7. Кольцо условий пространства C n
7.4. Экспоненциальная теорема BKK
Следствие 7.3.11. Кольцо условийEGизоморфно факторкольцуTropT/JY. Другими словами,гомоморфизмsиз теоремы7.3.9можно описать как отоб- ражение факторизации TropT→TropT/JY.
Следствие 7.3.12. Операция произведения в кольце EG определяет невы- рожденное спаривание EG,p×EG,n−p→R.
В заключение приведем одно из геометрических описаний кольца EG. Рас- смотрим многогранники Ньютона экспоненциальных сумм из кольца EG, т. е.
выпуклые многогранники в пространствеRe(Cn)∗ с вершинами в точках груп- пы G. Обозначим через H порожденное ими векторное пространство вирту- альных выпуклых многогранников. Пусть S(H) = X
m>0
Sm – симметрическая алгебра векторного пространства H. Обозначим через I линейный функ- ционал на пространстве Sn(H), который на произведении многогранников Λ1· · ·Λn равен смешанному объему многогранниковΛi. Свяжем с функциона- ломI однородный идеал J ⊂S(H), порожденный следующими множествами образующих: 1)kerI, 2) X
m>n
Smи 3){s∈Sk |s·Sn−k⊂kerI, k= 1, . . . , n−1}.
Теорема 7.3.13. Для экспоненциальной суммы f ∈EG обозначим через∆f ее многогранник Ньютона,а через Xf – экспоненциальную гиперповерхность с уравнением f = 0. Тогда соответствиеXf →∆f продолжается до изомор- физма колецEG⊗ZR→S(H)/J.
7.4. Экспоненциальная теорема BKK. Следующую ниже теорему7.4.1
Из теоремы7.4.1вытекает формула Кушниренко–Бернштейна для квазиал- гебраических экспоненциальных сумм (теорема 7.2.17). Действительно, пусть X1, . . . , Xn– квазиалгебраические экспоненциальные гиперповерхности, задан- ные уравнениями fi = 0, иMi – модели EA-множеств Xi. Эти модели явля- ются алгебраическими гиперповерхностями. Пусть Ki – тропикализации этих гиперповерхностей. Из предыдущего вытекает, что
I(X1, . . . , Xn) =Y(K1· · ·Kn).
Применяя теорему7.4.1, получаем, что
I(X1, . . . , Xn) =c(n) MV(∆1, . . . ,∆n),
где ∆i – многогранники Ньютона экспоненциальных суммfi. Значение n!/(2π)n множителяc(n)легко установить, рассматривая простейший случайfi= ezi−1.
Список литературы
[1] Л. А. Айзенберг, А. П. Южаков,Интегральные представления и вычеты в мно- гомерном комплексном анализе, Наука, Новосибирск, 1979, 367 с.; англ.
пер.: I. A. A˘ızenberg, A. P. Yuzhakov, Integral representations and residues in multidimensional complex analysis, Transl. Math. Monogr., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, x+283 pp.
[2] А. Д. Александров,Геометрия и приложения, Избранные труды,1, Наука, Но- восибирск, 2006, lii+748 с.
[3] G. M. Bergman, “The logarithmic limit-set of an algebraic variety”, Trans. Amer.
Math.Soc.,157(1971), 459–469.
[4] Д. Н. Бернштейн, “Число корней системы уравнений”,Функц.анализ и его прил., 9:3 (1975), 1–4; англ. пер.: D. N. Bernstein, “The number of roots of a system of equations”,Funct.Anal.Appl.,9:3 (1975), 183–185.
[5] B. Bertrand, E. Brugall´e, G. Mikhalkin, “Genus 0 characteristic numbers of the tropi- cal projective plane”,Compos.Math.,150:1 (2014), 46–104; 2013 (v1 – 2011), 55 pp., arXiv: 1105.2004.
[6] E. Bombieri, D. Masser, U. Zannier, “Anomalous subvarieties – structure theorems and applications”,Int.Math.Res.Not.IMRN,2007:19 (2007), rnm057, 33 pp.
[7] M. Brion, “Piecewise polynomial functions, convex polytopes and enumerative geom- etry”,Parameter spaces(Warsaw, 1994), Banach Center Publ.,36, Polish Acad. Sci.
Inst. Math., Warsaw, 1996, 25–44.
[8] M. Brion, “The structure of the polytope algebra”,Tohoku Math.J. (2),49:1 (1997), 1–32.
[9] E. Brugall´e, I. Itenberg, G. Mikhalkin, K. Shaw, “Brief introduction to tropical ge- ometry”, Proceedings of G¨okova geometry-topology conference 2014, G¨okova Geome- try/Topology Conferences (GGT), G¨okova; International Press, Somerville, MA, 2015, 1–75.
[10] C. De Concini, “Equivariant embeddings of homogeneous spaces”,Proceedings of the International congress of mathematicians, v. 1 (Berkeley, CA, 1986), Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 1987, 369–377.
[11] C. De Concini, C. Procesi, “Complete symmetric varieties. II. Intersection theory”, Algebraic groups and related topics (Kyoto/Nagoya, 1983), Adv. Stud. Pure Math., 6, North-Holland, Amsterdam, 1985, 481–513.
[12] A. Dickenstein, M. I. Herrero, L. F. Tabera, “Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials”, Israel J. Math., 221:2 (2017), 741–777;
2016, 24 pp.,arXiv: 1601.05479.
[13] M. Einsiedler, M. Kapranov, D. Lind, “Non-archimedean amoebas and tropical vari- eties”,J.Reine Angew.Math.,2006:601 (2006), 139–157.
[14] А. И. Эстеров, “Индексы 1-форм, результанты и многогранники Ньютона”,УМН, 60:2(362) (2005), 181–182; англ. пер.:A. I. Esterov, “Indices of 1-forms, resultants and Newton polyhedra”,Russian Math.Surveys,60:2 (2005), 352–353.
[15] А. И. Эстеров, “Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньюто- на”,Матем.сб.,197:7 (2006), 137–160; англ. пер.:A. I. `Esterov, “Indices of 1-forms, intersection indices, and Newton polyhedra”, Sb. Math., 197:7 (2006), 1085–1108;
входит в:2010 (v1 – 2009), 35 pp.,arXiv: 0906.5097.
[16] A. Esterov, “Characteristic classes of affine varieties and Pl¨ucker formulas for affine morphisms”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 20:1 (2018), 15–59; 2016 (v1 – 2013), 44 pp., arXiv: 1305.3234.
[17] G. Ewald, Combinatorial convexity and algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 168, Springer-Verlag, New York, 1996, xiv+372 pp.
[18] F. Fillastre, “Fuchsian convex bodies: basics of Brunn–Minkowski theory”, Geom.
Funct.Anal.,23:1 (2013), 295–333; 2012 (v1 – 2011), 30 pp.,arXiv: 1112.5353.
[19] W. Fulton, B. Sturmfels, “Intersection theory on toric varieties”, Topology, 36:2 (1997), 335–353; 1994, 24 pp.,arXiv: alg-geom/9403002.
[20] A. Gathmann, M. Kerber, H. Markwig, “Tropical fans and the moduli spaces of tropical curves”, Compos. Math.,145:1 (2009), 173–195; 2009 (v1 – 2007), 23 pp., arXiv: 0708.2268.
[21] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky,Discriminants,resultants,and mul- tidimensional determinants, Math. Theory Appl., Boston, MA, 1994, x+523 pp.
[22] A. Gross, “Correspondence theorems via tropicalizations of moduli spaces”,Commun.
Contemp. Math., 18:3 (2016), 1550043, 36 pp.; 2016 (v1 – 2014), 32 pp., arXiv:
1406.1999.
[23] A. Gross,Refined tropicalizations for sch¨on subvarieties of tori, 2017, 18 pp.,arXiv:
1705.05719.
[24] J. Hofscheier, A. Khovanskii, L. Monin, Cohomology rings of toric bundles and the ring of conditions, 2020, 22 pp.,arXiv: 2006.12043.
[25] I. Itenberg, G. Mikhalkin, E. Shustin,Tropical algebraic geometry, 2nd ed., Oberwol- fach Semin.,35, Birkh¨auser Verlag, Basel, 2009, x+104 pp.
[26] I. Itenberg, E. Shustin, “Singular points and limit cycles of planar polynomial vector fields”,Duke Math.J.,102:1 (2000), 1–37.
[27] Б. Я. Казарновский, “О нулях экспоненциальных сумм”,Докл.АН СССР,257:4 (1981), 804–808; англ. пер.:B. Ya. Kazarnovskii, “On the zeros of exponential sums”, Soviet Math.Dokl.,23(1981), 347–351.
[28] Б. Я. Казарновский, “Экспоненциальные аналитические множества”,Функц.ана- лиз и его прил.,31:2 (1997), 15–26; англ. пер.:B. Ya. Kazarnovskii, “Exponential analytic sets”,Funct.Anal.Appl.,31:2 (1997), 86–94.
[29] Б. Я. Казарновский, “Укорочения систем уравнений, идеалов и многообразий”, Изв. РАН.Сер. матем., 63:3 (1999), 119–132; англ. пер.: B. Ya. Kazarnovskii,
“Truncation of systems of polynomial equations, ideals and varieties”, Izv. Math., 63:3 (1999), 535–547.
[30] Б. Я. Казарновский, “c-вееры и многогранники Ньютона алгебраических много- образий”,Изв.РАН.Сер.матем., 67:3 (2003), 23–44; англ. пер.:B. Ya. Kazar- novskii, “c-fans and Newton polyhedra of algebraic varieties”,Izv.Math.,67:3 (2003), 439–460.
[31] Б. Я. Казарновский, “О действии комплексного оператора Монжа–Ампера на ку- сочно линейных функциях”,Функц.анализ и его прил.,48:1 (2014), 19–29; англ.
пер.:B. Ya. Kazarnovskii, “On the action of the complex Monge–Amp`ere operator on piecewise linear functions”,Funct.Anal.Appl.,48:1 (2014), 15–23.
[32] Б. Я. Казарновский, А. Г. Хованский, “Тропическая нетеровость и базисы Гр¨ебнера”,Алгебра и анализ,26:5 (2014), 142–163; англ. пер.:B. Ya. Kazarnovski˘ı, A. G. Khovanski˘ı, “Tropical noetherity and Gr¨obner bases”,St.Petersburg Math.J., 26:5 (2015), 797–811.
[33] G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat,Toroidal embeddings.I, Lecture Notes in Math.,339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
[34] А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и торические многообразия”,Функц.
анализ и его прил., 11:4 (1977), 56–64; англ. пер.: A. G. Khovanskii, “Newton polyhedra and toroidal varieties”,Funct.Anal.Appl.,11:4 (1977), 289–296.
[35] А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и род полных пересечений”, Функц.
анализ и его прил., 12:1 (1978), 51–61; англ. пер.: A. G. Khovanskii, “Newton polyhedra and the genus of complete intersections”,Funct.Anal.Appl.,12:1 (1978), 38–46.
[36] А. Г. Хованский, “Геометрия выпуклых многогранников и алгебраическая геомет- рия”, В ст.: “Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского по диффе- ренциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (вторая сессия, 18–20 января 1979 г.)”,УМН,34:4(208) (1979), 160–161.
[37] А. Г. Хованский, “Гиперплоские сечения многогранников, торические многооб- разия и дискретные группы в пространстве Лобачевского”,Функц.анализ и его прил., 20:1 (1980), 50–61; англ. пер.: A. G. Khovanskii, “Hyperplane sections of polyhedra, toroidal manifolds, and discrete groups in Lobachevskii space”, Funct.
Anal.Appl.,20:1 (1986), 41–50.
[38] А. Г. Хованский, Малочлены, Библиотека математика, 2, Фазис, М., 1997, xii+217 с.; англ. пер.:A. G. Khovanski˘ı, Fewnomials, Transl. Math. Monogr., 88, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, viii+139 pp.
[39] A. Khovanskii, “Newton polyhedra and good compactification theorem”, Arnold Math.J., Publ. online: 2020, 23 pp.; 2020, 19 pp.,arXiv: 2002.02069.
[40] А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и неприводимые компоненты пол- ных пересечений”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:1 (2016), 281–304; англ. пер.:
A. G. Khovanskii, “Newton polytopes and irreducible components of complete intersections”,Izv.Math.,80:1 (2016), 263–284.
[41] A. Khovanski˘ı, V. Timorin, “On the theory of coconvex bodies”, Discrete Comput.
Geom.,52:4 (2014), 806–823; 2013, 17 pp.,arXiv: 1308.1781.
[42] A. G. Kouchnirenko, “Poly`edres de Newton et nombres de Milnor”, Invent. Math., 32:1 (1976), 1–31.
[43] D. Maclagan, B. Sturmfels, Introduction to tropical geometry, Grad. Stud. Math., 161, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xii+363 pp.
[44] R. D. MacPherson, “Chern classes for singular algebraic varieties”,Ann.of Math. (2), 100(1974), 423–432.
[45] H. Markwig, T. Markwig, E. Shustin, “Enumeration of complex and real surfaces via tropical geometry”, Adv.Geom.,18:1 (2018), 69–100; 2018 (v1 – 2015), 30 pp., arXiv: 1503.08593.
[46] P. McMullen, “The polytope algebra”,Adv.Math.,78:1 (1989), 76–130.
[47] G. Mikhalkin, “Enumerative tropical algebraic geometry inR2”,J.Amer.Math.Soc., 18:2 (2005), 313–377; 2004 (v1 – 2003), 83 pp.,arXiv: math/0312530.
[48] G. Mikhalkin, “Tropical geometry and its applications”, Proceedings of the Interna- tional congress of mathematicians, v. II (Madrid, 2006), Eur. Math. Soc., Z¨urich, 2006, 827–852; 2006, 22 pp.,arXiv: math/0601041.
[49] H. Minkowski, “Theorie der konvexen K¨orpern, insbesondere Begr¨undung ihres Oberfl¨achenbegriffs”,Gesammelte Abhandlungen, v. 2, B. G. Teubner, Leipzig, 1911, 131–229.
[50] M. Oka, “Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity”, J.Fac.Sci.Univ.Tokyo Sect.IA Math.,37:1 (1990), 11–32.
[51] R. Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, 2nd ed., Encyclopedia Math. Appl.,151, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014, xxii+736 pp.
[52] M. H. Schwartz, “Classes et caract`eres de Chern–Mather des espaces lin´eaires”,C.R.
Acad.Sci.Paris S´er.I Math.,295:5 (1982), 399–402.
[53] E. Shustin, “A tropical approach to enumerative geometry”,Алгебра и анализ,17:2 (2005), 170–214; St.Petersburg Math.J.,17:2 (2006), 343–375.
[54] E. Shustin, “Tropical and algebraic curves with multiple points”,Perspectives in anal- ysis, geometry, and topology, Progr. Math., 296, Birkh¨auser/Springer, New York, 2012, 431–464; 2009, 35 pp.,arXiv: 0904.2834.
[55] T. Nishinou, B. Siebert, “Toric degenerations of toric varieties and tropical curves”, Duke Math.J.,135:1 (2006), 1–51; 2006 (v1 – 2004), 41 pp.,arXiv: math/0409060.
[56] D. Speyer, “Horn’s problem, Vinnikov curves, and the hive cone”, Duke Math. J., 127:3 (2005), 395–427.
[57] R. P. Stanley, “The number of faces of a simplicial convex polytope”, Adv. Math., 35:3 (1980), 236–238.
[58] R. Stanley, “Generalized H-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results”, Commutative algebra and combinatorics(Kyoto, 1985), Adv. Stud.
Pure Math.,11, North-Holland, Amsterdam, 1987, 187–213.
[59] B. Sturmfels, “On the Newton polytope of the resultant”,J.Algebraic Combin.,3:2 (1994), 207–236.
[60] B. Sturmfels,Solving systems of polynomial equations, CBMS Reg. Conf. Ser. Math., 97, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, viii+152 pp.
[61] B. Teissier, “Du th´eor`eme de l’index de Hodge aux in´egalit´es isop´erim´etriques”,C.R.
Acad.Sci.Paris S´er.A-B,288:4 (1979), A287–A289.
[62] J. Tevelev, “Compactifications of subvarieties of tori”,Amer.J.Math.,129:4 (2007), 1087–1104; 2005 (v1 – 2004), 14 pp.,arXiv: math/0412329.
[63] I. Tyomkin, “Tropical geometry and correspondence theorems via toric stacks”,Math.
Ann.,353:3 (2012), 945–995; 2011 (v1 – 2010), 49 pp.,arXiv: 1001.1554.
[64] A. N. Varchenko, “Zeta-function of monodromy and Newton’s diagram”, Invent.
Math.,37:3 (1976), 253–262.
[65] O. Y. Viro, “Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees 6 and 7”,Topology(Leningrad, 1982), Lecture Notes in Math.,1060, Springer, Berlin, 1984, 187–200.