ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ РАСЧЕТНОЙ
2.3 Построение матрицы жесткости БМ и ПМ-1
Учитывая, что плоский каркас рассматривается по форме как рама деформирующаяся по форме сдвига, по построение матрицы жесткости определяется достаточно просто (удобно построить в методе перемещения).
C= ´ (КМ + МК) (21) Матрица жѐсткости БМ, кН/см
K = (diag (ones (n, 1)) - diag (ones (n-1, 1), 1) - diag (ones (n-1, 1), 1))*36*EJx/h^3;
fori = 1:4, K(i,i) = K(4,4)*2;
Матрица жѐсткости ПМ-1, кН/см
K1 = K; K2 = K; K2(3,3) = 60*EJx/h^3; K2(4,4) = K2(3,3); K2(3,4) = - 24*EJx/h^3; K2(4,3) = K2(3,4);
1.5468 -0.7734 0 0 0 0.7734 1.5468 -0.7734 0 0 0 -0.7734 1.5468 -0.7734 0 0 0 -0.7734 1.5468 -0.7734 0 0 0 -0.7734 0.7734
Матрица жесткости БМ и матрица жесткости ПМ-1 одинаковые, поскольку разрушение панели влияет только на матрицу масс, жесткость плоского каркаса не поврежденным.
2.4 Построение матрицы демпфирования БМ и ПМ - 2
При расчете конструкций на колебание необходимо внутреннее трение материала. Для этой цели используются различные модели демпфирования.
В настоящей работе мы применяем модель демпфирования, которая разработана на кафедре строительного производства и теории сооружений.
С=´(k * м+м * k) (22) Матрицы демпфирования БМ, ПМ1, ПМ2 (первый вариант поврежденной модели), кН*с2/см
m = diag(M); m1 = diag(M1); m2 = diag(M2); векторы масс БМ и ПМ1, кН*с2/см
Minv = inv(M); Minv1 = inv(M1); Minv2 = inv(M2);
T = dec/pi*diag(sqrt(m./diag(K))); C = (K*T + T*K)/2; дляБМ, кН*с/см
T1 = dec/pi*diag(sqrt(m1./diag(K1))); C1 = (K1*T1 + T1*K1)/2; дляПМ1, кН*с/см
K, K1_K2 = [K1, K2]
M, M1_M2 = [M1, M2]
[s, s3] = msqe(M, C, K); [s1, s3] = msqe(M1, C1, K1);
МатричныекорниБМиПМ1
[s2, s3] = msqe(M2, C2, K2); % МатричныекорниПМ2
Внутренние динамические характеристики каркаса БМ, ПМ1, ПМ2 La = eig(s); G0 = -real(La); [W, I] = sort(imag(La)); G = G0(I);
La1 = eig(s1); G0 = -real(La1); [W1, I1] = sort(imag(La1)); G1 = G0(I1);
La2 = eig(s2); G0 = -real(La2); [W2, I2] = sort(imag(La2)); G2 = G0(I2);
frek = [W, W1, W2, 2*pi./W, 2*pi./W1, 2*pi./W2]
('коэффициенты демпфирования БМ, ПМ1, ПМ2'), demp = [G, G1, G2]
a = [1:n]; plot(a,frek(:,1),'-k', a,frek(:,2),'-r', a,frek(:,3),'--b')
Матрица демпфирования:
0.1292 0.1310 0.1288 1.0555 1.0572 0.9028 2.5058 2.5231 2.5669 4.0234 4.0461 3.9476 5.1739 5.2323 4.9465
Модель неоднородного демпфирования взята в соответствии с динамическим анализом дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях А.Н. Потапов[26].
Более полная информация приведена в Приложении 3.
2.5 Построение вектора внешних воздействий
Построение вектора внешних воздействий, когда нагрузка собирается сверху, поэтому давление передается на верней точки.
Вектор внешней нагрузки представили, как
P (t) = sinQt * Po (23) где
Q = П/ta – продолжительность взрыва
Po – амплитуда импульсной нагрузки (взрыв рассматривается как импульсная нагрузка)
Основная сила удара приходится на верхнюю часть стеновой панели (так как газ легче воздуха и при заполнении им помещения он поднимается на вверх), поэтому в расчете принято равнодействующая этой нагрузки.
Следовательно вектор внешней нагрузки приходится на плоскую раму, а вектор будет равнее.
F (t) F (t)
q (y,t)
Рисунок 2 – Основные воздействия от взрывана стеновую панель.
ВЫВОД ПО ГЛАВЕ 2
В данной главе производился сбор информации для всех расчетов и сформированы расчетные модели плоского каркаса как для БМ так и для поврежденной модели ПМ – 1. Сформированы матрицы масс, матрицы жесткости, матрица демпфирования для плоского каркаса с пятью степенями свободы. Матрицы получены для базовой модели плоского каркаса и поврежденной модели ПМ – 1.
При построении матрицы жесткости, стеновые панели не влияют (в самом каркасе не участвуют). Матрица масс при удалении стеной панели не менялись. При построении матрицы масс для ПМ-1 она равнялась БМ, так как масса ничтожна.
ГЛАВА 3. ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ РЕАКЦИЙ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ Все расчеты выполнялись в математической программе MATLAB в рамках теории временного анализа. MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимѐнный язык программирования.
3.1 Блок-схема программы по расчету каркаса здания
Рисунок 3 – Блок –схема
Составление временного анализа в системе MATHLAB. Для практической реализации выполнялась, составлялась основная программа расчета sbdi1.m. (см. Приложение 1).
Для ПМ – 1 перемещений меньше чем для ПМ – 2, так как выключается стеновая панель и колонна.
Характеристики временного анализа (ВА)
t0 = 0; tst = 0.005; t1 = 0.9; ta = 1.8; tend = 10; tst - шаг ВА, ta - продолжительность действия импульса
Временные интервалы: t2 ~ [t0, t1]; t3 ~ [t1, ta]; t4 ~ [ta, tend]; Time ~ [t0, tend]
t2 = [t0:tst:t1]; t3 = [t1:tst:ta]; t4 = [ta:tst:tend]; Time = [t2 t3 t4];
Время начала разрушения промежуточной колонны: t1 = %.4g', t1 Шаг временного анализа: tst = 4g', tst
Ввод и описание кинематических характеристик каркаса
R = K*Y, F = C*V, I = -M*A - массивы восстанавливающих, диссипативных и инерционных сил
Время начала разрушения промежуточной колонны: t1 = 0.9 Шаг временного анализа: tst = 0.005
Временной анализ реакции каркаса при разрушении колонны от действия импульсной нагрузки типа взрыва
Решение матричного квадратного уравнения: A*S^2 + B*S + C = 0
Первые три столбца - частоты БМ, ПМ1, ПМ2, последние три столбца - периоды колебаний
14.5497 14.6673 14.2427 0.4318 0.4284 0.4412 42.8084 42.9168 39.8683 0.1468 0.1464 0.1576 68.3098 68.8380 68.6828 0.0920 0.0913 0.0915 89.0110 89.6501 84.9042 0.0706 0.0701 0.0740 102.7932 103.8863 99.5100 0.0611 0.0605 0.0631
По результатам расчета получены следующие параметры реакции каркаса. Три кинематических параметра всех узлов каркаса: перемещение, скорость, ускорение (см. рисунок 4,5,6).
Рисунок 4 – Осциллограмма перемещения
Рисунок 5 – Осциллограмма скорости
Рисунок 6 – Осциллограмма ускорения
На всех осциллограммах для поврежденной модели ПМ – 1 (красная линия) значение параметров реакции возрастает с увеличением. t – значение параметров. Для базовой модели БМ поведение всех линий (кривых) ведут себя стабильно (см. рисунок 7).
Рисунок 7 – Осциллограмма график
На данном осциллограмме поведены две поврежденные модели ПМ – 1 синего цвета, ПМ – 2 красного цвета и базовой модели БМ черного цвета.
Жесткость системы уменьшается, уменьшается и частота, частота уменьшается, то период колебаний больше. Для базовой модели БМ - нет повреждений, период самый маленький.
Т1 ˂ Т1¹ ˂ Т1²
БМ →ПМ – 1 →ПМ - 2
А так же приведены осциллограммы для трех силовых параметров всех узлов каркаса: восстанавливающие, диссипативные, инерционные (см.
рисунок 8,9,10).
Рисунок 8 - Осциллограмма восстанавливающихся сил
Рисунок 9 - Осциллограмма диссипативных сил
Рисунок 10- Осциллограмма инерционных сил
На инерционной модели кривые повторяют форму импульса, для базовой модели являются квазистатической нагрузкой. Для восстанавливающих и диссипативных силах модели повторяют инерционные силы, то есть являются квазистатической нагрузкой. Это характерно для силовых параметров реакции. Необходимо применить оценку от 0 до 1,8, так как дальнейшее увеличение t превышает нормы. Протяженность связана с частотами (жесткость уменьшается, частота увеличивается)
1 этаж
14,55 - ω¹БМ сек-¹ 14,67 - ω¹ПМ-1 сек-¹ 14,24 - ω¹ПМ-2 сек-¹ 2 этаж
42,81- ω²БМ сек-¹ 42,92- ω²ПМ-1 сек-¹ 39,87 - ω²ПМ-2сек-¹ 3 этаж
68,31 - ω³БМ сек-¹ 68,84 - ω³ПМ-1 сек-¹ 68,68 - ω³ПМ-2 сек-¹
4 этаж
89,01 – ω4БМ сек-¹ 89,65 - ω4ПМ-1сек-¹ 84,90 - ω4ПМ-2 сек-¹ 5 этаж
102,79 – ω5БМ сек-¹ 103,89 - ω5ПМ-1сек-¹ 99,5 - ω5ПМ-2 сек-
Для поврежденной модели ПМ-2 частота уменьшается, масса уменьшается и жесткость уменьшается.
ПМ-2 = 0,33 см Ymaxta = 1,8с.
0,33/0,22=1,5 БМ = 0,22 см
Ymaxta = 1,8 с.
Увеличение силовых параметров реакции ПМ-1 пятого этажа превышает в 2 раза по сравнению с БМ.
В работе исследовалось поведение параметров реакции в момент взрыва. В ПМ-1 скачок в восстанавливающих силах, перемещения и скоростей отсутствует. На данных осциллограммах в ПМ-1 имеются не значительные скачки (см. рисунок 11,12).
Рисунок 11- фрагмент осциллограммы ускорения приведенном на рис.6
Рисунок 12- фрагмент осциллограммы диссипативных сил приведенном на рис.9
.
3.2 Программа расчета
Была составлена программа расчета «КАРКАС»- влияние параметра реакции на продолжительность взрыва rkli1.m. (см. Приложение 2).
Исследовалась зависимость между параметрами каркаса и продолжительностью действующего импульса.
Программа позволяет получить зависимость между параметрами и продолжительностью взрыва для ПМ – 1. Продолжительность взрыва t выражается в промежутке от 0,1 до 2,2 секунды.
Черный цвет – базовая модель БМ
Красный цвет – поврежденная модель ПМ – 1
Вертикальная линия на рис. 15-20 (см. Приложение 3) показывает границу окончания взрыва t = 1,8 сек. - граница действующего импульса.
3.3 Расчет петли крепления панели
Стеновая панель Место разрыва во время взрыва
Колонна Арматура ᴓ16 мм Рисунок 13 –крепление стеновых панелей и колонны
N=16,5Кн=1650кгN=16,5Кн=1650кг
Рисунок 14 – Место разрыва петли во время взрыва
В данной работе рассмотрен расчет с применением стандартной арматуры и уменьшением ᴓ. Замки должны обеспечивать надежное соединение элементов и быть устойчивы к вибрации. Для получения высококачественных поверхностей, замки следует изготовлять с точностью, обеспечивающей центрирование при соединении. Стяжки назначают в зависимости от нагрузок на опорные элементы.
Площадь сечения стяжки А определяют из условия
А=P/R*k (24) где
P – нагрузка 1650 кг;
R - расчетное сопротивление материала, 2200кгс/см ; k - коэффициент условия работы, для стали d = 0,9.
A = 1650/2200*0,9 = 0,83 см²
Диаметр круглого тяжа d вычисляют по формуле
Д = А/п (25) Д = 0,83/3,14 = 0,27 = 0,5 см = 5 мм
Вывод: на основании вышеизложенного расчета арматура в замках панелей и колонны ᴓ 5 мм, из условий работы конструкции при заданном усилии и для того чтобы сохранить каркас здания при взрыве бытового газа необходимо применять арматуру в замках панелей и колонны меньшего диаметра, а именно ᴓ 4 мм.
3.4 Результаты расчета
В результате были получены осциллограммы и получены зависимости этих параметров поврежденной модели от взрыва. В основном тексте приведены блок – схемы. По результатам вычислений приведены осциллограммы параметров реакции каркаса. К этим параметрам относятся кинематические: перемещения, скорость, ускорение узлов данного каркаса, а к основным относятся: дисеппативные, восстанавливающие силы возникающие в узлах каркаса. Все параметры вычислялись как БМ так и для поврежденной модели ПМ – 1. Само разрушение происходит от t1, где t1 – это разрушение. Жесткость остается, масса уменьшается, частота увеличивается для поврежденной модели ПМ-1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При выполнении работы были достигнуты следующие результаты:
1. Построены матрицы внешних динамических параметров (масс, демпфирования и жесткости) базовой и поврежденной моделей плоского каркаса при выключении стеной панели при моделировании внешней нагрузки в виде взрыва.
2. Построены математической модели колебаний каркаса при внезапном выключении из работы стеновой панели.
3. Построены блок-схемы алгоритма и программы расчета (sbdi1.m, rkli1.m) по методике временного анализа.
4. Определено деформированное состояние несущих элементов каркаса. С помощью программы sbdi1.m построены осциллограммы и графики параметров реакции поврежденной модели (ПМ-1) и проведено сравнение результатов для базовой модели. В частности установлено:
частота основного тона по сравнению с БМ увеличилась почти на 1 %;
амплитуды перемещений увеличились по сравнению с амплитудами БМ в несколько раз, по этажам: в 9,1 раза (1 и 2 этажи); в 9,03 раза (3); в 8,95 раза (4); в 9,03 раза (5).
Для других параметров реакции отличия в результатах имеют такой же порядок.
6. Исследована зависимость между параметрами реакции каркаса и продолжительностью взрыва tа, приводящего к разрушению конструкции по программе rkli1.m. Для заданных характеристик динамической нагрузки наиболее опасный режим по продолжительности взрыва находится в диапазоне tа [1,5; 2] сек.
Использование временного анализа позволяет получать решения в аналитическом виде что открывает возможность учитывать эффект от последствий взрывов бытового газа, получать более многостороннее динамический анализ и прогнозировать живучесть зданий и сооружений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бейкер У. и др. Взрывные явления. Оценка и последствия. - М.: Мир, 1986.
2. Бесчастнов М.В. Промышленные взрывы. Оценка и предупреждение, - М Химия 1991.
3. Бормотов М.Ю. Экспертные методы прогнозирования. - М.: 1982.
4. Горев В.А., Пилюгин Л.П. и др. Расчѐт и проектирование предохранительных конструкций. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб. научн. тр. -№5. -М.: ЦНИИПромзданий, 1991.
5. Динамический расчѐт сооружений на специальные воздействия:
Справочник проектировщика. - М.: Стройиздат, 1981.
6. Зайцев А.А., Коробков В.А. Решение некоторых вопросов экстремальных ситуаций методами теории вероятности. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб. научн. тр. -№4. - М.:
ЦНИИПромзданий, 1991.
7. Инженерная защита городов и населѐнных пунктов России от воздействия опасных природных и техногенных процессов. Методика определения нагрузок и воздействий при взрывах газовоздушных смесей на промышленных предприятиях/ отчет. - М.: ЦНИИПромзданий, МГСУ, 1994.
8. Кашеварова Г. Г., ПепеляевА. А. , ЗобачеваА. Ю. Воздействие взрыва бытового газа на процесс деформирования и разрушения конструкций кирпичного жилого здания / Сборник научных трудов SWorld : материалы науч.-практ. конф. Современные направления теоретических и прикладных исследований 2012.- 58-62 с.
9. Кашеварова Г. Г., ПепеляевА. А. Верификация методики расчета дефлаграционного взрыва бытового газа / Сборник научных трудов SWorld : материалы науч.-практ. конф. Современные направления теоретических и прикладных исследований 2012 - 55-58 с.
10. Кашеварова Г. Г., ПепеляевА. А. Моделирование и ретроспективный анализ взрыва бытового газа в кирпичном здании /Строительная механика и расчет сооружений. - 2010- 31-36 с.
11. Кашеварова Г. Г., Пепеляев А. А. Учет характеристик легкосбрасываемых конструкций при моделировании взрыва бытового газа в жилом здании / Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. - 2012. 147- 153 с.
12. Кашеварова Г. Г., ПепеляевА. А., Ведерников А.Н. / Влияние места расположения источника поджига на величину избыточного давления при дефлаграционном взрыве бытового газа /Проблемы деформирования и разрушения материалов и конструкций : тез. докл. всерос. науч. конф., (Пермь, 17-19 июня 2015 г.). / М-во образования и науки Рос. Федерации, Перм. нац. исслед. политехн. ун-т, Ин-т механики сплошных сред УрО РАН, Горн. ин-т УрО РАН. - Пермь : Изд-во ПНИПУ, 2015. – 81 с.
13. Каталог конструктивных решений по усилению и восстановлению строительных конструкций промышленных зданий. - М.: ЦНИИПромзданий, 1989.
14. Комаров А.А., Г.В.Чиликина. Условия формирования взрывоопасных облаков в газифицированных жилых помещениях. Журнал
«Пожаровзрывобезопасность», т.11, №4, 2002г. 24-28 с.
15. Коробков В.А., Шрамко В.В., Шаталов А.А., Кабанов B.C.
Проектирование зданий и сооружений, расположенных в зоне взрыва.
Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб. научн. тр. - №6. - М.: ЦНИИПромзданий, 1992.
16. Коробков В.А., Наргизян Э.А., Гаглоева Н.Н. Анализ технико- экономических показателей восстановительных работ и нового строительства. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб.
научн. тр. - М.: ЦНИИПромзданий, 1989.
17. НПБ 105-03 Определение категорий помещений, зданий и наружных установок по взрывопожарной и пожарной опасности.
18. Методические указания по натурным обследованиям промышленных зданий, получивших разрушения в результате внешних воздействий. - М.:
ЦНИИПромзданий, 1987.
19. Методические указания по проектированию новых и обследованию существующих строительных конструкций зданий и сооружений взрывоопасных производств. 1996.
20. Мишуев. А.В. и др. Влияние места воспламенения газовоздушной смеси на величину взрывного давления в вытянутых зданиях. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб. научн. тр. - №6. - М.:
ЦНИИПромзданий, 1992.
21. Мишуев. А.В. и др. Исследование процесса взрывного горения в близких к кубической форме помещениях с учѐтом размещения в них технологического оборудования. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Сб. научн. тр. - №4. -М.: ЦНИИПромзданий, 1991.
22. Орлов Г.Г. Легкосбрасываемые конструкции для взрывозащиты промышленных зданий. - М.: Стройиздат, 1987.
23. Пилюгин Л.П. Конструкции сооружений взрывоопасных производств. - М.: Стройиздат, 1988.
24. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С. Вопросы расчѐта и конструирования специальных сооружений. - М: Стройиздат, 1980.
25. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С. Динамический расчѐт железобетонных конструкций. - М.: Стройиздат, 1974.
26. Потапов А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях: Монография.- Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003 – 167 с.
27. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия.
28. СП 27.13330.2017 Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для работы в условиях воздействия повышенных и высоких температур. Актуализированная редакция СНиП 2.03.04.84
29. СП 16.13330.2017 "Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*"
30. СП 42-101-2003 Общие положения по проектированию и строительству газораспределительных систем из металлических и полиэтиленовых труб 31. СП 22.13330.2016 Основания зданий и сооружений.
Актуализированная редакция СНиП 2.02.01-83*
32. СП 62.13330.2011* Газораспределительные системы.
Актуализированная редакция СНиП 42-01-2002 (с Изменениями N 1, 2)
33. СП 60.13330.2012. Свод правил. Отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха. Актуализированная редакция СНиП 41-01-2003 34. СНиП II-11-77*. Защитные сооружения гражданской обороны.
35. СНиП 21-01-97* Пожарная безопасность зданий и сооружений (с Изменениями N 1, 2)
36. СНиП 2.01.51-90. Инженерно-технические мероприятия гражданской обороны.
37. Федеральный закон «О защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера» от 11.11.94г.
38. Федеральный закон «О промышленной безопасности опасных производственных объектов» от 21.07.97г.
39. Федерального закона РФ №384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений»
40. Хомко А.А., Ларионов В.И. Прогнозирование объѐмов восстановительных работ при воздействии ударной волны на складские здания и сооружения. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Экспресс - инф. - М: ВНИИС, 1983, вып. 1.
41. Шрамко В.В. Упрощѐнная методика оценок состояния типовых железобетонных конструкций промышленных зданий после воздействия на них нагрузок от взрыва. Объекты гражданской обороны. Защитные сооружения: Экспресс - инф. - М.: ВНИИС, 1986, вып. 10.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Программа sbdi1.m
sbdi.m (<s>system - система, <b>reak<d>own - разрушение, <i>mpulse - импульс)
В 5-этажном каркасно панельном здании происходит взрыв бытового газа на 4-м этаже.
В программе решена задача по определению параметров динамической реакции (перемещений,скоростей, ускорений и др.) от времени t1, при котором по одному варианту происходитвыключение стеновой панели из совместной работы с каркасом. По другому варианту - одновременное выключение стеновой панели и колонны из совместной работы с каркасом.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Расчет выполняется методом временного с учѐтом внутреннего трения.
Действие взрыва моделируется импульсной нагрузкой по синусоидальному закону:
P(t) = P0*sin(teta*t),
которая прикладывается В узлах каркаса. В форм. (1) teta = pi / ta, где ta - продолжительность действия импульса, с; P0 - вектор амплитуд, кН.
Рассматривается два варианта разрушения связей и элементов конструкций.
В первом варианте разрушаются связи, соединяющие стеновую панель, расположенную на 4-мэтаже, с каркасом. Расчетную модель каркаса здания с данным повреждением назовемповрежденной моделью 1 (или ПМ-1).
При втором варианте происходит одновременное выключение из работы стеновой панели и колонны, ближайшей к источнику взрыва. Данная расчетная модель каркаса – поврежденнаямодель 2 (или ПМ-2).
В обоих случаях при разрушении рассматриваются следующие режимы работы каркаса:
1-й этап: Вынужденные колебания не поврежденного каркаса (далее, базовая модель - БМ) на интервале времени t ~ [t0, t1], где t0 = 0 - начало действия нагрузки;
t1 - время, при котором внезапно выключаются связи и/или несущие элементы.
2-й этап: Вынужд. колебания поврежденного каркаса (ПМ1 или ПМ2)на интервалевремени t ~ [t1, tа], где tа - время окончания действия импульса (взрыва).
3-й этап: Свободные колебания поврежденного каркаса на интервале времени t ~ [tа, tend],
где tend - конец временного анализа.
Дифференциальное уравнение движения дискретной диссипативной системы (ДДС) имеет вид:
MY''(t) + CY'(t) + KY(t) = P(t),
где: M = diag(m1, ..., mn), C, K - матрицы масс, демпфирования и жесткости;
Y(t), Y'(t), Y''(t), P(t) - векторы перем-й, скоростей, ускор. и внешней нагрузки;здесь штрих "'" означает операцию диффененцирования по времени.
Интегрирование дифф. уравнения (2) связано с решением характеристического матричногоквадратного уравнения (МКУ):
M*s^2 + C*s + K = 0.
Матрица s определяется с помощью процедуры msqe.m Структура решения (матрица s) имеет вид корневой пары:
s = inv(M)*[-C + V + U]/2,
где V - кососимметрическая вещественная матрица (V = - V'); U – симметрическаямнимая матрица (U = U') (Здесь штрих "'" - операция транспонирования матрицы:
U = M*s + s.'*M + C (s.' - транспонированная по отношению к s матрица) На основе матричного корня s строится фундаментальная матрица:
Ф(t) = exp(s*t)
Уравнения полной реакции упругой системы от действия вибрационных сил представляются
векторами перемещений Y(t) и скоростей Y'(t) узлов ДДС. Уравнения колебаний ДДС в общем
виде записываются так:
Y(t) = 2*Re {z(t-ti)}*P0, Y'(t) = 2*Re {s*z(t-ti)}*P0.
Вектор-функция z(t-ti) в зависимости от режимов работы имеет различный вид.
На 1-м этапе (ti = t0) происходят вынужденные колебания БМ на интервале вр. t ~ [t0, t1]:
z(t-t0) = {-s*sin(teta*(t-t0)) + teta*Ф(t-t0) -
- E*teta*cos(teta*(t-t0))}*inv[U*(s^2 + E*teta^2 где E - единичная матрица; ^ - возведение в степень.
На 2-м этапе (ti = t1) после выключения связей происходит переход от БМ к ПМ и вносятсякоррективы в параметры расчѐтной динамической модели (РДМ). Матрицы M, C, K в ур-х 2, 3заменяются на новые матрицы M1, C1, K1, соответствующие ПМ1, или M2, C2, K2 для ПМ2 (в
зависимости от того, какой рассматривается вариант разрушения). В результате решенияуравнения(3) изменяются и внутренние динамические параметры (4):
вместо s - s1 (s2), U - U1 (U2) ит.д.
Кроме того, помимо реакции при вынужденных колебаниях появляется реакция при свободныхколебаниях. Вектор-функция z(t-t1) в (6) для поврежденой ДДС на интервале времени
t ~ [t1, tа] имеет вид
z(t-t1) = z0(t-t1) + zр(t-t1),
где z0(t-t1), zр(t-t1) - реакции при свободных и вынужденных колебаниях соответственно:
z0(t-t1) = Фi(t-t1)*inv(Ui)*Mi*[-conj(si)*Y0 + Y0'], zр(t-t1) = {-si*sin(teta*(t-t1)) + teta*Фi(t-t1) -
-E*teta*cos(teta*(t-t1))}*inv[Ui*(si^2 + E*teta^2)].
(i = 1, 2)
Здесь i - номер повреждения (для модели ПМ1 или ПМ2); Y0, Y0' - векторы начальн.условий,определяемые в момент разрушения (при t1) из предыдущих уравнений (6), (7) в конце интервала [t0, t1]: Y0 = Y(t1), Y0' = Y'(t1).
На 3-м этапе (при ti = tа в (6)) действие импульса прекращается, поэтому повреждѐнныый
каркас совершает свободные колебания. Вектор-функция z(t-tа) на интервале t ~ [tа, tend]имеет вид
z0(t-ta) = Фi(t-ta)*inv(Ui)*Mi*[-conj(si)*Y0 + Y0'],
где Y0 = Y(tа), Y0' = Y'(tа) - векторы нач. условий определяются в конце предыдущегоинтервала времени [t1, tа] из уравнений (6), (8); (conj(si) - операция комплексногосопряжения матрицы si в системе MATLAB).
Составлено: проф. Потапов А.Н., дипломники Иванова О., Мусин Э.
Кафедра СПТС, ЮУрГУ, 24.12.2019.
Ф О Р М И Р О В А Н И Е И С Х О Д Н Ы Х М А Т Р И Ц
Размерности элементов матриц: М ~[кн*с^2/см], К ~[кн/см], С ~[кн*с/см]
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ dec = 0.4; d - логариф. декремент колебаний n = 5; n - число степеней свободы
E = 3e3; ro = 2.5; ro1 = 1; модуль упругости элементов каркаса, кН/cм2;
плотность мат.,т/м3
g = 9.81; распредел. нагрузка на ригели,т/м; ускорение своб.падения,м/с2 b = 40; Jx = b^4/12; ширина колонны (см), момент инерции сечения (см4) EJx = E*Jx; Изгибная жесткость колонн, кН*см2
h = 310; l = 276; Высоты этажей, пролѐт, см
Расчетно динамические параметры (РДМ) базовой модели (БМ) Матрица жѐсткости БМ, кН/см
K = (diag (ones (n, 1)) - diag (ones (n-1, 1), 1) - diag (ones (n-1, 1), - 1))*36*EJx/h^3;
for i = 1:4, K(i,i) = K(4,4)*2; end МатрицажѐсткостиПМ, кН/см
K1 = K; K2 = K; K2(3,3) = 60*EJx/h^3; K2(4,4) = K2(3,3); K2(3,4) = - 24*EJx/h^3; K2(4,3) = K2(3,4);
Матрица масс БМ, кН*с2/см
Vpp = 4.86; Vk1 = 2.88; Vr = 8.4; Vsp1 = 22.59; % Обьем М3 пл.пер., кол., риг., ст.пан. (1 этаж)
m1 = (Vk1*3 + Vpp + Vr + Vsp1/10)*ro + Vsp1*ro1;
Vk2 = 2.46; Vsp2 = 22.59; % Обьем М3 кол., ст.пан. (2 этаж) m2 = (Vk2*3 + Vpp + Vr + Vsp2/10)*ro + Vsp2*ro1;
m3 = m2; m4 = m2;
Vpp5 = 13.5; Vk5 = 2.85; Vr = 8.4; Vsp5 = 22.59; % ОбьемМ3 пл.пер.,кол., риг., ст.пан. (5этаж)
m5 = (Vk5*3 + Vpp5 + Vr + Vsp5/10)*ro + Vsp5*ro1;
M = diag ([m1, m2, m3, m4, m5])/100; % Деление на 100, перевод кН*с2/см
% Матрица масс ПМ1 (первый вариант поврежденной модели),ПМ2 (2-й вар), кН*с2/см
Vsp4_1 = Vsp2*7/8; % Из полного обьема Vsp4 вычтено 1/8 этого обьема Vsp3_1 = Vsp2*7/8; % То же самое для третьего этажа
m3 = (Vk2*3 + Vpp + Vr + Vsp2/10)*ro + Vsp3_1*ro1;
m4 = (Vk2*3 + Vpp + Vr + Vsp2/10)*ro + Vsp4_1*ro1;
M1 = M; M1(4,4) = m4/100; M1(3,3) = m3/100; M2 = M1;
% Матрицы демпфирования БМ, ПМ1, ПМ2 (первый вариант поврежденной модели), кН*с2/см
m = diag(M); m1 = diag(M1); m2 = diag(M2); % векторы масс БМ и ПМ1, кН*с2/см
Minv = inv(M); Minv1 = inv(M1); Minv2 = inv(M2); %
T = dec/pi*diag(sqrt(m./diag(K))); C = (K*T + T*K)/2; % дляБМ, кН*с/см
T1 = dec/pi*diag(sqrt(m1./diag(K1))); C1 = (K1*T1 + T1*K1)/2; % дляПМ1, кН*с/см
T2 = dec/pi*diag(sqrt(m2./diag(K2))); C2 = (K2*T2 + T2*K2)/2; % дляПМ2, кН*с/см
[s, s3] = msqe(M, C, K*3); [s1, s3] = msqe(M1, C1, K1*3); % МатричныекорниБМиПМ1
[s2, s3] = msqe(M2, C2, K2*3); % МатричныекорниПМ2
% Внутренние динамические характеристики каркаса БМ, ПМ1, ПМ2 La = eig(s); G0 = -real(La); [W, I] = sort(imag(La)); G = G0(I);
La1 = eig(s1); G0 = -real(La1); [W1, I1] = sort(imag(La1)); G1 = G0(I1);
La2 = eig(s2); G0 = -real(La2); [W2, I2] = sort(imag(La2)); G2 = G0(I2);
disp('Первые три столбца - частоты БМ, ПМ1, ПМ2, последние три столбца - периоды колеб.')
frek = [W, W1, W2, 2*pi./W, 2*pi./W1, 2*pi./W2]
disp('коэффициентыдемпфированияБМ, ПМ1, ПМ2'), demp = [G, G1, G2]
a = [1:n]; plot(a,frek(:,1),'-k', a,frek(:,2),'-r', a,frek(:,3),'--b'), grid
характеристики временного анализа (ВА) t0 = 0; tst = 0.005; t1 = 0.9; ta = 1.8;
tend = 10; % tst - шаг ВА, ta - продолжит-сть действия импульса
Временные интервалы: t2 ~ [t0, t1]; t3 ~ [t1, ta]; t4 ~ [ta, tend]; Time ~ [t0, tend]
t2 = [t0:tst:t1]; t3 = [t1:tst:ta]; t4 = [ta:tst:tend]; Time = [t2 t3 t4];
disp(sprintf('Время начала разрушения промежуточной колонны: t1 =.4g', t1)) disp(sprintf('Шаг временного анализа: tst = %.4g', tst))
Ввод и описание кинематических характеристик каркаса
Y = []; V = []; A = []; P00 = []; P001 = []; P002 = []; % массивы премещ., скоростей и ускорений
R = K*Y, F = C*V, I = -M*A - массивы восстанавливающих, диссипативных и инерционных сил
Характеристики внешней нагрузки (1): P0 = [Px1, Px2, Py1, Py2, M1, 0]' - вектор амплитуд;
teta = pi / ta - аргумент синусоидальной нагрузки; Pxi - P0i*sin(alf), Pyi - P0i*cos(alf);
alf - угол между направлением вектора нагрузки P(t) и осью y; i - номер этажа;
ДляБМ: M1 = 0; дляПМ1: М1 = Px1*[b1*cos(alf)-a1*sin(alf)]; дляПМ2: М1 = - Px1*a2*sin(alf);
a1 (ПМ1), a2 (ПМ2) - эксцентриситеты между ц.т.(С1) и ц.ж.(О1) по вертик.;
b1 - по горизонт.(ПМ1);
Сi - центр тяж. перекрытия i-го эт., Oi - центр жѐсткости упругих связей (колонн) i-го эт. каркаса.
P0 = zeros(n, 1); P0(4) = 66;
teta = pi/ta;
P01 = P0; P01(5) = M11; P02 = P0; P02(5) = M12;
Ap = Minv*P0; Ap1 = Minv1*P0; Ap2 = Minv2*P0;
Вспомогательневычисления
si0 = sin (teta*t0); co0 = cos (teta*t0); si1 = sin (teta*t1); co1 = cos (teta*t1); % E = eye(n); E1 = E*teta^2; s3 = s.'; s4 = s1.'; s5 = s2.';
U = M*s + s3*M + C; Uin = inv(U); B = inv(U*(s^2 + E1)); % вспомогат.
вычисления
U1 = M1*s1 + s4*M1 + C1; Uin1 = inv(U1); B1 = inv(U1*(s1^2 + E1)); % вспомогат. вычисления
U2 = M2*s2 + s5*M2 + C2; Uin2 = inv(U2); B2 = inv(U2*(s2^2 + E1)); % вспомогат. вычисления
Блок 1: вынужд-е колебания БМ от действия импул-й нагрузки на интерв.
времени: [t0, t1]
for t = t2, te = teta*(t-t0); Ft = expm(s*(t-t0)); %
X = 2*(-s*sin(te) + teta*Ft - E*cos(te)*teta)*B; Z = real(X)*P0; % Z: реакцияБМ Y = [Y Z]; V = [V real(s*X)*P0]; % массивы перемещений и скоростей
A = [A (real(s^2*X)*P0 + Ap*sin(te))]; P001 = [P001 P0*sin(te)]; P002 = [P002 P0*sin(te)]; % массивускорений
end, R = K*Y; F = C*V; I = -M*A; % массивы восст., дисс. и инерц. сил c = size(Y, 2);
Y0 = Y(:, c); V0 = V(:, c); % формир-е векторов начальных условий в конце итерв. [t0, t1]
figure, p = plot(t2, Y(1:n, :), '-k'); ylabel('Перемещения, см'), grid
Y1 = Y; V1 = V; A1 = A; R1 = R; F1 = F; I1 = I; % Массивы параметров реакции для ПМ1
Y2 = Y; V2 = V; A2 = A; R2 = R; F2 = F; I2 = I; % Массивы параметров реакции для ПМ2
Блок 2: вынужд. колебания ПМ1 от действия импульс. нагрузки (разруш.
связей 4-го этажа при t1)
for t = t3, te = teta*(t-t1); te1 = teta*t; Ft = expm(s1*(t-t1)); % отрезок времени:
t3 ~ [t1, ta]
X0 = Ft*Uin1*M1*(-conj(s1)*Y0 + V0); % реакция при своб. колеб. каркаса от дейстия начальных условий
Xp = (-s1*sin(te) + teta*Ft - E*cos(te)*teta)*B1; X = 2*(X0 + Xp*P0); Z = real(X);
Y1 = [Y1 Z]; V1 = [V1 real(s1*X)]; % массивы перемещений и скоростей
A1 = [A1 (real(s1^2*X) + Ap1*sin(te1))]; P001 = [P001 P0*sin(te1)]; % массивускорений
end, c01 = size(Y1, 2); c1 = c+1:c01;
R1 = [R1 K1*Y1(:, c1)]; F1 = [F1 C1*V1(:, c1)]; I1 = [I1 -M1*A1(:, c1)]; % массивывосстан., диссип. иинерц.сил
Y01 = Y1(:, end); V01 = V1(:, end); % формир-е векторов нач. условий в конце итерв. [t1, tа]
Блок 3:свободные колебания ПМ1 на интервале времени: t4 ~ [tа, tend]
for t = t4, te = teta*(t-ta); Ft = expm(s1*(t-ta)); % отрезок
X = 2*Ft*Uin1*M1*(-conj(s1)*Y01 + V01); реакция при своб. колеб. каркаса Z = real(X); % реакция при своб. и вынужд. колеб.
Y1 = [Y1 Z]; V1 = [V1 real(s1*X)]; A1 = [A1 real(s1^2*X)]; P001 = [P001 P0*0]; % массивы перем, скоростей и ускорений
end, c3 = (c01+1):size(Y1, 2);
R1 = [R1 K1*Y1(:, c3)]; F1 = [F1 C1*V1(:, c3)];
I1 = [I1 -M1*A1(:, c3)]; % массивы восстан., диссип. и инерц.сил
Блок 4: вынужд. колебания ПМ2 от действия импульс. нагрузки (разруш.
связей 4-го этажа при t1)
for t = t3, te = teta*(t-t1); te1 = teta*t; Ft = expm(s2*(t-t1)); % отрезок времени:
t3 ~ [t1, ta]
X0 = Ft*Uin2*M2*(-conj(s2)*Y0 + V0); % реакция при своб. колеб. каркаса от дейстия начальных условий
Xp = (-s2*sin(te) + teta*Ft - E*cos(te)*teta)*B2; X = 2*(X0 + Xp*P0); Z = real(X);
Y2 = [Y2 Z]; V2 = [V2 real(s2*X)]; % массивы перемещений и скоростей
A2 = [A2 (real(s2^2*X) + Ap2*sin(te1))]; P001 = [P001 P0*sin(te1)]; % массивускорений
end, c01 = size(Y2, 2); c1 = c+1:c01;
R2 = [R2 K2*Y2(:, c1)]; F2 = [F2 C2*V2(:, c1)]; I2 = [I2 -M2*A2(:, c1)]; % массивывосстан., диссип. иинерц.сил
Y01 = Y2(:, end); V01 = V2(:, end); % формир-е векторов нач. условий в конце итерв. [t1, tа]