Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Proprietà energetiche Circuiti con N-poli

Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

In questa lezione introdurremo anzitutto una proprietà fondamentale dei circuiti, nota anche come teorema di Tellegen, che lega in un certo senso aspetti topologici ad aspetti energetici.

Mostreremo poi la proprietà di non amplificazione, che sotto opportune ipotesi permette di garantire che in un circuito con un solo elemento attivo la massima tensione e corrente

debbano necessariamente essere quelle dell’elemento attivo.

Andremo infine ad estendere opportunamente il modello

circuitale a circuiti in cui siano presenti elementi a più di due terminali (N-poli), in termini di grandezze descrittive, LK e caratteristiche. Introdurremo, in particolare, i doppi bipoli e i multi-porta, le rispettive grandezze descrittive e

rappresentazioni.

Proprietà energetiche – Circuiti con N-poli

2

(3)

Unità 1: conservazione della potenza elettrica, potenze virtuali e teorema di Tellegen; proprietà di non amplificazione delle

tensioni e delle correnti.

Unità 2: elementi circuitali a N-terminali, grandezze descrittive e LK, espressione della potenza assorbita, condizioni di porta, doppi bipoli e multi porta.

Proprietà energetiche – Circuiti con N-poli

3

(4)

Unità 1:

conservazione della potenza elettrica, potenze virtuali e teorema di Tellegen;

proprietà di non amplificazione delle tensioni e delle correnti.

Proprietà energetiche – Circuiti con N-poli

4

(5)

Dimostriamo che, per un circuito, vale la conservazione delle potenze elettriche, e ciò solo in conseguenza delle leggi di

Kirchhoff. In realtà dimostreremo una proprietà ancor più generale, detta anche teorema di Tellegen.

Consideriamo un circuito C con l bipoli, p_k=v_ki_k la potenza assorbita dal k-mo bipolo, e la somma di tutte potenze

assorbite, fatta la convenzione dell’utilizzatore. Esprimendo la sommatoria come prodotto riga colonna di v^Ti, il vettore v

attraverso i potenziali di nodo, e sfruttando le note proprietà per la trasposta del prodotto di matrici, si ha:

( ) ( ) ( )

_!

( )

_!

( )

1 1

0

l a l T T T T T T T

k k k

k k LKT LKC

p t v t i t

= =

æ ö

= = = ç ÷ = = =

è ø

å å

^{v i} ^{A u i u A} ^{i u Ai}

Dunque, la somma delle potenze assorbite da tutti i bipoli del circuito è nulla, istante per istante.

Conservazione della potenza/1

5

(6)

La proprietà è stata dimostrata utilizzando, oltre all’algebra elementare, esclusivamente le LKT (utilizzata implicitamente sostituendo alle tensioni i potenziali) ed LKC.

Si può allora affermare che la conservazione della potenza (e di conseguenza dell’energia) in un circuito discende

direttamente dalle leggi di Kirchhoff, ed è dunque implicita nel modello circuitale!

Quanto visto per le potenze assorbite vale naturalmente anche per le quelle erogate, ricordando che fissata una convenzione esse sono l’una l’opposta dell’altra.

Più in generale possiamo affermare che in qualsiasi circuito la somma delle potenze assorbite eguaglia, in ogni istante, la

somma di quella erogate. In formula: ^{( )}

( )

^{( )}

( )

1 1

m l

a e

k k

k j m

p t p t

= = +

å

=

å

Conservazione della potenza/2

6

(7)

Due circuiti differenti con le stesse interconnessioni, e dunque grafo

Dimostriamo ora più in generale la conservazione delle potenze virtuali, o teorema di Tellegen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

l a l T T T T T T T 0

k k k

k k

p t v t i t

= =

¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢

= = = = = =

å

^!

å

^{v i} ^{A u i} ^u ^A ⁱ ^{u Ai}

Consideriamo due circuiti C’

e C’’ diversi ma con lo stesso grafo (e stessa matrice A).

Definiamo le potenze virtuali k-me (assorbite) come:

( ) ( ) ( ) ( )

( )^a ; ( )^a

k k k k k k

p! = v t i t¢ ¢¢ p" = v t i t¢¢ ¢

e

i’’₄

e r

+ -

r

q w

i’1

i’₂

i’₃

i’₄

i’₅ i’₆ i’’1

i’’₂

i’’₃ i’’₅ i’’₆

C’ C’’

q w

Le potenze virtuali, pur essendo dimensionalmente omogenee alla potenza, non hanno alcun significato fisico. Ciò nonostante analogamente alle potenze, è possibile dimostrare:

Dunque anche le potenze virtuali si conservano!

7

Teorema di Tellegen/1

(8)

La proprietà appena dimostrate è notevole se si osserva che tra le tensioni v’ e le correnti i’’ non sussiste alcuna relazione se non di soddisfare, separatamente, le LKT e LKC sullo stesso grafo orientato.

È possibile dimostrare che una delle due leggi di Kirchhoff,

unita al teorema di Tellegen, implica l’altra legge. Si ha infatti:

“preso un insieme di tensioni che verifica le LKT di un circuito, ogni insieme di correnti che con esso verifica Tellegen

verificherà le LKC sullo stesso circuito”

“preso un insieme di correnti che verifica le LKC di un circuito, ogni insieme di tensioni che con esso verifica Tellegen

verificherà le LKT sullo stesso circuito”

8

Teorema di Tellegen/2

(9)

Vogliamo ora dimostrare un’altra proprietà, sempre legata alle potenze, ma meno generale. Essa prende il nome di non

amplificazione, e può enunciarsi come segue.

In un circuito a-dinamico con un unico bipolo attivo e tutti gli altri strettamente passivi, si ha che (in valore assoluto):

1) la massima tensione è quella del bipolo attivo 2) la massima corrente è quella del bipolo attivo

Generico circuito a-dinamico con un solo bipolo attivo

bipoli a-dinamici strettamente

passivi

q

n

bipolo attivo +

- v_a

Cp

i_a Il circuito ha n nodi, li numeriamo in modo che il bipolo attivo sia

collegato ad 1 ed n; inoltre supponiamo che v_a>0àu₁>u_n. Inoltre, essendo unico il bipolo attivo, la sua potenza erogata è certamente positiva à i_a>0

9

Proprietà di non amplificazione

(10)

Consideriamo ora un generico nodo o interno al circuito (come in figura), cui sono collegati tutti bipoli strettamente passivi.

Applicando la LKC a tale nodo, in virtù dei versi scelti, si ha:

i_p+i_q+i_r+i_s=0. Essa è verificata sse: 1) tutte le correnti sono nulle; 2) almeno due correnti hanno segno opposto.

Un generico nodo “o” interno al circuito (o¹ 1, o¹ n)

o

p q

s r

1)Per l’ipotesi di stretta passività, (i=0àv=0), si ha: i_p= i_q= i_r= i_s=0à à v_p= v_q= v_r= v_s=0, e dunque le tensioni sono sicuramente minori di v_a>0

2) Supponiamo i_p>0, i_q<0; per la

passività (vi³0) si ha v_p>0, v_q<0. In termini di potenziali: u_o-u_p>0, u_o-

u_q<0, dunque u_p<u_o<u_q .

10

Non amplificazione delle tensioni

(11)

Per quanto visto, il valore del potenziale di un qualsiasi nodo o, diverso dai nodi 1 e n, non è né il massimo né il minimo

rispetto ai circostanti. Del resto, essendo quello dei potenziali u₁,u₂,...,u_n un insieme finito, esso certamente ha un massimo ed un minimo, che a questo punto saranno u₁ e u_n. La

situazione è ben rappresentata in figura.

u u₁

u₂ u_k

u_h u_n-1

u_n

v_a

|v_j|

I potenziali dei nodi “ordinati” e le generiche tensioni nel circuito

Possiamo allora concludere che nessuna tensione nel circuito può superare quella dell’unico bipolo attivo!

11

Non amplificazione delle tensioni/2

(12)

Consideriamo ancora una volta il circuito con un solo bipolo attivo, e gli altri tutti

strettamente passivi. Abbiamo già osservato che v_a>0, i_a>0, u₁>u_n. Preso un generico lato k, andiamo a considerare un taglio T che

contiene i lati a e k, e contemporaneamente divide i nodi in due insiemi, di cui uno con potenziali sempre maggiori dell’altro, come rappresentato in figura. Orientiamo tutti i lati del grafo dai potenziali maggiori ai minori,

(escluso il lato attivo a) per la passività avremo tutte correnti positive. Dalla LKC al taglio:

Il grafo, un insieme di taglio con i_a e i_k che

divide i nodi a potenziale

maggiore e minore 0

a k j

j a k

j

i i i

i i

i

ì = +

ï Þ ³

íï ³ î

å

i_k

q

s r

n i_a

m

m+1 m-1

N_m

N_n-m

12

Non amplificazione delle correnti

(13)

Il fatto che nella somma precedente i segni delle correnti siano tutti positivi è conseguenza della scelta del taglio, con nodi a

potenziale maggiore da un parte e minore dall’altra, e della sua orientazione in relazione a quella dei lati.

Possiamo infine concludere che, in valore assoluto, nessuna corrente nel circuito può superare quella dell’unico bipolo attivo!

Osserviamo che entrambe le proprietà di non amplificazione non valgono se il circuito contiene più di un elemento attivo.

Tuttavia è possibile dimostrare (ma è più complesso!) che, in tal caso, le tensioni e le correnti sono in valore assoluto

sempre maggiorate dalla somma di quelle degli elementi attivi.

13

Non amplificazione delle correnti/2

(14)

Le proprietà di non amplificazione non valgono se il circuito

contiene elementi passivi ma dinamici, o a-dinamici passivi ma non strettamente. In entrambi i casi infatti, se pur con

modalità diverse, vengono meno le ipotesi fondamentali alla base della dimostrazione. Come esempio consideriamo un

circuito con un generatore e due circuiti aperti (i=0), per i quali come sappiamo p^(a)=0 " v, e supponiamo E=10 V.

E

⁺

-

R i=0 v

₁

+ - v

₂

+

-

v

_R

=0

Un esempio cui la non

amplificazione non è applicabile

La LKT all’unica maglia, tenuto conto che v_R=0, è E=v₁+v₂. Due possibili soluzioni sono:

1) v₁=5 V, v₂=5 V, 2) v₁=15 V, v₂=-5 V.

Come si vede, la presenza di bipoli non strettamente passivi non

garantisce la non amplificazione. 14

Non amplificazione: non applicabiltà

(15)

Unità 2:

Elementi circuitali a N-terminali, grandezze descrittive e leggi di Kirchhoff, espressione della potenza assorbita

Condizioni di porta, doppi bipoli e multi porta.

Proprietà energetiche – Circuiti con N-poli

15

(16)

Esempi di N-poli: a) trasformatore;

b) amplificatore; c) transistore; d) quadripolo di resistori.

Abbiamo sinora considerato circuiti di soli bipoli. È frequente imbattersi in elementi circuitali con più di due terminali, i

cosiddetti N-poli (N indica il numero di terminali). L’N-polo è la generalizzazione del bipolo.

(a)

- +

(b) (c)

(d)

Possiamo avere N-poli

elementari (cioè tali per come sono realizzati) ovvero composti (costruiti mettendo assieme

elementi più semplici). In figura riportiamo alcuni esempi.

Ha senso porsi due questioni:

1) se, ed in che modo, vengono modificate le leggi di Kirchhoff;

2) in che forma sono espresse le relazioni caratteristiche

dell’elemento.

N-poli: definizioni, grandezze descrittive e LK

16

(17)

Generico tripolo, le sue correnti e le tensioni su esso definibili.

Dobbiamo anzitutto definire un insieme di grandezze

descrittive indipendenti per l’N-polo. Con N terminali è in generale possibile definire N correnti ed N(N-1)/2 tensioni distinte. E’ facile però rendersi conto che, considerate tutte, esse non sono indipendenti. Fissati i versi entranti per tutte le

correnti, applicando la LKC all’N- polo si ha: i₁+i₂+i₃=0;

dunque solo 2 (N-1 in generale) correnti risultano indipendenti!

Inoltre, applicando la LKT alla

maglia che collega i nodi 1-2-3 si ha: v₁₂+v₂₃+v₃₁=0;

dunque solo 2 (N-1 in generale) tensioni risultano indipendenti!

i₁ i₂

i₃

q w

e

+

- -

v₃₁ v₂₃

v₁₂

+ -

17

N-poli: definizioni, grandezze descrittive e LK/2

(18)

Un N-polo con le sue tipiche grandezze descrittive

Per un generico N-polo possiamo così definire gli insiemi di

correnti e tensioni descrittive: preso un nodo di riferimento (ad es. N), una scelta di variabili descrittive indipendenti è data da:

Possiamo osservare che le tensioni scelte, tutte riferite allo

stesso terminale N, coincidono con i potenziali dei rimanenti N- 1 nodi se quello di N è assunto come riferimento.

L’N-polo sarà così descritto da N-1 relazioni caratteristiche:

( )

1 2 1 1 2 1

( , ,... ) ; ^T ( , ,... )^T

d = i i iN_- d = v _-N v _-N v N_{- -}N

i v

( )

1 1 1 1 1

( ,... , ,... ) 0

N N N N

N N N N N

f i i v v

f i i v v

- - - -

- - - - -

=

!

i₁ i₂ +

v_1N -

q +

w

i_N-1

N-1

N

-

V_(N-1)-N v_2N

18

N-poli: definizioni, grandezze descrittive e LK/3

(19)

Grafo elementare di un N- polo (nodo N=riferimento)

Osserviamo infine che, nel caso N=2 (bipolo) le grandezze

descrittive si riducono a 2-1=1 (una tensione ed una corrente).

Dunque il bipolo risulta il caso particolare dell’N-polo!

Possiamo ora affrontare le leggi di Kirchhoff. Fissate le

grandezze descrittive, infatti, le LKT, LKC si scrivono in modo perfettamente analogo al caso dei circuiti di soli bipoli. Basta considerare, in luogo dell’elemento a più terminali, un

sottografo costituito da N−1 lati che definisce le grandezze descrittive, riferite al nodo scelto come comune.

1

N

2 N-1

19

N-poli: grafo elemetare e LK

(20)

Circuito con un tripolo ed un suo grafo corrispondente

Considerato l’esempio in figura, scelto per il tripolo il nodo 3 come riferimento e fissata la convenzione dell’utilizzatore su tutti i lati, si hanno le segg. LK indipendenti:

® - = ® - + =

ì ì

ï ® + + = ï ® - + =

í í

ï ® + = ï ® - + =

î î

1 5 1 1 6 5

2 3 4 2 2 3

5 6 3 3 4

(1) 0 0

LKC (2) 0 LKT 0

(4) 0 0

i i M v v v

i i i M v v

i i M v v

20

N-poli: grafo elemetare e LK

i₁ i₂

q w

e

6

5

3

r

4

i₃ i₄ q w

e r

6

5

3 4

1 2

(21)

La naturale estensione dell’espressione della potenza assorbita da un bipolo ad un N-polo è (nodo N come riferimento):

( ) 1

1 a N

k kN k

p ^- v i

=

å

Si può facilmente mostrare che, cambiando il nodo di riferimento, si ottiene una espressione equivalente. Ad esempio per un tripolo abbiamo

( )

( ) ( )

( )

3 13 1 23 2 3 1 2 12 13 23

( )

2 12 1 32 3 13 23 1 23 1 2 13 1 23 2

; ;

=

a a

p v i v i i i i v v v

p v i v i v v i v i i v i v i

= + = - + = -

= + = - - - - +

21

N-poli: potenza assorbita

(22)

In molti casi i terminali di un N-polo possono essere associati naturalmente a coppie, per le quali la corrente risulta la stessa.

Quando ciò accade la coppia di terminali è detta anche porta.

In tal caso parliamo di M-porte, dove M è il numero di coppie di terminali associate. Un esempio importante sono i doppi bipoli (M=2).

Le condizioni di porta di un doppio bipolo sono i₁=-i₃, i₂=-i₄ e come si vede, sono più restrittive della di quelle di un generico quadripolo i₁+i₂+i₃+i₄=0.

Un esempio di doppio bipolo collegato a bipoli

microfono amplificatore diffusore

i₁ i₂

i₃ i₄

v₁ + -

+ - v₂

22

Doppi bipoli ed M-porte

(23)

In virtù delle condizioni di porta, le correnti descrittive sono solo i₁ ed i₂. Fissate le tensioni alle porte v₁ e v₂, esso è

caratterizzabile nella forma:

Simbolo del doppio bipolo e grafo e corrispondente

+ - v1

i₁

+ -

v2

i₂

1 1( , , , ) 0; ( , , , ) 02 1 2 2 1 2 1 2

f i i v v = f i i v v =

Il doppio bipolo è dunque ben descritto da due correnti e due tensioni. A ciò corrisponde un grafo elementare non connesso, costituito da soli due lati. Pertanto i grafi di circuiti contenenti doppi bipoli possono risultare non connessi.

23

Doppi bipoli ed M-porte/2

(24)

Se, come fatto in figura, sulle porte viene fissata la

convenzione dell’utilizzatore, l’espressione della potenza assorbita da un doppio bipolo è data da:

( )

1 2 1 2 1 1 2 2

( , ) ;v v ^T ( , ) ; i i ^T p_DB^a v i v i ^T

= = = + =

v i v i

Essa può essere direttamente ottenuta a partire da quella

dell’N-polo corrispondente considerando le condizioni di porta.

24

Doppi bipoli ed M-porte/3

(25)

+

- v₁

i₁

+

- v₂ i₂

q w

e

È piuttosto frequente che componenti a tre terminali siano collegati al circuiti in modo da costituire doppi bipoli. Ciò si

realizza di fatto costruendo artificialmente 2 porte, sfruttando il terminale comune come “ritorno” come in figura. In tal caso il tripolo è rappresentato come un doppio bipolo.

Un tripolo collegato come doppio bipolo

3 1 2 1 1 2 1 2

1 13 2 23 2 1 2 1 2

( , , , ) 0

; ( , , , ) 0

i i i f i i v v

v v v v f i i v v

= - - =

ì ì

í í

= = î =

î

25

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Introduzione ai circuiti