Геоинформационные Методы Обнаружения Кластеров в Потоке
в рассматриваемом объеме возрастает ввиду вклада в деформацию перемещений по берегам трещин.
В ЛНТ-модели существенным моментом является представление об иерархии трещин. Это означает, например, что если готовится землетрясение магнитуды 7 (длина разрыва L = 20-40 км) (конец стадии III на рис. 1), то на стадии II взаимодействуют трещины с длиной разрыва порядка километра (магнитуда 4-5), а на стадии I эти трещины формируются из слияния более мелких, размером порядка десятков метров или меньше (магнитуда 1-2). Таким образом, стадия микротрещинообразования (дилатансия в общепринятом понимании) относится к далекому прошлому и, по сути, на последних этапах подготовки большого землетрясения не рассматривается. Однако при расчете энергетических затрат на формирование макроразрыва следует учитывать всю энергию, пошедшую на его образование, начиная с микроуровня.
Рис. 1. Схема модели лавинно- неустойчивого трещинообразования
подготовки землетрясения.
а – изменения в зависимости от времени напряжения
σ, прочности σ, электросопротивления ρ, отношения
скоростей продольных и поперечных сейсмических волн
Vρ/VS, скорости деформации ε; б-последовательные
стадии трещинообразования.
3. Математическая модель кластеризации
На стадии I развития землетрясения события происходят случайным образом, образуя пуассоновский процесс. На стадии II случайные разрывы земной коры начинают объединяться, образуя более крупные. Такие землетрясения выпадают из обычного процесса и указывают на место будущего формирования большого разрыва. Объединив такие события в кластеры, можно проанализировать их поведение и использовать в дальнейшем для предсказания сильных землетрясений.
События a и b, для которых времена наступления
b
a t
t < ,
принадлежат одному кластеру, если сила событий (магнитуда или класс)
mb ≥ma, (1) расстояние между событиями
ρ(a,b)≤3l(a) (2) и время между событиями
tb−ta≤T(a). (3) Здесь l(a) – длина разрыва в очаге события a, а T(a) – максимальное время ожидания события с магнитудой m≥ma на площадке с линейным размером 3l(a) в предположении, что последовательность событий подчиняется распределению Пуассона.
По условию (2) два события буду входить в один кластер, если расстояние между ними меньше трех размеров разрыва в очаге землетрясения. Коэффициент 3 взят на основании концентрационного критерия разрушения [7], который указывает на то, что перед макроразрушением твердого тела в его объеме накапливается критическая площадь трещин, расположенных на утроенном расстоянии их размеров. В [8] получено расстояние между событиями a и b
ε ρ(a,b)≤3*10−2.266*Ea0.244+ ,
где ε – ошибка в определении координат эпицентра, равная 10 км, а Ea – энергия события a.
Принимая во внимание самоподобие сейсмического процесса и результаты, полученные в [9] и [10], можно получить оценку для времени T(a):
) 10 1 ( 3 *
* 10
*
* ) 1 ln(
) (
2
0 ) 1 , 4 (
1 0
0
b b m
b
m L
A a
T −
−
− − ⎟⎟⎠ −
⎜⎜ ⎞
⎝ α ⎛
−
−
= , (4)
где – активность сейсмического режима для событий с магнитудой m0, b – коэффициент наклона графика повторяемости, α – вероятность образования кластера за время T(a).
m0
A
Видно, что время T(a) не зависит от конкретного события, то есть уменьшение числа землетрясений из-за увеличения магнитуды полностью компенсируется увеличением площади эпицентра (обсуждение физической стороны этого обстоятельства можно найти в [11]). В сейсмически активных районах это время составляет примерно несколько лет.
4. Алгоритм кластеризации
Для оптимизации алгоритма для каждого события подсчитывается заранее максимальное расстояние и время до второго события по приведенным выше формулам, после чего события сортируются по времени.
Потом, пробегая по всем событиям, алгоритм выбирает все пары событий, удовлетворяющие условиям кластеризации. Если одно и тоже событие находится в двух разных кластерах, то эти кластеры сливаются, то есть все события из второго кластера включаются в первый и второй кластер уничтожается. Среднее время поиска кластеров для каталога из 20 тыс. событий составляет примерно 30 секунд, то есть дальнейшая оптимизация не требуется.
5. Алгоритм генерирования искусственного каталога
Для анализа результатов был сгенерирован искусственный каталог землетрясений с распределением Пуассона по времени. Размеры нового каталога (по широте, долготе и продолжительность по времени) и статистические характеристики магнитудного и пространственного распределений (N(m) и N(x,y)) задаются на основе оригинального. Все землетрясения генерируемого случайного каталога считаются неглубокими, то есть глубина их гипоцентров принимается за 0 и, в дальнейшем, не учитывается.
Для того чтобы число землетрясений в новом каталоге не было постоянным, используется следующая схема. Берется промежуток времени в 10 раз больше и число розыгрышей в 10 раз больше, чем в оригинальном каталоге, но учитываются только значения, попавшие в интервал времени, соответствующий оригинальному каталогу. То есть разыгрывается значение τ случайной величины Τ, распределенной равномерно в интервале (T0, T0+10*∆T), где T0 – момент первого события из каталога, а ∆T – разница во времени между первым и последним событием. Если значение попадает в интервал (T0, T0+∆T), то такое землетрясение попадает в новый каталог и для
него следующим образом определяются значения координат и магнитуды.
Для построения распределения эпицентров строится сетка с шагом в 0,1º по широте и долготе. Затем, в каждой ячейке считается количество землетрясений, оказавшихся в ее пределах, и их количество нормируется на общее число землетрясений в оригинальном каталоге.
После этого, пробегая сначала по горизонтали, потом по вертикали, строится интегральная характеристика – сумма количества землетрясений по всем предыдущим ячейкам.
Далее, разыгрывается значение v случайной величины V, распределенной равномерно в интервале (0,1), и ищется ячейка, для которой полученное значение v меньше интегральной характеристики данной ячейки, но не меньше предыдущей. Таким образом, выбрана ячейка, куда помещается землетрясение. Далее разыгрываются два значения x и y для случайных величин X и Y, распределенных равномерно в интервале (0,1º). Эти значения прибавляются соответственно к долготе и широте, соответствующим левому нижнему углу ячейки.
Для построения распределений по магнитуде используется аналогичный метод. Строится разбиение оригинального каталога по магнитудам с точностью до единиц, затем считается количество землетрясений с магнитудой, меньше или равной данной магнитуде. Производится нормировка, затем разыгрывается значение x случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (0,1), и для каждого землетрясения ставится в соответствие та магнитуда, которой соответствует полученное значение. Так как магнитуды оригинального каталога сами по себе не определяются с достаточной точностью, то процедура, подобная выбору координат x,y, для магнитуд не требуется.
6. Эксперименты кластеризации
Величины магнитуд берутся из каталогов землетрясений, параметр A (для определения времени T(a) в формуле (4)) берется из внешней растровой карты, рассчитанной для данного района за значительное время (которое может быть больше продолжительности каталога, в котором ищутся кластеры). Это позволяет вычислять параметры с более частой сеткой.
Считается, что параметр b не сильно меняется на территории региона, и он принимается равным
0,48. В качестве исходных каталогов
использовались следующие каталоги.
Каталог для Центральной Азии, подготовленный Г.А. Соболевым в Институте Физики Земли РАН. Его характеристики:
1) северная широта от 41° до 45°.
2) западная долгота от 74° до 80°.
3) время с 1967 года по 1994 год.
4) число событий – 15363.
5) афтершоки сняты.
Рис. 2. Территория Центральной Азии с отмеченными на ней землетрясениями за
1980 год.
Каталог для Камчатки, подготовленный В. Б.
Смирновым в Институте Физики Земли РАН. Его характеристики:
1) северная широта от 49° до 57°.
2) западная долгота от 155° до 167°.
3) время с 1962 года по 2004 год.
4) число событий – 71234.
5) афтершоки сняты.
Рис. 3. Территория Камчатки с отмеченными на ней землетрясениями за 1967 год.
7. Обсуждение результатов
Результаты представляют собой список кластеров с указанием землетрясений. После этого по ним собирается статистика – число кластеров, число землетрясений в кластерах,
зависимость числа кластеров от их размеров, среднее значение силы землетрясений во всех кластерах.
Для региона Центральной Азии было получено 187 кластеров, в которые попало 383 землетрясения. Средний размер кластера составляет 2.05 события. В то же время, для случайного каталога на той же территории, с теми же пространственным и магнитудным распределениями, но с равномерным по времени, образовалось всего 64 кластера размера 2.
Для региона Камчатки было получено значительно больше кластеров 1073, в которые попало 2930 землетрясений. По-видимому, это связано с оценкой фрактальной размерности для данных регионов. Для Средней Азии она равна 1.41, а для Камчатки 0.94. Это означает, что пространственное распределение землетрясений на Камчатке близко к линейному, что способствует образованию кластеров. Средний размер кластера составляет 2.73 события.
Для случайного каталога на территории Камчатки образуется 348 кластеров, но из них всего 5 длины 3. Соответственно, средний размер кластера в этом случае равен 2.01.
На рис. 4 и 5 показана зависимость числа кластеров от их размеров для Центральной Азии и Камчатки. Видно, что для малых размеров кластеров, то есть там, где число кластеров одного размеров достаточно велико, данная зависимость имеет вид билогарифмической прямой:
n b a n
N( ) lg
lg = − ,
где n – размер кластера, N(n) – число кластеров размера n. На Камчатке для оригинального каталога эта кривая имеет меньший коэффициент be=3.98, чем для случайного br=10.42. В Средней Азии, хоть и невозможно оценить наклон, очевидно, что число кластеров в случайном каталоге меньше их числа в естественном на порядок. То есть, в оригинальном каталоге склонность к образованию более длинных кластеров выше, чем в случайном.
В обоих каталогах видно, что реальный сейсмический поток не является пуассоновским, так как число кластеров реального потока значительно превышает число кластеров в искусственно сгенерированном пуассоновском потоке. В дальнейшем необходимо изучить возможность использования этого свойства для анализа физических моделей подготовки очага землетрясения и для предсказания землетрясений.
Рис. 4. Зависимость числа кластеров от их размеров для Центральной Азии.
Рис. 5. Зависимость числа кластеров от их размеров для Камчатки.
8. Выводы
Разработана математическая модель кластеризации землетрясений, основанная на физической модели подготовки землетрясения (модель ЛНТ) и статистических свойствах сейсмического потока. Разработаны и реализованы алгоритмы кластеризации и генерирования случайных каталогов. С их помощью выполнена кластеризация и анализ каталогов землетрясений Средней Азии и Камчатки. Показано, что реальный сейсмический поток содержит большое количество кластеризованных событий. Это свойство может оказаться полезным для анализа физических моделей подготовки очага землетрясения и для предсказания землетрясений. Данная работа поддержана грантами РФФИ 06-07-89139-а, 04-
07-90155 и Программой Президиума РАН
«Электронная Земля».
9. Список литературы
[1] В.Г. Гитис, Б.В. Ермаков, “Основы пространственно-временного прогнозирования в геоинформатике”, М.:ФИЗМАТЛИТ (2004).
[2] V. Gitis, A. Derendiaev, P. Metrikov, “GEOTIME II:
A WEB-GIS FOR A COMPLEX ANALYSIS OF SPATIO-TEMPORAL PROCESSES”, Proceedings of First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology, Geneva (2006).
[3] В.Г. Гитис, А.П. Вайншток, А.Б. Дерендяев, Э.А.
Лихачева, П.А. Метриков, Е.Н. Петрова, С.А. Пирогов, Е.Ф. Юрков, “Сетевая ГИС для анализа геоэкологической обстановки урбанизированной территории”, Геоэкология Москвы: методология и методы оценки состояния городской среды. М., МедиаПресс, с. 169-186 (2006).
[4] Г.А. Соболев, “Основы прогноза землетрясений”, М.: Наука, 313 (1993).
[5] Г.А. Соболев, А.В. Пономарев, “Физика землетрясений и предвестники”, М.: Наука, 116-118 (2003).
[6] С.Н. Журков, “Кинетическая концепция прочности твердых тел”, Вестник АН СССР, Вып. 3, 45-62 (1968).
[7] С.Н. Журков, В.С. Куксенко, В.А. Петров, “О прогнозировании разрушения горных пород”, Изв. АН СССР, Физика Земли, №6, 11-18 (1977).
[8] Ю.В. Ризниченко, “Размеры очага корового земелетрясения и сейсмический момент”, Исследования по физике землетрясения, М.: Наука, 9- 27 (1976).
[9] В.Б. Смирнов, “Оценка длительности цикла разрушения литосферы Земли по данным каталогов землетрясений”, Физика Земли, №10, 13-32 (2003).
[10] Н.В. Шебалин, “Замечания о преобладающих периодах, спектре и очаге сильного землетрясения”, Вопр. Инж. Сейсмологии. Вып. 14, 50-78 (1971).
[11] В.Б. Смирнов, “Повторяемость землетрясений и параметры сейсмического режима”, Вулканология и сейсмология, №4, 59-70 (1995).