7) и конечным условиям

ψ ^∗ _z (T, Z T ) = − ∂G(Z, X )

∂Z

¯ ¯

¯ ¯ ^{Z=Z T , X=X(T,Z T )} ,

ψ _x ^∗ (T, Z T ) = − ∂G(Z, X)

∂X

¯ ¯

¯ ¯ ^{Z=Z T , X=X(T,Z T )} .

Для численного решения задачи управления построим в фазовом пространстве продольного движения сетку так, чтобы она покрыва- ла множество M 0 . Это может быть сетка вида

z ⁱ _j = z ₀ ⁱ + jh i , j = 0, m i , i = 1, n. (8) Будем обозначать через z j 1 ,...,j n (ζ) точки траекторий, начинающихся при ζ = 0 в узлах сетки:

z j 1 ,...,j n (0) = (z _j ¹ ₁ , . . . , z ⁿ _jn ) ^∗ .

Аналогично, обозначим соответствующие значения X (ζ, Z ), %(ζ, Z), ψ x (ζ, Z), ψ z (ζ, Z ) через x j 1 ,...,j n (ζ), % j 1 ,...,j n (ζ), ψ z j 1,...,jn (ζ), ψ _{z j 1,...,jn} (ζ) соответственно.

Для вычисления интегралов, входящих в правую часть уравне- ния динамики (4), в уравнения (7), функционал (5), выражение для вариации функционала (6) будем использовать известные квадра- турные формулы.

Для простоты рассмотрим случай, когда область M 0 представля- ет собой n-мерный параллелепипед. Другие случаи можно свести к обсуждаемому, если положить % j 1 ,...,j n = 0 в узлах, не принадлежа- щих области M 0 . Выберем сетку в виде (8) с узлами, лежащими на гранях параллелепипеда. Обозначим весовые коэффициенты квад- ратурной формулы через γ j 1 ,...,jn .

Используя то, что дифференциальная форма плотности являет- ся интегральным инвариантом, квадратурную формулу для вычис- ления функционала I(u) можно привести к виду

I(u) ' Z T

0

X

j 1 ,...,j n

γ j 1 ,...,j n g(ζ, z j 1 ,...,j n (ζ), x j 1 ,...,j n (ζ))% j 1 ,...,j n (0) dζ+

+ X

j 1 ,...,j n

γ j 1 ,...,j n G(z j 1 ,...,j n (T ), x j 1 ,...,j n (T ))% j 1 ,...,j n (0).

К аналогичному виду приводятся формулы для вариации функцио- нала (6), а также уравнения динамики и уравнения для сопряженных функций вдоль характеристических линий, начинающихся в узлах сетки:

δI(u) ' Z T

t 0

X

j 1 ,...,j n

γ _{j 1 ,...,j n} ×

× µ

ψ ^∗ _{xj 1 ,...,j n} (ζ)∆ u h 1 (ζ, z j ₁ ,...,j _n (ζ), x j ₁ ,...,j _n (ζ), u)+

+ψ ^∗ _{zj 1 ,...,j n} (ζ)∆ u f 1 (ζ, z j 1 ,...,j n (ζ), u)

¶

% j 1 ,...,j n (0) dt;

dψ xj 1 ,...,j n

dζ = −ψ ^∗ _{xj 1 ,...,j n} { ∂h 1

¡ ζ, Z, X, u ¢

∂X

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1 ^,...,j n (ζ)

+

+ X

j 1 ⁰ ,...,j ⁰ n

γ j 1 ⁰ ,...,j n ⁰

∂h ₂ ¡

X, Z, X ⁰ , Z ⁰ ¢

∂X

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1 ,...,jn (ζ) Z ⁰ =z j 1,...,jn j(ζ)

% j 1 ,...,j n j(0)}−

− X

j 1 ,...,j n

jγ j 1 ,...,j n jψ xj 1 ,...,j n j

∂h 2

¡ X, Z, X ⁰ , Z ⁰ ¢

∂X ⁰ +

+ Ã ∂g ¡

ζ, Z, X ¢

∂X

! _∗ ¯

¯ ¯

¯ ¯

Z=z j 1,...,jn (ζ)

;

dψ zj 1 ,...,j n

dζ = −ψ ^∗ _{zj 1 ,...,j n} { ∂f 1

¡ ζ, Z, u ¢

∂Z

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1 ,...,jn (ζ)

+

+ X

j 1 ,...,j n

jγ j 1 ,...,j n j ∂f 2

¡ Z, Z ⁰ ¢

∂Z

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1,...,jn (ζ) Z ⁰ =z _{j 1,...,jn} j(ζ)

% j 1 ,...,j n j(0)}−

− X

j 1 ,...,j n

jγ j 1 ,...,j n jψ zj 1 ,...,j n j

∂f 2

¡ Z, Z ⁰ ¢

∂Z ⁰

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1,...,jn (ζ) Z ⁰ =z j 1,...,jn j(ζ)

% j 1 ,...,j n j(0)−

−ψ xj 1 ,...,j n { ∂h 1

¡ ζ, Z, X, u ¢

∂Z

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1,...,jn (ζ )

+

+ X

j 1 ,...,j n

jγ j 1 ,...,j n j ∂h 2

¡ X, Z, X ⁰ , Z ⁰ ¢

∂Z

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1,...,jn (ζ) Z ⁰ =z j 1,...,jn j(ζ)

% j 1 ,...,j n j(0)}−

− X

j 1 ,...,j n

jγ j 1 ,...,j n jψ xj 1 ,...,j n j

∂h ₂ ¡

X, Z, X ⁰ , Z ⁰ ¢

∂Z ⁰

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1 ,...,jn (ζ) Z ⁰ =z j 1,...,jn j(ζ )

% j 1 ,...,j n j(0)+

+



 ∂g

³ ζ, Z, X

´

∂Z





∗ ¯

¯ ¯

¯ ¯

Z=z j 1 ^,...,j n (t)

.

Конечные условия для ψ xj 1 ,...,j n и ψ zj 1 ,...,j n приобретают вид

ψ _zj ^∗ _{1 ,...,j n} (T ) = − ∂G ³ Z, X ´

∂Z

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1,...,jn (T )

,

ψ _xj ^∗ _{1 ,...,j n} (T ) = − ∂G

³ Z, X

´

∂X

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z=z j 1 ,...,jn (T )

.

Наиболее простой вид полученные выражения примут, если при- менить квадратурную формулу с одинаковыми коэффициентами γ j 1 ,...,j n для всех узлов. В этом случае интегралы, входящие в эти формулы, аппроксимируются суммами по узлам от подынтеграль- ных выражений.

Литература

1. Овсянников Д.А., Дривотин О.И. Моделирование интенсивных

пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 172 c.

Дривотин О.И., Семёнов В.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Исследование плотности заряженных частиц при моделировании пучка

в продольном магнитном поле

Одной из математических моделей, описывающих ансамбль вза- имодействующих частиц, является уравнение Власова. Его решения называются самосогласованными распределениями. Известны раз- личные аналитические решения уравнения Власова для пучка в про- дольном магнитном поле. При этом рассматривается фазовое про- странство поперечного движения, и его размерность равна 4.

Целью работы является сравнение плотностей распределения ча- стиц, получаемых в результате моделирования, с плотностями для этих аналитических решений.

Уравнения характеристических линий для уравнения Власова, которые совпадают с уравнениями динамики частиц в самосогласо- ванном поле в безразмерных переменных имеют вид [1]

q ⁰⁰ = −(1 − α)q + M ²

q ³ , (1)

где α — безразмерный параметр, характеризующий интенсивность пучка, α ∈ [0, 1], q — безразмерная радиальная координата, q ∈ [0, 1], M — безразмерная угловая компонента канонически сопряжённого импульса, сохраняющегося в силу теоремы Буша.

Уравнение (1) имеет интеграл

H = q ⁰² + (1 − α)q ² + M ² q ² .

Для рассматриваемых самосогласованных распределений интегралы M и H лежат внутри множества

2ω|M | < H ≤ M ² + 1 − α, M ∈ (− √

1 − α, √

1 − α). (2)

В работе [1] рассматривалось распределение Капчинского – Вла- димирского. В настоящей работе рассмотрим распределение с посто- янной фазовой плотностью внутри множества допустимых значений (2). Для такого распределения плотность распределения в простран- стве (M , H) равна

ρ _{M H} = λ

q

1 − α + M ² − H

, (3)

где λ — положительный безразмерный параметр.

При моделировании самосогласованных распределений пучок рассматривался как состоящий из макрочастиц, каждая из которых представляет бесконечно тонкое кольцо радиуса q с центром на оси пучка и в плоскости, ортогональной к оси пучка. Для описания ди- намики таких частиц использовалось уравнение

q ⁰⁰ = −q + M ² q ³ + α

q N q ,

где N q — доля макрочастиц, находящихся внутри кольца радиуса q.

При моделировании оценка плотности распределения производи- лась на основе различных статистик [1]. В качестве одной из таких статистик предлагается брать расстояние от заданной до ближайшей точки в пространстве интегралов M , H. Обозначим эту величину че- рез S 1 . В качестве второй статистики S 2 предполагается брать сред- нее арифметическое для расстояний от заданной точки до первой и до второй ближайших к ней. Аналогично, в качестве S n берётся сред- нее арифметическое расстояний от данной точки до n ближайших к ней. Связь между эмпирическим значением плотности и статистика- ми выражается формулой

ρ _{M H} = k i S i −2

, i = 1, 20, (4)

где черта обозначает усреднение по всем частицам, а k i — коэффици-

енты, соответствующие статистике S i . Значения k i были определены

ранее после ряда численных экспериментов.

В данной работе моделирование проводилось при количестве ча- стиц, равном 10000. Отклонение плотности ρ _{M H} от теоретического значения ρ _{M H} на разных этапах моделирования (при z = 0, z = 5, z = 10, где z — продольная координата) оценивалось с помощью отношения

∆ = ρ _{M H}

ρ _{M H} . (5)

Результаты моделирования приведены ниже в таблице.

Таблица. Значения ∆ i , при z = 0, z = 5, z = 10 S i k i z=0 z=5 z=10

1 0,254 4,620 4,560 4,929 2 0,396 1,838 1,836 1,806 3 0,620 1,326 1,298 1,272 4 0,895 1,202 1,190 1,153 5 1,198 1,149 1,145 1,112 6 1,517 1,129 1,125 1,095 7 1,842 1,117 1,112 1,086 8 2,172 1,109 1,103 1,081 9 2,506 1,104 1,097 1,076 10 2,838 1,098 1,091 1,072 11 3,174 1,095 1,087 1,068 12 3,511 1,092 1,083 1,066 13 3,851 1,090 1,081 1,064 14 4,185 1,087 1,077 1,061 15 4,521 1,084 1,074 1,058 16 4,857 1,081 1,071 1,055 17 5,194 1,079 1,068 1,053 18 5,528 1,077 1,066 1,051 19 5,861 1,074 1,063 1,048 20 6,198 1,072 1,061 1,046 21 6,539 1,071 1,060 1,045 22 6,878 1,070 1,058 1,044

Проводилась оценка того, насколько хорошо эмпирическая фор-

мула (4) описывает теоретическую формулу (3). В ходе моделирова-

ния было установлено, что значения плотности, полученные по эм-

пирической формуле, для большинства частиц близки к теоретиче-

ским значениям. Отношение (5) между ρ _{M H} и ρ _{M H} оказалось близко

к единице, и с увеличением номера i статистики S i оно стремится

к единице. При этом с ростом количества частиц значение, давае-

мое формулой (5), также стремится к единице. Другими словами,

эмпирическое значение (4) стремится к теоретическому (3) с ростом числа частиц. Кроме того, представленные результаты показывают, что в процессе интегрирования отношение (5) примерно сохраняет свое значение, что позволяет говорить о технической устойчивости рассматриваемых распределений.

В заключении хотелось бы отметить, что, вычисляя плотность по эмпирической формуле (4), можно оценивать качество алгоритма задания начального распределения частиц, а также изучать поведе- ние частиц на разных этапах моделирования, сравнивая полученные результаты с аналитическим решением уравнения Власова.

Таким образом методика, разработанная первоначально для рас- пределения Капчинского – Владимирского, применима и для других распределений.

Литература

1. Семенов В.В. Моделирование самосогласованных распределений для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле //

Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной кон- ференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н.

Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 262–267.

2. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Самосогласованные распределе- ния для пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001.

108 с.

Зимин А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

О построении вейвлет-разложения на периодической неравномерной сетке ¹

Рекомендовано к публикации профессором Демьяновичем Ю.К.

Имеется большое количество работ, в которых строится вейвлет- ное разложение на равномерной сетке (см. [1–3]). Цель данной рабо- ты состоит в том, чтобы построить вейвлетное разложение телеско- пической системы пространств B-сплайнов на неравномерной сетке [4,5].

1. Некоторые обозначения. Пусть Z — множество всех целых чисел, а N — натуральное число; будем обозначать 0 : N — мно- жество целых чисел от 0 до N . На вещественной оси R рассмотрим сетку X ^def = {x j } j∈Z ,

X : . . . < x −1 < x 0 < x 1 < . . . ,

для которой lim _j→−∞ x _j = −∞, lim _j→+∞ x _j = +∞. Промежутки I j = [x j , x j+1 ) называются элементарными промежутками сетки X .

Полиномиальный B-сплайн ω _j ^B второй степени (j ∈ Z) определя- ется формулами

ω _j ^B (t) = (t − x j ) ² (x j+1 − x j ) ⁻¹ (x j+2 − x j ) ⁻¹ , t ∈ I j , ω _j ^B (t) = (x j+2 − x j ) ⁻¹ (x j+2 − x j+1 ) ⁻¹ (x j+3 − x j+1 ) ⁻¹ ×

× £

(x j −x j+2 − x j+3 + x j+1 )t ² − 2(x j+1 x j − x j+2 x j+3 )t+

+x j x j+1 x j+3 − x j x j+2 x j+3 +

+ x j x j+1 x j+2 − x j+1 x j+2 x j+3

¤ , t ∈ I j+1 , ω _j ^B (t) = (t − x j+3 ) ² (x j+3 − x j+2 ) ⁻¹ (x j+3 − x j+1 ) ⁻¹ , t ∈ I j+2 , ω _j ^B (t) = 0 при t / ∈ [x j , x j+3 ] (так что supp ω ^B _j = [x j , x j+3 ]).

(1)

Пусть C ¹ — линейное пространство непрерывно дифференци- руемых функций u(t) с периодом 1, u(t+1) ≡ u(t), t ∈ R. Рассмотрим

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00692 и

04-01-00026)

1-периодические функции Ω ^B _j (t), j = 0, N − 1, определяемые на про- межутке [0, 1) формулами

Ω ^B _j (t) ≡ ω ^B _j (t), t ∈ [0,1), j = 0, N − 3,

Ω ^B _N−2 (t) ≡ ω _N ^B ₋₂ (t), t ∈ [x N−2 , 1), Ω ^B _N−2 (t) ≡ ω ₋₂ ^B (t), t ∈ [0, x N −2 ),

Ω ^B _{N −1} (t) ≡ ω _N ^B ₋₁ (t), t ∈ [x N −1 , 1), Ω ^B _{N −1} (t) ≡ ω ₋₁ ^B (t), t ∈ [0, x N−1 ).

(2)

Отсюда следует, что Ω ^B _j ∈ C ¹ .

В пространстве C ¹ рассмотрим линейные функционалы g ⁽ⁱ⁾ при i = 0, N − 1

g ^{(i) def} =

³ I + 1

2 (x i+2 − x i+1 ) d dt

´¯ ¯

¯ t=x i+1

,

где I — тождественный оператор, _dt ^d — оператор дифференцирова-

No documento Санкт-Петербург 10 – 13 апреля 2006 года (páginas 145-154)