подробно суть метода используемого в работах [1] и [2] будет рассмотрена в параграфе 4).
3. Адаптивная версия метода NLMS
Одной из основных проблем связанных с использованием метода NLMS является правильное определение параметров алгоритма.
Как правило, параметры алгоритма подбираются заранее методом проб и ошибок. Ясно, что в случае если фильтр используется для предсказания характеристик канала подобный метод неприменим. так как параметры должны быть выбраны до того как начнется процедура обучения. Поэтому необходим адаптивный алгоритм, способный не только настраивать должным образом весовые коэффициенты предсказателя, но и определять параметры самого алгоритма подстройки, наилучшие с точки зрения особенностей конкретной задачи (характера изменения частотного отклика).
Примером алгоритма такого рода может служить модификация NLMS представленная в работе [5]:
NLMS с переменным шагом (то есть с
подстройкой параметра определяющего скорость обучения). Вместе с тем представляется целесообразным создание алгоритма, предусматривающего также отыскание наилучшей (с точки зрения качества предсказания) длины линейного фильтра (то есть количества предыдущих измерений, которые используются для предсказания), то есть такой длины, что использование фильтра другой длины ведет к ухудшению качества предсказания.
Разработка такого адаптивного варианта алгоритма требует, прежде всего, определения целевой функции, минимизация которой и будет критерием определения наилучших параметров.
Кроме того, необходимо учитывать особенности параметров алгоритма (длина фильтра есть величина дискретная) и накладываемые на них ограничения (величина шага варьируется в интервале (0,2); длина фильтра не может быть меньше двух, в то же время в реальных приложениях неизбежно существует и граница сверху).
Для того, чтобы учесть эти требования воспользуемся часто используемым в таких случаях подходом: разобьем решаемую задачу многомерной оптимизации на множество задач оптимизации меньшей размерности, как это делается, например, в методе Гаусса-Зейделя. В качестве общего критерия выберем среднее значение квадрата ошибки (СКО) предсказания (усредненное по разным подканалам) для одной итерации, а оптимизацию по размеру шага и длине фильтра будем производить методом случайного поиска. Метод случайного поиска
характеризуется рядом достоинств: он позволяет избежать попадания в локальные минимумы, позволяет легко учесть наложенные на параметры ограничения и не требует ничего кроме вычисления значений целевой функции.
При этом, делая случайный шаг, мы станем использовать новое значение параметра лишь в том случае, если оно приводит к уменьшению значения целевой функции. Таким образом, пользуясь терминологией Расстригина [4], можно сказать, что предложенный метод является методом “с поощрением случайностью”.
Уменьшение длины фильтра на
n
(L
new= L
old− n
) будет означать, чтоn
последних компонент каждого из векторов весов будут игнорироваться. Увеличение длины на ту же величину (
L
new= L
old+ n
) будет означать что в конец вектора весов дописываются малые случайные величины. Кроме того, мы станем уменьшать длину фильтра в том случае, если это не приводит к увеличению значения целевой функции.Ниже приведена краткая запись алгоритма, удовлетворяющего выдвинутым нами требованиям
1. Выбрать начальные значения параметров фильтра, выполнить М шагов алгоритма NLMS для каждого из предсказываемых коэффициентов с заданными значениями параметров и вычислить значение целевой функции
2. Изменить один из параметров, проверить выполнены ли ограничения, если да перейти к шагу 3, в противном случае вернуться к шагу 2 3. сделать один шаг алгоритма NLMS для каждого из предсказываемых коэффициентов с новым значением параметра и вычислить новое значение целевой функции
3. Сравнить новое и старое значение целевой функции,
-если новое значение меньше принять изменения, -если значение целевой функции не изменилось, а новая длина меньше прежней принять новое значение длины
- в противном случае сохранить прежние параметры
4. Проверить достигнут ли конец обучающего множества, если нет перейти к шагу 2
Ниже будет показано, каким образом применение предложенного алгоритма позволяет скорректировать выбор параметров, и как такой выбор влияет на качество предсказания.
При моделировании использовалась модель реальной системы на базе OFDM, использующая модель канала с замираниями, описываемого набором импульсных откликов. Для описания поведения реального медленно меняющегося канала была принята следующая модель:
изменение характеристики канала считалось вероятностным событием, характеризующимся
p
вероятностью перехода к следующей характеристике из некоторого конченого набора.При этом процедура перехода организована таким образом, чтобы избежать скачкообразных изменений характеристики (так как они не предусмотрены моделью канала). Сам канал был разбит при помощи OFDM на 256 частотных подканалов, однако для передачи информации использовались лишь 208 из них. Отношение сигнал/шум было принято равным 28 дБ. При передаче использовалась QAM 256 и внешний низкоплотностный код с длиной кодового слова, соответствующей 16 OFDM кадрам. Для оценивания использовался метод, описанный в параграфе 1, причем предполагалось что канал не меняется в процессе передачи одной кодовой комбинации, то есть импульсный отклик канала меняется, по крайней мере, не чаще чем каждые 16 OFDM кадров (это предположение, позволяет использовать статистику по 16 OFDM кадрам для оценки текущего частотного отклика и определяет максимальную точность с которой можно оценить частотный отклик, пользуясь предложенным методом).
В работах [1],[2] линейные фильтры, настроенные при помощи метода NLMS, использовались для предсказания отсчетов импульсного отклика (то есть предсказание происходило во временной области). Это обстоятельство обуславливает необходимость перехода из частотной области во временную и обратно (что в случае рассматриваемой нами системы неизбежно приводит к экстраполяции и вносит дополнительную ошибку в данные, на основе которых делается предсказание). В настоящей работе метод NLMS будет использован для подстройки линейных фильтров, осуществляющих предсказание в частотной области, причем для каждой из компонент частотной характеристики (то есть комплексного коэффициента передачи каждого подканала) используется собственный линейный фильтр и все фильтры работают параллельно и независимо.
Работа каждого из фильтров разбивается на две фазы. В рамках первой фазы (“настройка”) система осуществляет оценивание канала, используя пилотные последовательности, и настраивает веса фильтров, с корректировкой
параметров самих фильтров (в случае если используется описанная выше адаптивная версия алгоритма) или без таковой (в случае если используется классический NLMS). В рамках второй фазы линейные фильтры предсказывают компоненты частотной характеристики на основе предыдущих оценок (см. (8)) (при этом могут использоваться как значения предсказания на предыдущих шагах, так и величины, полученные при помощи оценивания на основе декодирования внешнего кода). Также возможно дообучение (в настоящей работе мы не рассматриваем дообучение).
На рис 1. приведен пример результатов использования предсказания при помощи линейного фильтра (для удобства на графике показана только одна компонента)
0 50 100 150 200 250
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
Номера подканалов
Част от н ы й от л ик (д ейст ви т ел ь ная ком п онен та):
ист ин н ы е и п ред сказан н ы е зн ачен ия и ст и нн ое знач ен и е
п ред сказан ное зн ачен ие
Рис. 1
Следует отметить, что, несмотря на то что мы не учитывали корреляции компонент частотной характеристики (а в действительности она имеет место), выбранный нами простой метод позволяет предсказывать значения компонент частотной характеристики с достаточной высокой точностью.
Рассмотрим использование предложенной выше адаптивной версии алгоритма. Прежде всего, отметим, что предложенный алгоритм подбора параметров гарантирует, что средняя величина квадрата ошибки предсказания по подканалам, по меньшей мере, не возрастет при изменении параметров фильтра, так как изменение параметров, приводящее к увеличению СКО запрещено алгоритмом. Теоретически алгоритм должен всегда приводить к минимизации СКО (по крайней мере, на обучающем множестве). В действительности нахождение глобального минимума гарантируется лишь при бесконечном времени работы. На практике и обучающее множество, и время обучения конечны, поэтому, в общем случае, уменьшение СКО по сравнению с классическим алгоритмом и изменение
параметров могут и не произойти. Однако, во всяком случае, СКО на обучающем множестве не может быть больше той, которую можно получить, пользуясь классическим алгоритмом.
Для нас, однако, наибольший интерес представляет изменение СКО, как меры качества работы алгоритма, при использовании предложенной нами модификации алгоритма вместо классической версии, а также изменение параметров самого фильтра. Для того чтобы получить о них представление, рассмотрим несколько экспериментов с различными значениями величины шага и длины фильтра. В качестве основной меры будем использовать СКО усредненный как по подканалам, так и по количеству итераций (в рассмотренных примерах осуществлялось предсказание 1000 частотных характеристик). Задавались следующие параметры: вероятность перехода для характеристики, длина фильтра, размер шага.
Данные об экспериментах приведены в
Таблице 1. Начальные условия для адаптивной версии совпадают с данными для классического алгоритма. Для адаптивной версии приведены значения полученные в результате оптимзации.
Таблица 1 Эксперимент №1, p=0,75 Алгоритм Длина
фильтр а
Разме р шага
СКО
Классический
NLMS 5 0.65 7.7310e
-007 Адаптивная
версия NLMS 2 0.561
2 6.4687e
-007 Эксперимент №2, p=0,25
Классический
NLMS 6 0.6 7.0730e
-007 Адаптивная
версия NLMS 2 0.656
7 6.0352e
-007 Эксперимент №3, p=0.9
Классический NLMS
7 0.65 8.7278e
-007 Адаптивная
версия NLMS 2 0.563
1 7.4530e
-007 Как видно из таблицы СКО во всех случаях уменьшается незначительно, малы и изменения размера шага. Вместе с тем, длина фильтра во всех случаях оказалась заметно меньше той, которая задавалась изначально. Это объясняется тем, что, как уже говорилось, характеристика меняется сравнительно медленно, а вариации характеристики малы, поэтому для того, чтобы
описать их в рамках принятой авторегрессионной модели необходимо использовать малое число измерений предшествующих характеристик.
Включение в модель дополнительных компонент лишь искажает прогноз, но, в силу того, что изменения характеристики сравнительно малы, точность прогноза снижается незначительно.
Следует также отметить, что, несмотря на то, что применение предложенного метода требует существенных затрат времени, оно не влияет на быстродействие системы, так как процедура выбора осуществляется в момент настройки фильтра (то есть в тестовом режиме работы). В обычном режиме используются вновь выбранные параметры фильтра, а сами фильтры работают так же как в традиционном алгоритме.
5. Заключение
Нами было рассмотрено использование алгоритма NLMS для настройки фильтров, применяемых для предсказания частотной характеристики канала в системе с мультиплексированием при помощи ортогональных частот, и предложен алгоритм адаптивного выбора параметров таких фильтров.
Проведенные эксперименты позволяют сделать вывод о применимости предложенного алгоритма и целесообразности его применения в системах использующих линейное предсказание.
Предложенный алгоритм выбора параметров может легко модифицироваться (например, за счет увеличения числа итераций случайного поиска при выборе параметров), а также может сочетаться не только с рассматриваемым здесь алгоритмом NLMS, но и с другими подобными алгоритмами (таких например, как рекурсивный метод минимальной среднеквадратичной ошибки).
Литература
[1] D. Schafhuber, G. Matz, F. Hlawatsch “Adaptive prediction of time-varying channels for coded OFDM systems ” in Proc. IEEE ICASSP-2002, Orlando (FL), May 2002.pp. 2549-2552.
[2] D. Schafhuber, G. Matz, F. Hlawatsch “Adaptive Wiener filters for time-varying channel estimation in wireless OFDM systems” in Proc. IEEE ICASSP- 2003,Hong Kong, April 2003,
Vol. IV, pp. 688-691.
[3] M. Sternad and D. Aronsson, “Channel estimation and prediction for adaptive OFDM downlinks." IEEE VTC 2003-Fall, Orlando, Fla, Oct.
2003.
[4] Р а с т р и г и н Л. А., Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем, изд-во «Зинитне», Рига, 1965.
[5] A. I. Sulyman and A. Zerguine. “Convergence and Steady-State Analysis of a Variable Step-Size NLMS Algorithm.” Signal Processing, EURASIP, Vol. 83, Issue 6, pp. 1255-1273, June 2003.
[6] Z. Shen, J. G. Andrews, and B. L. Evans, "Short Range Wireless Channel Prediction Using Local Information," in Proc. IEEE Asilomar Conf. on Signals, Systems, and Computers
[7] T. Ekman and G. Kubin, “Nonlinear prediction of mobile radio channels: Measurements and MARS modeling designs,” in Proc. IEEE Internatinoal Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Mar. 1999, pp. 2667–2670.
[8] Liu, W., Yang, L. L. and Hanzo, L. (2006) Recurrent Neural Network Based Narrowband Channel Prediction. In Proceedings of IEEE VTC'06 Spring 5, pp. 2173-2177, Melbourne, Australia.