Кольцо тропических вееров

Де Кончини и Прочезе [11] определили кольцо условий для любых одно- родных сферических пространств. Кольца условий можно рассматривать как обобщение классического исчисления Шуберта: для многообразий флагов ре- дуктивных групп, являющихся компактными однородными пространствами, кольца условий и исчисление Шуберта совпадают. К сожалению, кольца усло- вий некомпактных сферических пространств трудно описывать. В настоящее время существуют описания таких колец лишь для некоторых пространств.

Эти описания найдены с помощью эквивариантных когомологий. Для класса орисферических однородных пространств, содержащего и группу (C\ {0})ⁿ, и все многообразия флагов, известно описание кольца условий, близкое к опи- санию такого кольца для(C\ {0})ⁿ, изложенному в настоящем обзоре; см. [24].

порожденные |σ¹_i|, |σ²_j| соответственно. Индексом пересечения c(0) вееровF1

и F2 назовем

XC_i,jc₁(σ_i¹)c₂(σ²_j), (4.3) где суммирование происходит по всем a-допустимым парам σ¹_i, σ_j² для како- го-нибудь общего вектора a ∈ Rⁿ (можно показать, что если вееры F1, F2

удовлетворяют условию сбалансированности (4.2), то сумма (4.3) не зависит от выбора общего вектораa).

Замечание 4.2.2. (i) Определение индекса пересечения можно понимать неформально следующим образом: сдвинем второй из пересекаемых вееров на векторa, тогда для aобщего положения он трансверсально пересечет первый веер по конечному числу точек, что даст нам возможность приписать каждой такой трансверсальной точке пересечения вес, как в формуле (4.3), и назвать индексом пересечения взвешенное число точек пересечения.

(ii) При таком взгляде становится очевидной аналогия с определением коль- ца условий, где для определения индекса пересечения одно из пересекаемых подмногообразий также сдвигалось на элемент общего положения. (Мы не бу- дем углубляться в формализацию этой аналогии.) В этом смысле структура кольца, которую мы введем на пространстве тропических вееров в следующем пункте, может рассматриваться как аналог кольца условий в тропической ал- гебраической геометрии.

4.2.1.4. Рассмотримk-веер F1 иm-веерF2 из множестваTRn(Λ)всех сба- лансированных Λ-взвешенных вееров. Пусть dравно n−(k+m). Еслиd <0, тоF1×F2= 0. Еслиd= 0, топроизведением F =F1×F2называется0-веер F ={0}с весомc(0), равным индексу пересечения вееровF1иF2 (определен выше).

Определим d-веер F =F1×F2 дляd >0. Предположим, чтоF1 и F2 – подвеера полного веера G. Тогда F = F1 ×F2 – также подвеер веера G. Вес c(δ) конуса δ из G с dimδ = dопределяется следующим образом. Пусть L – пространство, порожденное|δ|, и пусть(F1)_δ и(F2)_δ будут взвешенными подвеерами вееров F1 и F2, содержащими все конусы этих вееров, которые содержат конусδ. Весc(δ)конусаδвF =F1×F2 равен индексу пересечения образов при факторизации (F1)_δ и (F2)_δ в факторпространствеRⁿ/L, осна- щенном факторрешеткой Zⁿ/(L∩Zⁿ)(заметим, что эти образы имеют в фак- торпространстве дополнительную размерность и потому их индекс пересечения корректно определен).

Замечание 4.2.3. Это определение, в частности, позволяет определить ин- декс пересечения нескольких вееровFi суммарной коразмерностиnкак крат- ность нульмерного веера – их произведения. Из определений легко заметить, что если коразмерности всех вееров равны 1 (так что вееры являются тропиче- скими гиперповерхностями), то этот индекс пересечения совпадает с введенным в п.3.1.

4.2.2. Тропикализация кольца Rn(Λ). Пусть M∆ – гладкое полное ториче- ское многообразие, построенное по n-мерному многограннику ∆, и ∆^⊥ – его двойственный веер. Рассмотрим TRn(Λ,∆) ⊂ TRn(Λ) – кольцо сбалансиро- ванных Λ-взвешенных вееров, равных Λ-линейным комбинациям конусов из веера∆^⊥. Следующие теоремы доказаны в [19].

Теорема 4.2.4 [19]. Кольцо TRn(Λ,∆) изоморфно кольцу когомологий H^•(M_∆,Λ). КомпонентаTRn(Λ,∆),содержащая k-вееры,при этом изомор- физме соответствует H^2n−2k(M∆,Λ).

Теорема 4.2.5 [19].Кольцо условийRn(Λ)изоморфно тропическому коль- цу TRn(Λ)всех Λ-взвешенных вееров. (КольцаRn(Z),Rn(C)имеют схожее описание.)

В частности, так как вложения TRn(Λ,∆) ⊂TRn(Λ) по всем ∆ исчерпы- вают кольцо TRn(Λ), то упоминавшиеся ранее (см. формулу (4.1)) вложения H^•(M,Λ) ,→ Rn(Λ) по всем гладким полным торическим многообразиям M исчерпывают кольцо условий.

Наша дальнейшая цель – описать явно изоморфизмы из двух предшествующих теорем. Изоморфизм кольца когомологий очевиден: класс α∈ H^2n−2k(M,Λ) переходит в тропический веер, состоящий из k-мерных конусов C веера ∆^⊥, которым приписаны весаα·T_C (напомним, чтоT_C – орбита торического мно- гообразия, соответствующая конусуC).

Изоморфизм кольца условий с кольцом тропических вееров требует некоторо- го дополнительного обсуждения, которому посвящены два следующих пункта.

4.2.3. Теорема Кушниренко–Бернштейна и кольцоRn(Λ). Пусть{Γ_i} – се- мейство n гиперповерхностей в (C^∗)ⁿ, определенное уравнениями Pi = 0, где Pi – полиномы Лорана с многогранником Ньютона ∆i. Теорема Кушнирен- ко–Бернштейна (теорема 2.2.1) может быть сформулирована следующим об- разом.

Теорема 4.2.6. Индекс пересечения гиперповерхностей Γi в кольце усло- вий равен целочисленному смешанному объему многогранников∆1, . . . ,∆n.

ПустьFi– тропический(n−1)-веер, двойственный∆_i(см. определение3.3.2).

Согласно замечанию4.2.3тропическая теорема Кушниренко–Бернштейна3.1.3 означает для этих вееров следующее.

Теорема 4.2.7. Индекс пересечения гиперповерхностей Γi в кольце усло- вий Rn равен индексу пересечения тропических вееровFi в кольцеTRn.

Таким образом, теорему4.2.5можно рассматривать как обобщение теоремы Кушниренко–Бернштейна.

В частности, при отождествлении Rn сTRn каждая гиперповерхность от- правляется в двойственный тропический веер многогранника Ньютона ее урав- нения. Так как оба кольца порождены своими одномерными компонентами, это замечание уже однозначно определяет их отождествление.

Однако тропический веер, соответствующий циклу произвольной коразмер- ности, можно указать и более явно. Этому посвящен следующий пункт.

4.2.4. Тропические вееры подмногообразий тора. Каждомуk-мерному мно- гообразию V ∈(C\ {0})ⁿ соответствует его класс в кольце условий, который кодируется некоторым тропическим веером TV – тропикализацией V. Опи- шем этот веер более явно. Мы уже описали явно тропикализацию нульмерных циклов и гиперповерхностей, теперь сделаем это для произвольного k.

Носитель веераTV – это k-мерный остовΣполного веера такого, что соот- ветствующее торическое многообразие X является хорошей компактификаци- ейV, т. е. замыканиеV пересекает орбиты коразмерностиkпо изолированным точкам. Благодаря этому для каждой такой орбиты σ корректно определен ее индекс пересечения iσ с V. Приписывая в веере Σ весiσ конусу, соответ- ствующему орбитеσ, мы превращаемΣв сбалансированный взвешенный веер, который равен тропикализацииTV.

Оказывается (см. [62]), что при подходящем выборе веераΣзамыканиеV бу- дет обладать свойством Коэна–Маколея в каждой точке пересечения сk-мерной орбитой σторического многообразияX, что упрощает алгебраическое вычис- ление индекса пересечения iσ (см., например, явную алгебраическую формулу в [43]).

4.2.5. Связь с теоремами соответствия. ПустьA∋0 – конечное множество мономов двух переменных, обозначим черезC^A1 пространство всех полиномов – линейных комбинаций этих мономов, имеющих свободный член 1. Напомним, что многообразие СевериS_dплоских кривых сdнодами – это замыкание в про- странстве C^A1 множества всех полиномовϕтаких, что уравнениеϕ= 0задает в(C\ {0})²приведенную неприводимую кривую сdпростыми самопересечени- ями и без других особенностей.

Теорему соответствия Михалкина можно следующим образом проинтерпре- тировать в терминах тропического веераTS_d многообразия Севери.

Теорема соответствия изучает количество кривых из Sd, проходящих через данный набор q точек плоскости z₁, . . . , z_q общего положения (для того един- ственного q, при котором указанное количество кривых положительно и ко- нечно).

Обозначив через Hi ⊂ C^A1 гиперплоскость инцидентности {ϕ | ϕ(zi) = 0}, заметим, что искомые кривые соответствуют точкам пересечения многообра- зияSd и гиперплоскостейHi.

Таким образом, искомая величина – индекс пересеченияSdи плоскостейHi, а он равен индексу пересечения их тропических вееров TSd и THi. Этот ин- декс пересечения по определению равен взвешенному числу точек пересече- ния TS_d и тропических гиперповерхностей N_i, представляющих собой сдвиги вееровTHi на векторы общего положения.

Тропическую гиперповерхностьN_i можно интерпретировать как множество инцидентности: объемлющее пространство T^A1 будем рассматривать как про- странство тропических полиномов с носителем A∋0и единичным свободным членом, а N_i определим как{ϕ|ϕ(z_i) = 0}, гдеϕ– тропический полином,z_i – точка общего положения тропической плоскости, а равенство нулю понимается так же, как в п. 3.1 (т. е. точка z_i лежит на тропической кривой, задаваемой полиномомϕ).

Тогда оказывается, что полиномыϕj, являющиеся точками пересеченияTSd

и N_j, задают в точности нодальные тропические кривые в смысле теоремы соответствия Михалкина, проходящие через точки общего положения zi.

Таким образом, если нам известен тропический веер многообразия Севе- ри Sd, мы можем вывести из этого описания тропическую теорему соответ- ствия для кривых с d простыми самопересечениями. (Заметим, однако, что этот тропический веер полностью известен только для малых d.)

Более общим образом, если A – конечное множество мономов от n пере- менных, а S ⊂ (C\ {0})^A – замыкание множества всех полиномов ϕ таких, что гиперповерхность ϕ имеет предписанный набор особенностей, то знания тропического веераTSдостаточно, чтобы установить тропическую теорему со- ответствия для гиперповерхностей с данным носителем уравнения и данным набором особенностей.

В частности, такое знание имеется для множества всех гиперповерхностей с одной нетривиальной особенностью, т. е. дляA-дискриминанта Гельфанда–Зе- левинского–Капранова [21]. Это позволило в работе [45] получить тропическую теорему соответствия для таких гиперповерхностей. В п. 3.5 набросок этого вывода дан для случаяn= 2.

В качестве следующего шага в работе [16] описан тропический веер множе- ства гиперповерхностей с двумя нетривиальными особенностями (см. также [12]

для случая n= 1). Это описание основано на исчислении характеристических классов подмногообразий комплексного тора со значениями в кольце условий.

Этому исчислению посвящен следующий пункт.

4.3. Тропические характеристические классы. Обозначим для крат-