AntON NEGRILA

(1)

AntON NEGRILA

Maria NEGRILA

alx0brl

x00m0il10

Solufllle testelor de

pot fl

consultate la

http://www.editu

raparalela45.

-consol ^ldare-clasa8-sem 2

-201 ⁷

olam0ulil'n

mftoa ^a ^ll-a

edifia aY-a, revizuit5

mril ¹⁰⁰⁰ - oonmlidun

(2)

€uprlnl aue[nna

Capltolul II.

Ecuagll de gradul I....

Recapitulare qi sistematizare prin teste

...

..,...30

Test de

autoeyaluare

,,...,...33

Capltolul IIL

Slsteme de

ecuafll... ....,...

...3S 1. Ecuafii de gradul

I

eu

doui necunoscute

..,,...3S 2. Sisteme de dou6 eeuatii de gradul

I

cu doufl

neeunoscute

...,...,...36

3.

Tipuri

deosebite de

sisteme...

...,...41

Capltolul IV.

Probleme rezolvate cu aJutorul ecuaflllor ^glal

rlrtemelor

de ecuaf|i...43

Probleme de matematic[ aplicat6

ln

viafa

cotidian6...

.,,.,...46

Recapitulare gi sistematizare prin teste

...,...

.,..".,...,.,...47

Test de

auloevaluare

...,..,...49

Capltolul

V. Rezolvarer ecuaflel de gredul al dolIer...r...S1 Probleme de matematic[

aplicatl ln

viafa

ootidian[.,,,,

,...,,,.

j6

Tasl da

autoevaluare

...,,,,..,...,,,,,52

Capltolul VI. Inecuafll

dc gradul

I

cu o

necunorcutl

Recapitulare pi sistematizare prin teste

...,,,..

,,...,...63

Capltolul VII.

Temg

pentru recrpltulrren fln0ll

...r...,...67

l,

Numerc naturale. Puteri cu exponent

numlr

natural,

Divizibilitate

^.,..,,..67

2. Rapoarte, Proporfii,

Proporfionalitate...,,,,,,

,,,,,,...,...69

3.

Procentc..

...,...70

5, Calcul

algebric

,.,,.,,,72 6. Probleme _de

aritmetic[

oe se pot rezolva cu ajutorul ecuatiilor gi al sistemelor de

ecuafii,...,,...

....,.,,,,..,73

7. Ecuafii de gradul

I

^cuo

neounoscut[,,,...

.,...,,.,,,,.,.,.,...74

8,

Funcfii

...,...,..,.,.75

9,Inecualii..

...,.,,,,,.77

Recapitulare gi sistematizare

prin

teste

...,.,.

...,...78

Tesl de autoevaluare

I...,...,..

...,...81

Teqt de autoevaluare 2

.,,,....,,,,,,,..

...83

(3)

Capltolul III. Trunchlul

de

plramldl

113

Exerc$l

^gl^probleme

recrpltulrtlve

^pentru

evrlumer flnall

^,rrrrl47

Modele de

teile

pentru GyrlurrGr

llnsll

-..._,.-.-. t

al

(4)

--##ffiffinffi" _Capltolul _I

Fxsmx***

fp Competenfe specifice

Recunoagterea

unor

corespondenle care sunt

funclii

Utilizarea valorilor unor funclii in

rezolvarea

unor ecuafii

5i a

unor inecua[ii

Reprezentarea

in diverse moduri

^a

unor corespondenle

_{$i/sau a}

unor funclii in

scopul caracterizErii acestora

Exprimarea

prin reprezentlri

grafice a

unor nofiuni

de

geometrie planl

Fie I ^gi B doui ^mul(imi. Daci printr-un procedeu oarecare facem

^ca_ft.ecdrui

element din mulfimet A sil-i corespundi un singur element din mulfimea B, vom

spune

ci

am

definit

^o

funcfie dela Ala B.

Multimea I ^se

^numegte

^domeniu ^de ^definifie ^al ^func1iei, ^iar ^mulfimea ^B

^se

numegte

codomeniul

sau

mullimea in

care

functia ia valori. in

^general,

o

funclie

/

definitE ^pe

I

^cu

^{valori in}

multimea.B va

fi ^notatlf

^z

^A + B. Citim

,,f definitd ^pe

I

^cu

valori

in-B". Functiile se noteaz[ de

obicei

cuf, g,

h, ...

Fie

datd

o

^funclie

f ^: ^A ^-+ ^B.

Dacd ea face

ca

elementului

a e A

sd-i corespundl elementul

b e

B, se

scrie/(a)

= ^{b; spunem}^cd⁶^este^valoareafunclier

in

a'

Leg6tura pe care o stabileqte funclia intre elementele

x e

^{,4 gi}

valorile

corespunzdtoare

f ^{(x) dinB}

se numegte lege de

corespondenti.

O funclie se descrie prin

trei

componente:

r

^domeniul^de

^definilie;

l

codomeniul;

o legea de corespondenti.

Legea de corespondenla a unei

funclii

^poate

fi

dat6

in

mai multe moduri:

a) Je poate

e*piima prin

^indicarea

intr-un tabel

a

valorilor

corespunzdtoare elementelor din domeniul de definifie;

b)

se poate descrie cu ajutorul unei

formule prin

^carese

precizeazdvaloareaf(x)

^pentru oricare x din domeniul de

definilie;

c) se poate descrie cu ajutorul diagramelor.

Cz.

Cs.

Ca.

(,

t{

I

H

1-{

o o

v)

o

tr xi

.9

+

_c'

Eq)

.F

o

=

(5)

Fiind

datd o

funcfie/: _{A -+ B,}

mullimea de puncte din plan avdnd coordonatele (x,

y),

unde

x

este un element oarecare din

A,

iar

y

=.f (x), va

fi numiti graficul funcfiei.

eceasia

mullime

se scrie

Gr=

_{(x,y)l

y

_{=-f (x),}

x

e

A}.

Egalitatea

y =-f(x),

^adevdratd

pentru

fiecare element

x

din

A, va fi numita

ecua{ia

graficului funcliei/.

Se obiqnuiegte sd se noteze funclia

in felul

urm6tor:

y =f

^(x),

^x

^e^A..

Fief

:

A -+.8 o funclie. Imaginea

(sau

mullimea valorilor) funcliei/este

mulfimea

Imf _{= {f} (x)lx

e

A}. in

mod evident,

Imf c

^B.

Se mai poate scrie gi astfel:

Imf ₌ g e B

_|

(l) x

e

A

astfet incdt

y

_=.f

(x)\.

O funcfie al

cdrei domeniu de

definilie

qi codomeniu sunt

submullimi

ale

lui

IR

(mul- limi

^de^numere)se numeqte

func{ie numeric[.

DouE funclii

f

^:^A

^-+B

9i

g

: C

-+ D

sunt egale dacd

A

₌C, B ₌

D qif

(x) ₌g@),oricare ar ft

x

e

A.

Se noteazd.f = g.

tn

general,

o funclie/:

lR

-+

IR

descrisl

de

formula/ _{(x) = ox} + b

(unde

a gi

D sunt numere

reale)

se nume$te

func(ie liniartr.

Reprezentarea

geometrici a mulfimii

grafic pentru o funclie liniard este o dreaptd.

Pentru a trasa

graficul

unei

funclii

liniare, este suficient sd

dim

variabilei

x

dou6

valori

distincte.

Ohservatii:

1.

Pentru/:

R.

-+ R.,/(x) _{= ax} * b,

dacd a

*

0

qib ₌

0, se obline

funclia liniardf(x)

₌

= ax, al cdrei grafic conline originea axelor de coordonate.

2. Pentraf:

^IR

-+

JR.,/(x)

= ax + b, dacda = 0

$i

b *

O,se

oblin funcliile liniare

de

formaf

(x)

= b,

^ale^cdror^graficesunt drepte paralele cu axa Ox.

Funcliile

de acest

fel

sunt numite

functii

constante nenule.

3. Pentru/:

^lR

-+ IR,/(x)

₌

ax * b,

dacd a

=

^b

=0,

oblinem o

functie/(x) ₌

0, al

clrei

grafic coincide

ct

axa Ox.

d.

Uneori, pentru trasarea

graficului

este mai comod sd se stabileasci punctele

in

care

graficul

intersecteazd axele de coordonate.

Q a _@

= A(o;

f

^(O))

€

^Gy

ⁿ

^Oy=

A(0;

b); G7

a

O* =

B( _(a -L ^{; 0).}

)

(, vt

o U o :g

.U c, Eq)

.F(,

=

6 f; e ^l. ^Nofiunea ^de funcfie. Funclii definite pe mullimi

E finite

Exemple:

1. Descrieli

printr-o

diagramd, apoi printr-un tabel funclia urmltoare:

.f

: {-t;0; ^t} ^-+ {2;3;4},f

^(x)

=x

⁺^3.

Solufie:/(-1)

₌

-l

⁺³

^=2,f(0)=

⁰⁺³

=3,f(t) = I *

3 = ^4.

(6)

Z.

Explicitali

domeniul de

definilie

^pentru^funcfia

f ^:A-+R, ,f(x) =Z ^{siA= {x} eZl-l<.x<3}.

x Solufie:

^Cum^x

*

0

+

^A

₌ t-1, l, 2\.

3.

^Fie^functi

af

: A

-+R,,f(x)

= ax

*

2 qi A

= {x ^{e Z*}

I

lrl

^<

2}.

Determinali valoarea

lui a e Zpentrucare

punctul B(1;

-1)

^aparfine

graficului

functiei.

Solufie:

A

= {1, -1, l, 2\.Dacd B(1; -l) ^{e G7*} f(l)

⁼

-1,

^dar

f (l) -

^a⁺²

)

^a

^*

²=

=-lra=1.

o

I

H

l-'l F{

o

o vt

o

o ri

.9

o

E

q)

o

7 O O O activitdti de ?nv6tore O O O

1.

^Care^dintrediagramele de mai

jos

descrie o funcfie?

,,m "m

d,me,N m

w

c)

l.

^Diagrama aliltur ath de scrie funclia

f

^.^Stab

^iliti

^domeniul^I

ⁱ

codomeniul

lui/ Determinalif

(2) $i"f(3).

3.

^Descrieti

^printr-o

diagrama, apoi printr-un tabel, func{iile

urmltoare:

a) /: ^{0, ^1,2\ -+ {0,2,4,6\,-f(x)=)16*2;

b) g: _{-2,-1,0, 1,2} + {0, 1,2,3,4\,5(i=*.

4.

^Care^dintre^tabelele^de^mai

^jos

^{descrie o}^funcfie?

-2-r 0 ^1-1

s. Explicitati

domeniul de

definilie

^gi^legea^de^asociere

pentru funcliaf :,4 + ^R.,/(x)

=

= J f' 4*

⁺

^4,

^unde

^A = {x e Z _llxl ( _3}.

Care este mullimea

valorilor fi:rrrclieif?

^Cate

este probabilitatea ca, alegdnd

numirul r

din domeniul de

definifie

al

funcfieil

^sE^obfinem

f

⁽ⁿ⁾

^<o?

6.

^Caredintre urmitoarele relafii nu reprezintd o functie?

a)f: {-1,0,1,2\ + _{0, l\,f(fl=f;

b)

g : {0, 1,2,3}4

^N,g(x) =12;

c) ft : IR.

-+

JR, h(x)

=2.

x

(7)

l;2| -+R, _,f(x) ={:;:,'f::

c,I

l-{H H

C'

o

vtE

G

lci

.9

E

o

o)

"J o 8

7. Fie

funclia

f ^: {-1, -1, 0, l, 2l -+ R,,f(x) ₌ x * 3. Stabilti

care

dinfre

punctele urm6toare apa4in

graficului

tuncfiei:

A(-2; t); B(-t;3);

C(0; 3);

D(l;

5);

E(2;6).

8.

Determinafi

Im/(mullimea valorilor

funcfiei)

in

fiecare dinhe cazurile urmltoare:

a)f

:

{-l; ^0; ^l; ^2} + IR,/(x)

₌

i ⁺ ^t;

0f

^:

{a;-l;0; ^l;2} -+ IR,/(x) =2x*3i c)f : {1;-2;-l;0;

^1}

+ R,,f(x) =-xi2.

9'

^Pentru^func{iilede mai jos, stabilili codomeniul _cu

numirul

minim de elemente, gtiind _c6:

a)f : {1;-l; ^0;

^1;

^2;3} ^-+ ^B,undef

^(x)

=x *

3i

Df ^: {a;-2;-l;l;2;3;4) ^-+ B,tmdef(fl=};

c)f: {1;-l;0; ^{l; 2;3;4\} -rB,unde/(x\=?_x+1.

10.

^Pentru

func{iile

de mai

jos, stabilili

domeniul de

definifie,

gtiind c6 fiecare element al codomeniului este imaginea unui element din domeniu:

a)f

:

A -+ {1;-5; -1; \ 4,f@)

= ^2x

-

^3;

b)f: A -+ {4;3;2; t;0; -r},f(x)

⁼

-x * l;

c)f

^:

A-+

_{{0; 4;}

9; t6\,f (g

₌

f

^.

{ {.

Determina[i

a e

IR, gtiind cE:

a)f

:

{1;l;2;3} -+IR,/(.r) =ac-2siA(t;-3) ^e

^G7,

Df: {a;-l;l;2\ ^+lR,/(x) =3x+ aSiA(t;-t) e

G7,

c)f: {1;-l;l;2} -rR,/(x) =ctx-5qiA(2;-l) e

G1

12.

Care dintre perechile _de

funcfii

reprezint6

functii

egale?

a)f : {-2; -l;0; ^l;2} + N;/(.r)

_=x2

_$is : {-2;*t;0; ^l;2} ^-+

^N,

sO)=Lyl;

b)f : {l;2;3} ^-+ {-l;0; ^l\;"f (x)=x-2$ig(x) reprezentatial[turat.

{

3.

^Pentru

funcliile

de mai

jos,

stabili{i

Im/gi

reprezentafi grafic mullimea

intr-un

sistem de axe:

a)

f ^: {-2; ^0; l; 2\ + _{-l ; t;

2; 3; 4; 5; 6\,

f

^(x)⁼^x

^*

^3;

D

f ^: {a; ^-2; ^l; ^3;4} ^-+ ^R,/(x)

= x2;

c)f : {1;-l;0; ^{l; 2l} +Z,f (x)=2x+ t.

{4.

^Pentru

funcfiile

de mai

jos,

scrie]i mullimea

grafic

Ai reprczentali-o

intr-un

sistem de axe de coordonate:

a)

f ^: {-l; ^0; ^l; ^2;3} + R,/(.r)

₌

_-2x *

3;

x<-l

x)-l'

b)f: {a;1;-2;-t;o;

(8)

c)f : {1;-2;-l;0; ^l;2;3} ^-+

^IR.,

15.

Reprezentati grafic

funcliile:

a)f : {-2;*l; ^0;

^1;

^2;3\ ^-+

^IR,,f(x)⁼

-i ⁺

^3;

$f ^: {a;4;-2;-l;0; ^l;2} ⁺

^IR,

^f (x)={-':t'.0":u'-' .',

lx +2,

dac6 x >

-l

c)f :A-+R,/(x) =-x*

^2,unde

^A= {x eZl _lxl<3\.

{

6.

Reprezentafi grafic func}iile:

a)f :A-+R.,/(x) -2x-3,unde A= {x eZl lx-ll<2\;

b)f

^:

A+ lR,/(x) = -]r+l

^,^unde

l = {x e Zl _-2= _{'*= '}

" ^},

2"'''--

⁵

c)

f ^: {1; 1; _-ll' ^0; ^l;

^2;

^3} ⁺ ^{R,/(-x) =}

lxl

-

^2.

lx-1. dacdx<0

{7.

Se considerd

funcfia/: {-2;

^_1;

^0; l; 3} +

^IR,

/(x) =lZ.,' aex

^>

0

Determinafi numerele reale

a,

b,

c

_Si

d,

^gtiind

cI

^punctele

A(1;

a),

B(-l; b), C(l; c + 4)

^qi

D(3; 64

aparyn

graficului

funcfiei.

{

8.

Reprezentafi grafic

funcfiile:

a)f : {-2;_.l; l;21-+ IR,/(x) = 1;

x

b)f : {-3;-1;0;3} -+ IR,/(x) =

lxl;

c)f

:

{1;-l;l;4} -+R.,/(x)=-lxl.

@

{9'seconsiderifunclia/:{-3;-2;0;l;2}+lR''/(x)=ax*b'Determinafia'belR'

qtiind c5

punctele

A(a; _-8) ^gi B(2;4) aparfin graficului func{iei.

Reprezentali grafic funcfia.

20. Demonstrali

cdnu

existi o funcfie/:

IR

+

^IR,astfel inc6t, pentru orice numdr ^realx, sd

avem:/(x)

⁺

f ^(2-.r)

⁼^x

⁺

^1'

2{.

Consider6m

functia/:

N*

-) N., unde/(r)

este numdrul

divizorilor lui

^z.

a)

Calculafi/(2),f (4),f (8\,f ^(24),f

^(36\.

b) caracteriza{i numerele x pentru cate

f

^(x)⁼²

^,

apoi pe cele pentru care

f

^(x)^{= )}^'

22.

seconsideri

tuncfia/: A -+ z,unde I =

{, ^. ,ll+l<zj,f*>

⁼t*t.

a) Determina(i elementele

mullimilorl

^qi

Iml

b) Reprezenta{i grafic funcfia.

c) Calculafi suma elementelor

multimii Iml

l2x-2,

^dacdx^<

-l f(*) =],

⁺

t,

dacd

xe

_{0;

l}

^.

ll* ^-2,

^dacd^x^>^I

q HI

l-{l-{

o

o vt

o G xi

.9 +-(, Eq)

o

9 =

(9)

23. Fie func[iaf

:

N -+ N,/(.r)

₌ultima cifrE a numErului natural x2.

a) Determina{i

Iml

b)

Calcula{i/(0) +/(l) +f

(2)

+ ... +f

(21).

24. Fie func[iaf

:

N -+ N,/(x)

₌ultima cifr5 a numtrrului natural 3*.

a) Determinati

Iml

b) Catuilalif(o) +/(l)

+

f

⁽²⁾

^{+ ...}

⁺

f

^(32).

Exempler

1. Determinali func{ia liniard al cdrei grafic trece prin punctele

A(-l;7)d _{B(l; -3).}

Solu{ie:

Fie

f

^:^IR

^-+ IR.,/(x) =

^a)c

* b.

Dacd,

A(-l; 7) e G7+ f(t) ⁼ 1 9i/(_l)

=

-e ⁺

^b

+

--a

*

_{b =}

_-7.

Dacd

B(l; 1) e

G1

+ f(l)

⁼

-3 $i,f(l) = a *

b

+ a +

b =

i.

Adun6ndceledoudrelafii,seobfine2b=-r},h"*a"a=-siilpoi a=2>"f(x)=?sc-3.

2.

Se

consideri tuncfiile/, R+IR.,/(x) - ^+2x - ^f tig(, = _2x *i.-6eterminali

punctul _deintersecfie al graficelor celor dou6

functii.

Solufie:

Gy

A

G, ₌M(x;

y) > f

^(x)⁼

^y

^qi

^g(r)

=

y > f ^(x\- ^g(x) +

^2x

^_ I

= _2x

+

3

+

>

_{4x = 4}

₊

x

= I ) _!=

¹

+ M(l; l).

E'I

H l{

l.{

E'

vtC' c,

G ti

_(,

E o

Eq)

o

=

10

'1. Reprezentali grafic

funcfiile:

a)/: R + iR,/(x) =2x* ti c)/: R -+ IR,/(x) = l;

e)/:lR -+ IR,/(x) =0,2x-3;

I.

Reprezentali

grafic func[iaf

:

a)f

_{(x) =}

1x ^*

^2;

d)f

(x) = ^0,5x

*

0,2;

c)f

(x)

- 4x;

f)f(x)= {3* _-2.

d)

f

^:

^(-a431 + R,/(r)

₌

! ₊ \ O t I octivitdti de ?nvdlore O I a

b)/:R+IR,/(r)=fu.

d)/:R+IR,/(x)=-y.

f)"/:R+R,/(x) =Jix-r.

iR

-+

^R.

in

fiecare dinhe situaliile:

b).f(x)=1,

e)f(x)=-x*3;

3'

Reprezentafi grafic ln acelagi sistem de axe

funcfiilel

g : IR

-+

IR ln fiecare

dinte

cazurile:

a)f(x) _=2x I I _9ig(x)

₌x

-2i b)"f(x)=-3x+

2 _Sig(x)

=:2x-3i

c)f (x)=3x- I qig(x) =4x-3; ^d)f ^(x)=x*

⁵

_{pigd) =} 2x+7.

4.

Se consider[

funcfiile/:

]R

+ ^R,.f(x) ₌

3.r

+ I

_9i

g:

IR

-+

^lR,_{S(x) =}3x

_ 2.Trasafi in

acelagi sistem de axe de coordonate graficele celor

doul func]ii. ce

observafi?

5.

Reprezen

tali

^graficfu nctiile :

a)f:[1;2) + R,/(x)=-x* 5l b)/: (-o; 2)-+tR,/(x) _=x *

3i

AntON NEGRILA

AntON NEGRILA

Maria NEGRILA

alx0brl

x00m0il10

pot fl

http://www.editu

olam0ulil'n

mftoa a ll-a

edifia aY-a, revizuit5

mril 1000 - oonmlidun

€uprlnl aue[nna

Capltolul II.

...

autoeyaluare

Capltolul IIL

ecuafll... ....,...

I

doui necunoscute

I

neeunoscute

Tipuri

sisteme...

Capltolul IV.

rlrtemelor

ln

cotidian6...

...,...

auloevaluare

Capltolul

aplicatl ln

ootidian[.,,,,

j6

autoevaluare

Capltolul VI. Inecuafll

I

necunorcutl

...,,,..

Capltolul VII.

pentru recrpltulrren fln0ll

l,

numlr

Divizibilitate

Proporfionalitate...,,,,,,

Procentc..

algebric

aritmetic[

ecuafii,...,,...

I

neounoscut[,,,...

Funcfii

9,Inecualii..

prin

...,.,.

I...,...,..

.,,,....,,,,,,,..

Capltolul III. Trunchlul

plramldl

Exerc$l

recrpltulrtlve

evrlumer flnall

teile

llnsll

al

--##ffiffinffi" Capltolul I

Fxsmx***

fp Competenfe specifice

unor

funclii

Utilizarea valorilor unor funclii in

unor ecuafii

unor inecua[ii

in diverse moduri

unor corespondenle

unor funclii in

prin reprezentlri

unor nofiuni

geometrie planl

Fie I gi B doui mul(imi. Daci printr-un procedeu oarecare facem

element din mulfimet A sil-i corespundi un singur element din mulfimea B, vom

mftoa ^a ^ll-a

mril ¹⁰⁰⁰ - oonmlidun

--##ffiffinffi" _Capltolul _I

Fie I ^gi B doui ^mul(imi. Daci printr-un procedeu oarecare facem

Multimea I ^se

^domeniu ^de ^definifie ^al ^func1iei, ^iar ^mulfimea ^B

^{valori in}

fi ^notatlf

^A + B. Citim

f ^: ^A ^-+ ^B.

f ^{(x) dinB}

^definilie;

funcfie/: _{A -+ B,}