Постановка задачи. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма относительно функции z(s)

Синибабнова М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Применение метода квадратного корня для плохо обусловленных систем

Рекомендовано к публикации доцентом Сергеевым В.О.

1. Введение. Действия приборов, регистрирующих нестацио- нарные физические поля, описываются следующей схемой: на вход прибора поступает сигнал z(s), на выходе прибора регистрируется функция u(x). В случае "линейного" прибора функции z(s) и u(x) связаны соотношением

Z _b

a

K(x, s)z(s)ds = u(x). (1)

K(x, s) в этом случае называется импульсной переходной функцией прибора. Теоретически K(x, s) представляет собой функцию, кото- рая регистрируется прибором в случае, если на вход прибора посту- пает обобщенная дельта-функция Дирака. На практике для полу- чения функции K(x, s), характеризующей работу прибора, на вход подают достаточно короткий импульс. Таким образом, задача интер- претации показаний прибора, т.е. определения формы поступившего сигнала, сводится к решению интегрального уравнения первого рода (1).

2. Постановка задачи. Рассмотрим интегральное уравнение

M ^α [z, u ˜ _δ ] = kAz − u ˜ _δ k ² _{L 2} + αkzk ² _W 1 2 =

= Z _b

a

"Z _b

a

K(x, s)z(s)ds − u ˜ δ (x)

# ₂ dx + α

Z _b

a

[z ² (s) + z ⁰ (s) ² ]ds, (3)

где Ω[z] = α R _b

a [z ² (s) + z ⁰ (s) ² ]ds – стабилизирующий функционал.

Пусть известно, что точное решение ¯ z(s) удовлетворяет одному из граничных условий: 1) z ¯ ⁰ (a) = ¯ z ⁰ (b) = 0, либо 2) z(a) = ¯ z 1 , z(b) = ¯ z 2

(z 1 , z 2 — известные числа). Условием минимума функционала (3) яв- ляется равенство нулю его первой производной. Учитывая гранич- ные условия, уравнение для функционала Тихонова можно записать в виде A ^∗ Az − A ^∗ u ˜ δ + αz − αz ⁰⁰ = 0. Здесь A ^∗ f = R _b

a K(x, s)f (x)dx, f (x) ⊆ L 2 [a, b]. Перепишем это уравнение в эквивалентном виде

Z _b

a

B(s, t)z(t)dt + αz(s) − αz ⁰⁰ (s) = Z _b

a

K(x, s)˜ u δ (x)dx,

где B(s, t) = R _b

a K(x, s)K(x, t)dx. Рассмотрев конечные разности и квадратурные формулы, получим

X N

j=1

B(s i , t j )z j h + αz i + α 2z i − z i+1 − z i−1

h ² = f i ,

f i = Z _b

a

K(x, s i )˜ u δ (x)dx, z i = z(s i ), i = 1, . . . , N.

(4)

Таким образом, нахождение при фиксированном α > 0 экстремали функционала Тихонова (3) сведем к решению системы линейных ал- гебраических уравнений (4). Матрица этой системы вещественная, симметричная и положительно-определенная. Поэтому, следуя мето- ду квадратного корня (Холецкого), ее можно представить как про- изведение матриц T ^{α ∗} DT ^α , где T ^α – треугольная матрица, T ^{α ∗} – транспонированная к T ^α матрица, причем матрицы T ^α∗ и T ^α ве- щественны. Элементы матрицы T ^α находятся последовательно из формул

t ^α ₁₁ = p

B ^α ₁₁ , t 1j = B ^α _1j

t ^α ₁₁ , j > 1, t ^α _ii = v u u t |B _ii ^α −

X i−1

k=1

d kk (t ^α _ki ) ² |, 1 ≤ i ≤ j,

d ii = sign(B ii − X i−1 k=1

(t ki ) ² ),

t ^α _ij = B ^α _ij − P _i−1

k=1 d kk t ^α _ki t ^α _kj

t ii d ii , i < j, t ^α _ij = 0, i > j.

Теперь нужно решить систему уравнений

B ^α z ^α = f. (5)

Заменив в (5) матрицу B ^α на произведение матриц T ^α∗ и T ^α , по- лучим T ^α∗ DT ^α z ^α = f . Вводя обозначение y ^α = T ^α z ^α , заменим урав- нение (5) эквивалентно на два уравнения: T ^α∗ Dy ^α = f, T ^α z ^α = y ^α . Каждое из этих уравнений решается элементарно, так как имеет тре- угольную матрицу.

4. Выбор параметра регуляризации. Начальное значение па- раметра α 0 задается таким, что ρ(α 0 ) > δ. Каждое следующее зна- чение параметра выбирается по формуле α s = ^{α s−1} _n . Для каждого α s

находится экстремаль функционала Тихонова z ˜ ^α _δ (s) и вычисляется значение невязки

ρ(α) = kA z ˜ ^α _δ − u ˜ δ k u = δ. (6) Процесс продолжается до тех пор, пока ρ(α _s ) не станет меньше или равно δ. Значение α s принимается за приближенное решение уравне- ния (6). Приближенное решение нелинейного уравнения (6) относи- тельно α находится методом последовательных приближений. Легко показать, что решение этого уравнения существует. Для аналитиче- ской оценки параметра α перепишем исходное уравнение в виде

A = K ^∗ Kz = K ^∗ u, k¯ u − u ε k ≤ ε,

где ¯ u — точная правая часть уравнения (2). Рассмотрим регуляри- зирующий оператор

B ^α = (αE + K ^∗ K) ⁻¹ . (7)

Для любых α верно

z ^ε _α − ¯ z = B ^α u ε − B ^α u ¯ + B ^α u ¯ − z ¯ =

= B ^α (u ε − u) + (B ¯ ^α A¯ z − z) ¯ ≤ |B ^α kε + ψ(α, z). ¯

Величину B ^α удается оценить без дополнительных предположений о точном решении, т.е. kB ^α k ≤ C. Величина же ψ(α, z) ¯ существенно за- висит от свойств точного решения. Выбрав α из условия ψ(α, z) = ¯ C, получим k¯ z − z _α ^ε k ≤ 2C. Таким образом, получаем зависимость па- раметра регуляризации от погрешности правой части и оценку точ- ности приближенного решения уравнения (2).

Рис. 1. 1 — точное решение; 2 — приближенное решение (количество точек сетки по x и s равно 62); 3 — приближенное решение (количество точек сетки

по x и s равно 10).

На рисункe 1 изображены результаты численного эксперимента с ядром K(x, s) = √

x − s. Приближенное значение параметра регу- ляризации по невязке равно α ≈ 5 · 10 ⁻³ .

Литература

1. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некоррект- ные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 557 с.

2. Гончарский А.В., Черепашук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. C. 90–132.

3. Арсенин А.Н., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных за-

дач. М.: Наука, 1979. C. 128–158.

Смирнов О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Исследование движения массы на многослойном эластомерном вязкоупругом амортизаторе ¹

Рекомендовано к публикации профессором Мальковым В.М.

Эластомерные амортизаторы широко используются в качестве конструктивных элементов для сейсмоизоляции зданий и других объектов. В работе [1] исследовано движение массы на однослой- ном вязкоупругом эластомерном элементе при произвольных гори- зонтальных воздействиях. Однако на практике, в качестве аморти- заторов, как правило, используются многослойные элементы, состо- ящие из чередующихся слоев резины и металла. Статья посвящена аналитическому описанию движения объектов на таких амортизато- рах при горизонтальных динамических воздействиях.

Решать подобную задачу для каждого слоя в отдельности, сопря- гая при этом условия на границе слоев, является крайне затрудни- тельной задачей. Если амортизатор имеет большое количество слоев, то можно перейти от дискретной модели пакета к распределенной с приведенными упругими и инерционными характеристиками.

Для вывода уравнений изгибных колебаний композитного стерж- ня воспользуемся следующим законом упругости [2]

Q = K S γ, M = K B ω ⁰ _X , (1) где Q и M – поперечная (сдвигающая) сила и изгибающий момент в сечении балки; γ = u ⁰ _X − ω – сдвиг; ω – поворот сечения; K S , K B – интегральные операторы, включающие в себя сдвиговые и изгибные жесткости

K S = K S0 (1 − K _S ^∗ ), K _S ^∗ u(t) = R t

−∞

K ¯ S (t, τ )u(τ)dτ , K B = K B0 (1 − K _B ^∗ ), K _B ^∗ u(t) = R ^t

−∞

K ¯ B (t, τ)u(τ)dτ

Динамические жесткости вычисляются по жесткостям резиновых слоев по тем же формулам, что и в статических задачах

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект № 06-01-00658)

K S0 = µh 2 , K B0 = 2R ³

h µ 1

3 + λ ⁻² − cosh(λ) λ sinh(λ)

¶ K, λ ² = 18(1 − 2ν)

1 + ν R ² h ² ,

где µ – параметр Ляме, h – высота амортизатора, R – его радиус, K – модуль объемного сжатия, ν – коэффициент Пуассона.

Уравнения движения элемента композитной балки

m u ¨ = Q ⁰ _X , I ω ¨ = M _X ⁰ + Q. (2) Подставим (1) в (2)

m¨ u − K S u ⁰⁰ _X + K S ω _X ⁰ = 0, I ω ¨ − K B ω _X ⁰⁰ + K S (ω − u ⁰ _X ) = 0.

Полученные уравнения совпадают по форме с уравнениями С.П.

Тимошенко, но содержание коэффициентов жесткости будет, конеч- но, другим.

Начальные и граничные условия формулируются следующим об- разом

u(0, x) = u ⁰ _t (0, x) = 0, ω(0, x) = ω ⁰ _t (0, x) = 0, u(t, 0) = u 0 (t), ω(t, 0) = ω 0 (t),

при

M u ⁰⁰ _tt + K _S (u ⁰ _x − ω) = 0, I 0 ω _tt ⁰⁰ + K B ω ⁰ _x = 0.

Для решения интегро-дифференциальной системы уравнений применяется метод последовательных приближений

u(x, t) = X ∞ i=1

ε ⁱ⁻¹ u i (x, t), ω(x, t) = X ∞ i=1

ε ⁱ ω i (x, t),

где ε – малый параметр, который, в последствие, полагается равным единице.

Первое приближение находится из следующих соотношений

m u ¨ 1 − K S u ⁰⁰ _1,X = 0, I ω ¨ 1 − K B ω ⁰⁰ _1,X = K S u ⁰ _1,X ,

Первое приближение находится из следующих соотношений m u ¨ 1 − K S u ⁰⁰ _1,X = 0,

I ω ¨ 1 − K B ω ⁰⁰ _1,X = K S u ⁰ _1,X ,

t = 0 : u 1 (0, x) = u ⁰ _1,t (0, x) = 0, ω 1 (0, x) = ω _1,t ⁰ (0, x) = 0, x = 0 : u 1 (t, 0) = u 0 (t), ω 1 (t, 0) = ω 0 (t),

x = h : M u ⁰⁰ _1,t + K S u ⁰ _1,x = 0, I 0 ω ⁰⁰ _1,t + K B ω _1,X ⁰ = 0.

N -ое приближение

m¨ u n − K S u ⁰⁰ _n,X = −K S ω ⁰ _n−1,X , I ω ¨ n − K B ω ⁰⁰ _n,X = K S u ⁰ _n,X − K S ω n−1 , x = 0 : u n (t, 0) = 0, ω n (t, 0) = 0, x = h : M u ⁰⁰ _n,t + K S u ⁰ _n,X = K S ω n−1 ,

I 0 ω _n,t ⁰⁰ + K B ω ⁰ _n,x = 0.

Построение каждого приближения представляет собой сложную вычислительную задачу. Для ее решения применяется метод раз- деления переменных, который сводит решение системы к решению интегро-дифференциального уравнения, зависящего только от пере- менной t [1].

Литература

1. Смирнов О.А. Движение массы на эластомерном амортизаторе с учетом диссипации энергии // Процессы управления и устойчи- вость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 186–190.

2. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструк-

ций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 320 с.

Тамасян Г.Ш., Христич Е.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оптимизация расположения атомов в молекуле ¹

В статье рассматривается оптимизационный подход к решению задачи о строении молекулы по известным взаимным расстояниям между атомами, а также приведено аналитическое решение указан- ной задачи в случае её “точного” разрешения.

1. Постановка задачи. Требуется найти координаты атомов x ₁ ,. . . , x _m в пространстве R ⁿ , удовлетворяющие следующим огра- ничениям

kx i − x j k = δ ij при 1 ≤ i < j ≤ m,

где δ ij > 0 — заданные расстояния между i-м и j-м атомами при 1 ≤ i < j ≤ m. Обозначим, через x ij — j-ю координату i-й точки, а через x — вектор (x 11 , . . . , x 1n , x 21 , . . . , x 2n , . . . , x m1 , . . . , x mn ).

Для решения данной задачи можно рассмотреть следующие функционалы

F 1 (x) = X m i,j=1

¡ kx i − x j k ² − δ ² _ij ¢ ₂

, (1)

F 2 (x) = X m i,j=1

¯ ¯ kx i − x j k ² − δ _ij ² ¯

¯ , (2)

F 3 (x) = max

1≤i<j≤m

¯ ¯ kx i − x j k ² − δ _ij ² ¯

¯ . (3)

No documento Санкт-Петербург 10 – 13 апреля 2006 года (páginas 185-192)