

!#($ # !&

M

⁽

!

(Wiener-Kolmogorov)

!

ˆ a n

^{( " +}

I = _{t 2}

t 1

( x ( t ) −

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t )) ² dt ¹ ₂

9<-

# !

x ( t )

^{# !}

x ˆ ( t )

^"

#

e ( t ) = x ( t ) −

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t )

^9<6

( !#

ϕ n ( t )

^{=" +3 #}

+ (

ϕ n ( t )

^!

x ( t )

x ˆ ( t )

"

& !(3

∂

∂ ˆ a m I ² = 0 ⇒ ∂

∂ a ˆ m t 2

t 1

( x ( t ) − ^M

n=−M

ˆ a n ϕ n ( t )) ² dt

= 0

⇒ _{t 2}

t 1

[ x ( t ) −

M n=−M

a ˆ n ϕ n ( t )] ϕ m ( t ) dt = 0 m = −M, . . . , M

⇒ < x ( t ) −

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t ) , ϕ m ( t ) > = 0 m = −M, . . . , M.

^9<9

& "# !#

{ϕ _n ( t ) } ^M _n=−M

^{! (#}

. ( ($# "# " # "

"

./$ ! " $ $

S

^{(! ! #}

#

x ( t ) ∈ S

x ( t ) =

M n=−M

ˆ a n ϕ n ( t ) .

^9<<

!#

ϕ n ( t )

•

^{! # # %# (# ( !# !;}

" 99< ! & ! !

!!

•

^{! (# ( ! !(}

&$ 9<9 ! ( !#

& ! !

$

Fourier

# $

Fourier

./$ !#

φ ˆ k ( t ) = cos kω 0 t, z ˆ k ( t ) = ejkω ⁰ t k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ,

^9<C

!

ω 0 = 2 π

T = 2 πf 0

^{/! $}

[ t 1 , t 2 ]

^{! !}

"! !

T

k = n

< φ ˆ k ( t ) , φ ˆ n ( t ) > =

_T/2

−T/2

cos kω 0 t cos nω 0 t dt

= 1 2

_T/2

T/2

cos

( k + n ) ω 0 t

+ cos

( k − n ) ω 0 t

dt

= 1

2( k + n ) ω 0 sin

( k + n ) ω 0 t ^T/2

−T/2

+ 1

2( k − n ) ω 0 sin

( k − n ) ω 0 t ^T/2

−T/2

= 0

^9<?

k = n

< φ ˆ k ( t ) , φ ˆ k ( t ) > = _T/2

−T/2

cos ² ( kω 0 t ) dt = 1 2

_T/2

−T/2

1 + cos 2 kω 0 t

dt = T

2 .

^9<@

&$ !#

ϕ k ( t )

^$

ϕ k ( t ) =

2

T cos kω 0 t = 2

T

φ ˆ k ( t )

^9<A

!#

{ϕ k ( t ) }

^{!#(# %}

! " !# (#

ψ k ( t ) = 2

T sin kω 0 t.

^9CB

4$

< z ˆ k ( t ) , z ˆ m ( t ) > =

_T/2

−T/2 ejkω ⁰ t ( ejmω ⁰ t ) ^∗ dt = _T/2

−T/2 ej ( k − m ) ω 0 t dt

=

_T/2

−T/2

cos[( k − m ) ω 0 t ] dt + j _T/2

−T/2

sin[( k − m ) ω 0 t ] dt

=

⎧ ⎨

⎩

T k = m 0 k = m

9C,

4 !#

z k ( t ) = 1

√ T ejkω ⁰ t

9C-

!( (# + (

%& ' (

Fourier

- ( #

x ( t )

⁽

[ t 1 , t 2 ]

t 2 − t 1 = T

!#$!#$9<A 9CB 9C- #

x ( t )

T

^{" (}

t

^{* $ " !(#}

Dirichlet

^{! ( &}

!(#

Dirichlet,

^#

x ( t )

⁽

$$ +

t 1 ≤ t < t 1 + T

³

x ( t ) = a 0

2 +

∞ n=1

( a n cos nω 0 t + b n sin nω 0 t )

^{$# 9C6}

x ( t ) =

∞ n=−∞

c n ejnω ⁰ t

(# 9C9

!

a 0 = 2 T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) dt

^9C<

a n = 2 T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) cos nω 0 t dt, n = 0

^9CC

b n = 2

T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) sin nω 0 t dt

^9C?

c n = 1 T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) e −jnω 0 t dt.

^9C@

#

x ( t )

T

^{9C6 9C9 " ! (}

t

^{$ !}

x ( t + T ) = x ( t )

∀t

& (#

Fourier

•

^{/ !# (#}

z n ( t ) = 1

√ T ejnω ⁰ t.

^9CA

•

¹

x ( t )

³

x ˆ ( t ) =

M n=−M

ˆ c n z n ( t ) = 1

√ T

M n=−M

c ˆ n ejnω ⁰ t.

^9?B

•

^/#

{z _n ( t ) }

^{!# (#}

c ˆ n = < x ( t ) , z n ( t ) > = _{t 1 +T}

t 1

x ( t ) z _n ^∗ ( t ) dt = 1

√ T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) e −jnω 0 t dt.

^9?,

•

⁽

c ˆ n

x ˆ ( t )

^{! 9?B !}

x ˆ ( t ) =

M n=−M

1 T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) e −jnω ₀ t dt

c n

ejnω ⁰ t

9?-

! $; ! (#

Fourier

^{9C@ ! ";%}

!!

ˆ c n

^{! ($}

c n = 1

√ T c ˆ n ⇔ c ˆ n = √

T c n .

^9?6

•

^{8 $+3}

I ² =

_{t 1 +T}

t 1

x ² ( t ) dt

W

−

M n=−M

| c ˆ n | ² = W −

M n=−M

T |c n | ² = W (1 − T W

M n=−M

|c n | ² )

η M

.

9?9

•

^{8 +3}

η M = 1 − T W

M n=−M

|c n | ² .

^9?<

•

^{4 !# 9CA # 1}

. ./"!

η M +1 = η M − T W

|c _{−M −1} | ² + |c _{M +1} | ²

.

^9?C

. ="

η M ≤ 1

∀M

^/($

M → ∞

^{! !}

Parseval

+∞

n=−∞

T |c n | ² |ˆ c n | ²

−→ W.

^9??

/$

η M ≥ 0

∀M

^{8. !(}

{η M }

^!

( ( !

. /#

η M − η M+1 ≥ 0 ⇔ η M+1 ≤ η M

^!(

{η _M }

^&!

. . !( ! !

lim _M→∞ η M = 0

•

^{# !# " ! !}

Parseval

^!

+! !

W

^"

P = W

T

^$

&#3

W =

_{t 1 +T}

t 1

x ² ( t ) dt = T

+∞

n=−∞

|c n | ² ⇔ P = W T =

+∞

n=−∞

|c n | ² .

^9?@

$#

Fourier

^{9?@ &+}

! $

W = T a ² ₀ 4 + T

2

∞ n=1

( a ² _n + b ² _n )

^9?A

"

P

^$

P = W

T = 1 T

_{t 1 +T}

t 1

x ² ( t ) dt = a ² ₀ 4 + 1

2

∞ n=1

( a ² _n + b ² _n ) .

^9@B

1 96 &$# $ 9C< 9CC

#

Dirichlet

!!#(+!"# #

! !" &!!

Fourier

^{$ + ! ; $}

$

Fourier

^!"#

# " $# #

./ #

x ( t )

Fourier

^!

" ! !(#

Dirichlet

³

, ) #

x ( t )

^{# !}

T

- )#

x ( t )

^{" (!"!(!}

!

T

6 )#

x ( t )

^{!; ( $ !}

T

9 ) #

x ( t )

^{$ !}

T

T |x ( t ) | dt < ∞.

^9@,

" ! !(#

Dirichlet,

x ( t )

^!

Fourier

$ !

t

x ( t )

^{!" !"}

Fourier

^{! ( $ $ !}

x ( t )

^{$( !"}

#

t 0

^!"

Fourier

^!

x ( t 0 ) = [ x ( t ⁺ ₀ ) + x ( t ⁻ ₀ )]

2 .

^9@-

4 !(#

Dirichlet

^{" 55"## ! %}

& ) &! ! # ;!

!(#

Dirichlet.

^{./ !(#9; #}

T = 1

x ( t ) = 1

t 0 < t ≤ 1 .

^9@6

* !(#6 ; #

T = 1 x ( t ) = sin

2 π t

0 < t ≤ 1 .

^9@9

* !(#- ; #

T = 8

x ( t ) =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎩

1 0 ≤ t < 4

1 2 4 ≤ t < 6

1 4 6 ≤ t < 7

1 8 7 ≤ t < 7 . 5

9@<

)*

Gibbs

!"# # !" ;#

+

Gibbs.

^{/ !( #! !&}

! !" $ ! $ !(

Dirichlet,

^$

!" !$ #

9%

# # !# / #( 3

, * !$ & ( $$

Fourier.

- 8 &$$ !$!!"

) "# 96 " +

Gibbs

^{# $# %}

Fourier

#$#

M = 1 M = 3

t

x ( t ) ˆx ( t )

%- %,< %, %B< B B< , ,< -

%B- B B- B9 BC B@

,

Fourier

#$#

M = 7 M = 19

t

x ( t ) ˆx ( t )

%- %,< %, %B< B B< , ,< -

%B- B B- B9 BC B@

,

"# 963 /

Fourier

^{# $#}

#( $$

M = 1 , 3

M = 7 , 19

+ #

Fourier

* ! $ ! ! ! !

,

x ( t )

^!

t ∈ [ −T / 2 , T / 2]

b n = 0 ∀n

^9@C

a n = 4 T

_T/2

0 x ( t ) cos nω 0 t dt

^9@?

-

x ( t )

^#!

t ∈ [ −T / 2 , T / 2]

a n = 0 ∀n

^9@@

b n = 4 T

_T/2

0 x ( t ) sin nω 0 t dt.

^9@A

.' $ (

T 0

2 T 1

^{! "# 99 4 " &# !# +#3}

x ( t ) =

⎧ ⎨

⎩

1 |t| < T 1

0 T 1 < |t| < ^T ₂ ⁰

9AB

I &"( ! $

Fourier.

−T 1 T 1

− ^T ₂ ^{0 T} ₂ ⁰

−T 0 T 0 −T 1 T 0 T 0 +T 1 t x ( t )

"# 993 1 $

/! /# ! ! $

#

b n = 0

∀n

^{4 +! !}

a n

a 0 = 2 T 0

^{T 0}

2

−T 0 2

x ( t ) dt = 4 T 0

^{T 0}

2

0 x ( t ) dt = 4 T 0

_{T 1}

0 dt = 4 T 1

T 0

9A,

a n = 2 T 0

^{T 0}

2

−T 0 2

x ( t ) cos nω 0 t dt = 4 T 0

_{T 1}

0

cos nω 0 t dt = 4 T 0

1

nω 0 sin nω 0 t ^{T 1}

0

= 4

T 0

1

nω 0 sin nω 0 T 1 = 4

n 2 π sin nω 0 T 1 = 2 sin nω 0 T 1

nπ , n = 0 .

^9A-

T 1 = ^T ₄ ⁰ ⇔ T 0 = 4 T 1

^{! $ !}

a n = 2 sin( nω 0 T 0 / 4)

nπ = 2 sin( nπ/ 2)

2 ^nπ ₂ = sinc( nπ

2 )

^9A6

! !

sinc( x )

^{; $}

sinc( x ) = sin x

x .

^9A9

) "# 9< " ! ! $#

Fourier

! ! $

n = 0 , 1 , . . . , 20

¹

! !"# ! ! ; !

sinc( x )

x = nπ

2

n ∈ Z ⁺

^{/ !}

Fourier:

n

x a n

sinc( xπ / 2)

B - 9 C @ ,B ,- ,9 ,C ,@ -B

%B9

%B- B B- B9 BC B@

,

n

x c n

0 . 5s in c( xπ / 2)

%-B %,< %,B %< B < ,B ,< -B

%B-

%B, B B, B- B6 B9 B<

"# 9<3 ! $#

Fourier

^{! !%}

$ ! (#

Fourier

^!

! $

a 0 = 1

^9A<

a 1 = 2

π

^9AC

a 3 = sin(3 π/ 2)

3 π/ 2 = − 2

3 π .

^9A?

4 ! (#

Fourier

^"

c 0 = 1

2

^9A@

c n = 1

2 sinc( nπ 2 ) = 1

2 a |n| , n = ± 1 , ± 2 , . . .

^9AA

"; "# 9<

0I &"( "3

a n = 2 T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) cos nω 0 t dt a 0 = 2

T

_{t 1 +T}

t 1

x ( t ) dt

$#

Fourier

x ( t ) = a 0

2 +

∞ n=1

a n cos nω 0 t + b n sin nω 0 t

.

* &$# $!

b n

^+#$

&

'& !#

ϕ n ( t ) = 2

T cos nω 0 t

^{! (#}

$ !#

ψ n ( t ) = 2

T sin nω 0 t

¹

n = m

< ϕ n ( t ) , ψ m ( t ) > =

_{t 1 +T}

t 1

2

T cos nω 0 t 2

T sin mω 0 t dt =

^9,BB

= 2

T

_{t 1 +T}

t 1

cos nω 0 t sin mω 0 t dt =

= 2

T

_{t 1 +T}

t 1

1 2

sin( n − m ) ω 0 t + sin( n + m ) ω 0 t

dt =

= 1

T

T 0

sin( n − m ) ω 0 t dt + _T

0

sin( n + m ) ω 0 t dt

= =

n=m

1 T

− 1

n − m cos( n − m ) ω 0 t _T

0 + +

− 1

n + m cos( n + m ) ω 0 t _T

0

=

= 1

T

( − 1 n − m )

cos( n − m ) 2 π T T − 1

+ +( − 1

n + m )

cos( n + m ) 2 π T T − 1

= 0 .

^9,B,

n = m

^{9,BB !}

2

T _T

0

cos nω 0 t sin nω 0 t dt = 2 T

_T

0

1

2 sin 2 nω 0 t dt =

= 1

T _T

0

sin 2 nω 0 t dt = − 1

2 T cos 2 nω 0 t ^T

0 = 0 .

^9,B-

.

< ϕ n ( t ) , ψ m ( t ) > = 0 ∀n, m ∈ Z ⁺

^9,B6

4 + ! ! !$

!! ! (

x ( t )

^!!

> * ($ 3

ˆ a n = < x ( t ) , ϕ n ( t ) > n ≥ 1

^9,B9

x ( t ) = dc

+

∞ n=1

ˆ a n ϕ n ( t ) = dc

+

∞ n=1

ˆ a n

2

T cos nω 0 t

= dc

+

2 T

∞ n=1

a ˆ n cos nω 0 t.

^9,B<

E; 9,B9 "!3

ˆ a n = < x ( t ) , ϕ n ( t ) > = 2

T _T

0 x ( t ) cos nω 0 t dt.

^9,BC

( 9,B< 3

x ( t ) = dc

+ 2 T

∞ n=1

T

0 x ( t ) cos nω 0 t dt

cos nω 0 t

= dc

+

∞ n=1

2 T

_T

0 x ( t ) cos nω 0 t dt

a n n≥1

cos nω 0 t.

E

dc

^{(! !}

n = 0

ϕ n ( t ) =

2

T cos nω 0 t 0 ≤ t ≤ T

^9,B?

!

ϕ 0 ( t ) = 2

T 0 ≤ t ≤ T.

^9,B@

/ "

< ϕ 0 ( t ) , ϕ n ( t ) > = 0 ∀n = 0

< ϕ 0 ( t ) , ϕ 0 ( t ) > = _T

0

2

T dt = 2 .

. (

ϕ 0 ( t )

³

ϕ ₀ ( t ) = 1

√ 2 2

T = 1

√ T , 0 ≤ t ≤ T

^9,BA