Теория многогранников Ньютона изучает инварианты множества решений общей системы уравнений φ = 0, составленной из заданного набора мономов A, в терминах инвариантов многогранника Ньютона convA. Поэтому любое проективное торическое многообразие можно представить как многообразие XA для A, которое нельзя поместить в подходящую подрешетку решетки L путем параллельного переноса. я). Более того, поскольку по ценностному критерию полноты каждая точка из ⊂A не содержит точек торического варианта XA.
Однако согласно приведенному выше следствию формулы (2.1) такая точка пересечения (C\ {0})B ∩XA не только пуста, если B — сторона A, т.е. отсюда следует, что торическое многообразие XA можно восстановить по двойному вееру ΣA в множестве A, не зная самого этого множества. Хотя A не является целозамкнутым, вложение тора T в торические многообразия XA и XΣA продолжается в отображение XΣA→XA, которое является нормализацией XA.
Hn в тропическом торе пересекаются Rn = (T\0)n трансверсально, если они пересекаются в конечном числе точек и в достаточно малой окрестности каждой точки их пересечения каждая из гиперповерхностей Hi напоминает гиперплоскость, т. е. Для ковекера γ в положительном октанте сетки ZA определим многогранник Nγ ⊂ Rn+1 как подграф неотрицательной функции γe из определения 3.3.3. Пусть e⊥i (O)εΛn−kL⊥i обозначает вектор размерности n−k такой, что: 1) целочисленный объём |e⊥i (O)| в L⊥i равен единице; 2) ориентация e⊥i (O) индуцируется ориентацией O конуса |σi| и стандартная ориентация Rn.
Пусть α ∈ L∗Σ — произвольный ковекор пространства LΣ и пусть αe ∈ (Rn)∗ любой ковекор пространства Rn со свойством π∗(α) =e α, где π: LΣ → Rn — естественное вложение. Билинейная форма BL на алгебре A со свойствами (a)–(c) невырождена тогда и только тогда, когда функция L не равна нулю ни на одном ненулевом элементе m идеального человека. Классическая формула Левина–Эйзенбуда вычисляет индекс векторного поля V в точке 0: индекс поля V равен сигнатуре квадратичной формы K на алгебре A, определяемой равенством K(f) = L( f2), где L — любая вещественная R-линейная функция на A такая, что L(J)>0.
Обозначим через ∆−A многогранник ∆, параллельно смещенный вектором −A, а Λ(∆, A) ⊂ Zn — полугруппу, состоящую из всех целых точек, лежащих в минимальном вещественном конусе, содержащем многогранник ∆−A. Отображение моментов принимает значения в коалгебре Ли в группе Tn, которая естественным образом отождествляется с пространством характеров Rn.).
Введение
Многогранники Ньютона
Торические многообразия
Тропическая геометрия
Кольцо условий
Тропикализация многообразий тора
Тропические компактификации
Конус Бергмана, универсальный базис Грёбнера, неархимедовы
Связи с вещественной алгебраической геометрией
Многогранники Ньютона и торические многообразия
- Смешанный объем
- Многогранники Ньютона
- Торические многообразия и многогранники
- Торические многообразия и вееры
- Торические разрешения и компактификации
Однако заметим, что торическое многообразие XA не меняется при параллельных сдвигах множества A (т. е. XA = XA+a для любого a ∈ L) и при изменениях объемлющей решетки (т. е. XA = XB, если B ⊂L ′ картину A при вложении сетей L⊂L′). В силу компактности XA для каждого ростка аналитической кривой φ: (C\ {0}) → T ее предел limt→0jA(φ(t)) содержится в XA. Вариация XA накрывается отображениями XA∩Ma,aاA, которые по построению являются аффинными многообразиями и будут обозначаться XAa.
Тропическая геометрия и A-дискриминанты
- Тропическая геометрия
- Тропическая теорема соответствия
- Опорные функции и вторичные многогранники
- Результанты и дискриминанты
- Доказательство теоремы соответствия в простейшем случае
Вторичным многогранником множества A ⊂ Zn называется многогранник SA ⊂ RA, опорная функция которого на ковекторе γ ∈ RA с координатами γa, a ∈ A равна интегралу от минимальной выпуклой вверх функции eγ: convA→R, для которой eγ (a )>γa для всех aεA. Соответствующая область линейности опорной функции SA(·) состоит из всех γ, для которых функция eγ линейна на каждом из симплексов Ti. Согласно замечанию 3.3.1, (ii), опорную функцию (n+ 1)!SA(·) можно рассматривать как тропический многочлен SA с многогранником Ньютона (n+ 1)!SA.
Кольцо условий комплексного тора и тропические вееры
Кольцо условий
Пусть Sr — подмножество множества всех подмногообразий в (C∗)n, так что каждый X в Sr может быть определен системой полиномов Лорана, многогранники Ньютона которых лежат в сфере радиуса r. Существует ньютоновский многогранник ∆r такой, что проективное торическое многообразие M∆r, соответствующее ∆r, является гладким и дает хорошую компактификацию для любого X ∈ Sr. Цикл X определяет элемент ρ(X) из H2(n−k)(Mn,Λ), значение которого на замыкании Oi произвольной орбиты Oi размерности n−k в M равно индексу пересечения ⟨X, Ой⟩.
Пусть W — (k+1)-мерное алгебраическое подмногообразие M, π:Wf→W — естественный проектор на многообразие W его нормализации Wf, f — рациональная функция на fW и (f) простой делитель этой функции на Wf. Два цикла X ∈ Ak(M) и Y ∈ Am(M) алгебраически трансверсальны, если их пересечение X∩Y либо пусто, либо имеет коразмерность в многообразии M, равную k+m. Теорема Чжоу позволяет задать градуированную группу Чжоу A∗(M) гладкого квазипроектирующего многообразия M со структурой кольца с умножением Ak(M)×Am(M)→Ak+m(M) такую, что для трансверсальных алгебраических циклов X, Y их произведение равно X·Y.
Для класса однородных орисферных пространств, содержащих множество (C\ {0})n и все многообразия флагов, известно описание кольца состояний, близкое к описанию такого кольца для (C\ {0})n представленные в этом обзоре; см.
Кольцо тропических вееров
Вес c(δ) конуса δ в F = F1×F2 равен индексу пересечения образов при факторизации (F1)δ и (F2)δ в фактор-пространстве Rn/L, снабженном фактор-решеткой Zn/ (L∩Zn) (заметим, что эти образы на самом деле обладают пространством тора, имеют дополнительную размерность и, следовательно, индекс их пересечения определен правильно). В частности, поскольку вложения TRn(Λ,∆) ⊂TRn(Λ) по всем ∆ исчерпывают кольцо TRn(Λ), то упомянутые ранее (см. Индекс пересечения гиперповерхностей Γi в кольце состояний Rn равен индексу пересечения тропических вееров Fi в кольце TRn.
Носителем веера TV является k-мерный остов Σ полного веера такой, что соответствующее торическое многообразие X является хорошим компактированием V, т.е. Напомним, что многообразие SeveriSd плоских кривых с dузлами является замыканием в пространстве CA1 множества всех полиномов φ таких, что уравнение φ = 0 определяет в (C\ {0})2 приведенные неприводимые кривые с простыми самопересечениями и без других характеристик. Обозначим через Hi ⊂ CA1 гиперплоскость инцидентности {φ | φ(zi) = 0}, заметим, что искомые кривые соответствуют пересечениям многообразия Sd и гиперплоскостей Hi.
Таким образом, искомой величиной является индекс пересечения Sd и плоскостей Hi, равный индексу пересечения их тропических вееров TSd и THi. Этот индекс пересечения по определению равен взвешенному числу пересечений TSd и тропических гиперповерхностей Ni, которые являются смещениями вееров Thi векторов общего положения.
Тропические характеристические классы
Хорошие компактификации подмногообразий тора
- Теорема о тропическом базисе
- Замыкание многообразия X ⊂ ( C ∗ ) n в аффинном торическом
- Тропический базис идеала и замыкание многообразия его нулей
- Конус Бергмана многообразия X ⊂ ( C ∗ ) n
Даже если X неособо, то, вообще говоря, невозможно выбрать компактию MW, для которой X трансверсально орбитам многообразия MW или хотя бы гладко. Конечное множество {Qj} ⊂I называется тропическим базисом идеала I, если для любого порядка ξ идеал I(ξ) порождается полиномами Лорана {Q(ξ)j. Пусть для некоторого ξε |σ0| идеал I ⊂R имеет базис {Qj}, каждый элемент Qj которого является Σ-приводимым полиномом Лорана.
Многообразие MΓ является открытым по Зарискому подмножеством MΣ, которое является дополнением множества орбит, замыкания которых не содержат O1 (в частности, O1 ⊂MΓ). Кольцо регулярных функций R(O1) на торе O1 можно отождествить с подкольцом в R, состоящим из многочленов Лорана, многогранники Ньютона которых лежат в LΓ. Если все элементы тропического базиса {Qj} являются Σ-приводимыми полиномами Лорана, то множество предельных точек многообразия X1 на орбите O совпадает с многообразием X0.
Пусть в каждой орбите Oi торического многообразия MW зафиксировано алгебраическое многообразие Yi⊂Oi. Будем говорить, что множество подмногообразий Yi ⊂Oi замыкающе состоятельно, если для любой пары орбит Oj и Oi. Будем говорить, что веер W торического многообразия MW подходит для этого базиса, если все {Qj} являются Σ-приводимыми полиномами.
O многообразие MW, для которого X ∩O ̸= ∅, образует торическое подмногообразие MW(X) в MW; .. 2) если все компоненты многообразия X имеют размерность m, то для орбиты O ⊂MW(X) коразмерностей k каждая компонента пересечения X∩O имеет размерность m−k.
Кольца с двойственностью Горенштейна
Двойственность Горенштейна
Чтобы сформулировать следующую теорему, нам понадобится определение m-мерного скелета Wm веера W: Wm — подвеер в W, содержащий все конусы из W, размерность которых меньше или равна m. Связь позволяет каждому подпространству M ⊂M1 сопоставить ортогональное пространство M⊥ ⊂M2, состоящее из всех векторов b ∈ M2 таких, что B(a, b) = 0 для любого a ∈ M. Тогда для каждого a ∈ J справедливо равенство BL(bc, a) =L(bca) = 0, поскольку caεJ. Следовательно, J⊥L — идеал в алгебре A. 2) Ядро ядра ортогонально форме BL алгебры A.
Аннулятор Яна идеала J ⊂A — это идеал, состоящий из всех элементов a ∈ A таких, что ab = 0 для всех элементов b ∈ J. Если функция L обращается в нуль на ненулевом элементе a ∈ man, то элемент a принадлежит ядру формы BL, и, следовательно, форма BL вырождена. Если размерность k-линейного пространства man больше единицы, то каждая линейная функция L обращается в нуль на некотором ненулевом элементе aεman.
Если космический человек одномерен и L на человеке не равно нулю, то форма BL невырождена. Каждой линейной функции L ∈A∗ соответствует множество JL ⊂A, состоящее из всех элементов w, для которых функция Lw=ρ(w)L тождественна нулю. Если F — многочлен степени 6k (или однородный многочлен степени k), то Fv′(x) как функция производной точки x является многочленом степени 6k−1 (соответственно однородным многочленом степени k − 1).
Идеал IL(P) состоит из элементов wεS(M), для которых оператор D(w) сокращает ряд P (т.е. wεIL(P) тогда и только тогда, когда все члены формального ряда ρ(w) ( P) тождественно равен нулю).
Гомологии гладких торических многообразий и кольца пересе-
Для любой общей линейной функции ξ на простом многограннике ∆ число вершин hi(ξ) индекса i равно hi(∆). Многообразие MW, где W = ∆⊥ и ∆ — один целочисленный многогранник, имеет гомотопический тип комплекса CW, содержащий только четномерные клетки, а число 2i-мерных ячеек равно hi(∆). Группа H2i(MW,Z) при W = ∆⊥ порождается i-мерными торическими подмногообразиями T(Γk) в MW, которые являются замыканиями орбит OΓk, dimCOΓk = i, соответствующих ξ-различным плоскостям Γk, dimRΓk=i многогранника ∆.
Тогда многообразие MW, где W = ∆⊥, имеет структуру алгебраического комплекса CW, ячейки которого взаимно однозначно соответствуют вершинам многогранника ∆. По определению главный делитель функции P на торе (C∗)n равен дивизору X, поэтому главный делитель функции P на MW. Здесь мы говорим, что плоскости Γi, Γj ⊂ ∆ пересекаются трансверсально, если их пересечение пусто или если размерность плоскости Γ = Γi ∩ Γj равна dim ∆−dim Γi−dim Γj.
Грани Ti, нетрансверсально пересекающие Γ1, также должны быть заменены линейными комбинациями граней, которые пересекаются с Γ1 еще меньшей размерности и т. д. В этом разделе мы описываем кольцо пересечений в MW, используя алгебраические циклы в (C∗)n и информация об их закрытии в МВт. Алгебраическое многообразие X ⊂(C∗)n, неприводимые компоненты которого имеют размерность k, называется W-многообразием, если его замыкание X в MW не пересекает схемы O⊂MW такие, что dimCO < n−k.
Для W-многообразий X и Y существует открытое по Зарискому множество U ⊂ (C∗)n такое, что для всех g ∈ U многообразия X и gY пересекаются в торе (C∗)n и для каждой орбиты O ⊂MW многообразие O∩ X и O∩gY пересекает O трансверсально.
Кольца условий и пересечений как алгебры с двойственностью
Однородная компонента степени k идеала IL(B) состоит из линейных комбинаций X. ik)множества (∆i1,...,∆ik) k виртуальных многогранников из пространства L∆ таких, что для любого многогранника ∆e ∈ Л ∆ . Полином P соответствует идеалу IL(P) в алгебре Diff(L∆) линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в пространстве L∆, изоморфной алгебре S(L∆): идеал IL(P) состоит из всех операторов, которые аннулируют многочлен P. Однородная компонента степени k идеала IL(B) состоит из линейных комбинаций X. ik)множества (∆i1,...,∆ik) k виртуальных многогранников из пространства L таких, что для любой многогранник ∆e ∈LA. Линейная комбинация исчезает.
Кольцо Rn изоморфно подкольцу в алгебре Diff(L)/IL(P), порождённому образами при факторизационном гомоморфизме операторов целочисленного умножения и операторов дифференцирования по векторам из группы G .
Кольцо условий пространства C n
- Введение
- Плотности и пересечения EA-множеств
- EA-множества и тропическая алгебраическая геометрия
- Экспоненциальная теорема BKK
С множеством EA мы связываем алгебраический подвариант многомерного комплексного тора, который называется моделью множества EA; В определении слабой плотности и индекса пересечения мы используем группу G такую, что уравнения множеств EA X, Y принадлежат кольцу EG. Равномерные наборы советников
R2) слабая плотность множества ЭА постоянна на классах числовой эквивалентности; отображение dw:EG,n →ϖ(G)Z является изоморфизмом групп; Чтобы определить слабую плотность множества EA (см. определение 7.2.12), мы рассматриваем его как пересечение алгебраического многообразия, называемого моделью множества EA, с многомерной обмоткой комплексного тора; см. Любое множество ЭА представляется как объединение конечного числа множеств ЭА одинакового размера с разными алгебраическими коразмерностями.
Пусть тор T на EA-множестве задан как системы нулевых многообразий экспоненциальных сумм из кольца EG. Именно использование такого действия тора T позволяет правильно определить слабую плотность множества ЭА коразмерности n, а затем определить индекс пересечения I(X, Y) множеств ЭА X,Y дополнительных со -размеры; см.
Тогда существует RFD U ⊂ReCn такая, что для любого множества EA Z алгебраической коразмерности n−codimaX−codimaY индексы пересечения I(X∩ (z+Y), Z) одинаковы для zεU + ImCn.
