Алгебра HH∗(R) градуированно коммутативная [3]; кроме того, -произведение на HH∗(R) совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре n 0ExtnΛ(R, R) Λ-модуля R [4, с

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Генералов, Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. I: обоб- щенные группы кватернионов, Алгебра и анализ, 2006, том 18, выпуск 1, 55–107

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:19:45

Том 18 (2006), №1

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АЛГЕБР КВАТЕРНИОННОГО ТИПА.

I: ОБОБЩЕННЫЕ ГРУППЫ КВАТЕРНИОНОВ

c А. И. ГЕНЕРАЛОВ

Дается описание в терминах образующих и определяющих соотношений алгебры когомологий Хохшильда для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа. В качестве следствия получено описание алгебры когомологий Хохшильда для групповых алгебр обобщенных групп ква- тернионов над алгебраически замкнутым полем характеристики 2.

Введение

Пусть R — конечномерная алгебра над полем K,Λ =R^e=R⊗KR^op — ее обертывающая алгебра,HHⁿ(R) = Extⁿ_Λ(R, R)—n-я группа когомологий Хохшильда алгебры R (с коэффициентами в R-бимодуле R). На линейном пространстве

HH^∗(R) =

n 0HHⁿ(R) =

n 0Extⁿ_Λ(R, R)

можно ввести-произведение, относительно которого оно становится ассо- циативной K-алгеброй [1, §5; 2, гл. XI; 3]; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда. Алгебра HH^∗(R) градуированно коммутативная [3]; кроме того, -произведение на HH^∗(R) совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре

n 0Extⁿ_Λ(R, R) Λ-модуля R [4, с. 120].

В последние годы наметился прогресс в исследовании мультипликатив- ной структуры алгебры когомологий Хохшильда конечномерных алгебр.

Для коммутативной конечной группы G в работах [5, 6] доказано, что HH^∗(K[G])H^∗(G)⊗KK[G]. В [7] было получено описание алгебры кого- мологий Хохшильда для симметрической группы S3 над полем F3, а также для знакопеременной группы A₄ и для диэдральных 2-групп над полем

Ключевые слова: алгебры кватернионного типа, когомологии Хохшильда, обобщенные группы кватернионов.

55

F2. В [8] алгебра HH^∗(R)описана для случая, когда R — полуцепнаяQF- алгебра, а в [9] для так называемых алгебр Мёбиуса вычислена подалгебра HH^r∗(R), порожденная однородными элементами алгебры HH^∗(R), степени которых кратны r (r — некоторый параметр, связанный с алгеброй Мёби- уса). Отметим также, что для групповых блоков ручного типа представле- ния, имеющих один или три простых модуля, в [10] описана аддитивная структура алгебры HH^∗(R).

В недавней работе автора [11] было получено описание алгебры кого- мологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D(3K) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2. Напомним, что алгеб- ры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов возникли в работах К. Эрдман при классификации групповых блоков, имеющих руч- ной тип представления [12]. Полученное нами описание алгебры HH^∗(R) с использованием результатов [13] было распространено также на алгеб- ры еще трех серий из классификации К. Эрдман, а именно серий D(3A)1, D(3B)1, D(3D)1 (в обозначениях [12]). В частности, это позволило полу- читьописание алгебры когомологий Хохшильда для всех групповых блоков с диэдральной дефектной группой, имеющих три простых модуля.

В настоящей работе мы, используя технику работы [11], вычисляем ал- гебру когомологий Хохшильда для одной из серий локальных алгебр ква- тернионного типа, а именно для той серии, которая содержит групповые алгебры обобщенных групп кватернионов над алгебраически замкнутым полем характеристики 2 [12]. Соответствующий подход применялся ранее к вычислению алгебр Йонеды алгебр диэдрального и полудиэдрального типов [14–19]. Особенностьэтого подхода состоит в том, что опираясь на некоторые эмпирические наблюдения, выдвигается гипотеза о строе- нии минимальных проективных резольвент тех или иных модулей, и после обоснования гипотезы резольвенты используются для вычисления соответ- ствующих алгебр когомологий. Для рассматриваемых здесьлокальных ал- гебр кватернионного типа мы подобным образом построили минимальную Λ-проективную резольвенту модуля R (см. §2). Далее, с использованием полученной резольвенты мы выделяем (конечное) множество образующих для алгебры HH^∗(R) и находим соотношения, которым удовлетворяют эти образующие (см. §3, 4). Оказалось, что минимальная Λ-проективная ре- зольвента бимодуля R имеет период 4, и потому когомологии Хохшиль- да указанных локальных алгебр также периодичны. В [20] предложено описание начального отрезка (содержащего три стрелки) бимодульной ре- зольвенты произвольной алгебры. Однако в применении к рассматривае- мой нами серии алгебр обоснование 4-периодичности резольвенты требует дополнительных усилий (ср. предложение 2.5), и поэтому наше прямое

построение бимодульных резольвент представляется более эффективным.

Отметим также, что аналогичная периодичностьбимодульных резольвент имеет место для самоинъективных алгебр, ассоциированное дерево кото- рых имеет тип An [8, 9].

Для полноты в приложении мы приводим результаты вычисления алгеб- ры Йонеды для рассматриваемых локальных алгебр.

§1. Формулировка основного результата

ПустьK— алгебраически замкнутое поле произвольной характеристики.

Для k ∈N, k 2, определим K-алгебру Rk = KX, Y/I, где I — идеал свободной алгебры KX, Y, порожденный элементами

X²−Y(XY)^k−1, Y²−X(Y X)^k−1, (XY)^k−(Y X)^k, X(Y X)^k. (1.1) Образы элементов X, Y относительно канонического гомоморфизма из KX, Y в Rk обозначаем через x и y соответственно. Алгебра Rk — симметрическая локальная алгебра, имеющая ручной тип представления [12, III.1]; кроме того, в терминах [12, гл. VII] алгебра R_k — это алгебра кватернионного типа. Если G— обобщенная группа кватернионов порядка 2ⁿ (n3) и charK = 2, то групповая алгебра KGизоморфна алгебре R_k, где k= 2ⁿ⁻².

Для описания алгебры когомологий Хохшильда HH^∗(Rk) для алгебр Rk

(k2)мы построим несколько градуированных алгебр. Пусть

X1 ={p1, p2, p₂, p3, u1, u₁, u2, v1, v2, v₂, w, z}. (1.2) На алгебре K[X1] введем градуировку так, что

degp1= degp2= degp₂ = degp3 = 0, degu1= degu₁ = degu2 = 1, degv1= degv2 = degv₂ = 2, deg w= 3,degz= 4.

(1.3) Определим градуированную K-алгебру A1 =K[X1]/I1, где идеал I1 по- рожден следующими элементами:

— степени 0:

p^k₁, p²₂,(p₂)², p₁p₂, p₁p₂, p₂p₂, p²₃, p1p3, p2p3, p₂p3;

(1.4)

— степени 1:

p2u1−p₂u₁, p₂u1−p1u₁, p1u1−p2u₁; (1.5) p^k−1₁ u2, p2u2, p₂u2, p3u2, p2u1−p^k−2₁ u2; (1.6)

— степени 2:

p^k−1₁ v1, p2v2, p₂v₂, p3v1, p3v2, p3v₂, p2v1−p1v₂, p2v1−p₂v2, p2v1−p3u²₁, p₂v₁−p₁v₂, p₂v₁−p₂v₂, p₂v₁−p₃(u₁)²,

u1u₁−kp^k−2₁ v1;

⎫⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭ (1.7)

u²₂, u₁u₂−kp₃(u₁)², u₁u₂−kp₃u²₁; (1.8)

— степени 3:

u₁v₂−u₁v₂, u₁v₁−u₁v₂, u₁v₁−u₁v₂, u³₁−(u₁)³; (1.9) p2w, p₂w, p3w, u₁v2−p^k−2₁ w; (1.10) u2v2, u2v₂, u2v1−p1w; (1.11)

— степени 4:

v₂², (v₂)², v1v2, v1v₂, v2v₂, v₁²−p²₁z; (1.12) u1w, u₁w, u2w; (1.13)

— степени 5:

v2w, v₂w, v1w+p1u2z; (1.14)

— степени 6:

w². (1.15)

Кроме того, на алгебре A1 вводится градуировка, индуцированная градуи- ровкой K[X1].

Далее, рассмотрим алгебру A2 =K[X2]/I2,где

X2 =X1\ {u2, w}, (1.16) а X1 из (1.2), градуировка на K[X2]вводится с помощью ограничения гра- дуировки с K[X1] (см. (1.3)), и идеал I₂ порожден образующими идеала I1 из (1.4) при k = 2, из (1.5), (1.7) при k = 2, из (1.9) и (1.12). В си- лу однородности идеала I2 алгебра A2 наследует градуировку с алгебры K[X2].

Теперьрассмотрим множество

X3 ={p1, p₂, p₂, u₂, u₃, v₀, v₀, v₁, w, z}. (1.17) На алгебре KX3 введем градуировку так, что

degp1= degp2= degp₂ = 0, degu2 = degu3= 1, degv0= degv₀ = degv1 = 2, deg w= 3, degz= 4.

(1.18) Определим градуированную K-алгебру A3 = KX3/I3, где идеал I3 по- рожден следующими элементами:

— степени 0:

p^k+1₁ , p²₂, (p₂)², p1p2, p1p₂, p2p₂; (1.19)

— степени 1:

p^k−1₁ u2, p2u2, p₂u2; (1.20)

p₁u₃; (1.21)

— степени 2:

p1v0, p1v₀, p2v0, p₂v₀, p2v1, p₂v1, p^k−1₁ v1; (1.22) p2v₀ +p₂v0; (1.23)

— степени 3:

u₂v₀, u₂v₀, (1.24) p2w, p₂w, u2v1−p1w; (1.25) u3v1, p₂u3v0−p^k−1₁ w; (1.26)

— степени 4:

v₀v₀, v₀v₁, v₀v₁, v₀²−2p₂z, (v₀)²−2p₂z, v₁²+p²₁z, (1.27)

u2w, p^k₁z; (1.28)

u₃w; (1.29)

— степени 5:

v₀w, v₀w, v₁w+p₁u₂z; (1.30) а также элементами вида

ab−(−1)^degadegbba для всех a, b∈ X3. (1.31) В силу однородности идеала I3 алгебра A3 наследует градуировку с алгеб- ры KX3.

Далее, пусть

X4=

X3\ {u2, u3, w}

∪ {u1,u₁,w}. (1.32) На алгебре KX4 введем градуировку так, что для элементов множества X3\ {u2, u3, w} выполняются соотношения из (1.18) и, кроме того,

degu1 = degu₁ = 1, degw= 3.

Определим градуированную K-алгебру A4 = KX4/I4, где идеал I4 по- рожден образующими идеала I3 из (1.19), (1.22), (1.27), элементами

p^k₁u1, p^k₁u₁, p2u1, p₂u₁;

u1u₁, p₂v0+p2v₀ −p^k−1₁ ;

u₁v₀, u₁v₀, p₂w, p ₂w, u₁v₁−u₁v₁, p₁w−2u₁v₁;

u1w, u₁w, v 0w, v ₀w, а также элементами вида

ab−(−1)^degadegbba для всех a, b∈ X4.

В силу однородности идеала I4 алгебра A4 наследует градуировку с алгеб- ры KX4.

Теперьрассмотрим множество

X5 ={p1, p2, p₂, u2, u4, u₄, v0, v₀, v1, w1, w₁, w, z}. (1.33) На алгебре KX5 введем градуировку так, что

degp1 = degp2 = degp₂= 0, deg u2= degu4= degu₄= 1, degv0 = degv₀ = degv1= 2, degw1= degw₁ = degw= 3, degz= 4.

⎫⎪

⎬

⎪⎭ (1.34) Определим градуированную K-алгебру A5 = KX5/I5, где идеал I₅ по- рожден элементами вида (1.19), (1.20), (1.22), (1.24), (1.25), (1.27), (1.28), (1.30), элементами

p1u4, p1u₄, p2u4, p2u₄, p₂u4, p₂u₄, p2v₀, p₂v0, u2u4, u2u₄, u4u₄, p2w1, p₂w₁, p1w1, p1w₁,

u4v₀, u₄v0, u4v1, u₁v1,

p₂w1−p2w₁, p₂w1−u4v0, p₂w1−u₄v₀, u2w1, u2w₁, u4w1, u4w₁, u₄w1, u₄w₁,

v0w₁, v₀w1, v1w1, v1w₁, v0w1−2u4z, v₀w₁−2u₄z, w1w₁,

⎫⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎭

(1.35)

p₂w1−p^k−1₁ w, u4w, u₄w, w1w, w₁w и, наконец, элементами вида

ab−(−1)^degadegbba для всех a, b∈ X5.

В силу однородности идеала I5 алгебра A5 наследует градуировку с алгеб- ры KX5.

Далее, рассмотрим множество X6 =

X5\ {w}

∪ {w} (1.36)

и на алгебре KX6 введем градуировку так, что для элементов множества X5\ {w}выполняются соотношения из (1.34), а также

degw= 3.

Определим градуированнуюK-алгебру A6=KX6/I6, где идеалI₆ порож- ден элементами вида (1.19), (1.20), (1.22), (1.24), (1.27), (1.35), элементами

p2w, p ₂w, p 2w1− ¹₂p^k₁w, u 2v1−¹₂p²₁w, u2w, u 4w, u ₄w, ww 1, ww ₁ и, наконец, элементами вида

ab−(−1)^degadegbba для всех a, b∈ X6.

Алгебра A6 наследует естественную градуировку с алгебры KX6. Наконец, рассмотрим множество

X7=

X5\ {u2, u₄, u₄, w₁, w₁, w}

∪ {u₃} (1.37) и на алгебре KX7 введем градуировку так, что для элементов множества X7\ {u3} выполняются соотношения из (1.34), а также

degu₃ = 1.

Определим градуированную K-алгебру A7 = KX7/I7, где идеал I7 по- рожден элементами вида (1.19), (1.22), (1.27), элементами

p^k₁u3, p2v₀ −p₂v0, p^k₁z и, наконец, элементами вида

ab−(−1)^degadegbba для всех a, b∈ X7.

Алгебра A7 наследует естественную градуировку с алгебры KX7. Теорема 1.1. Пусть R=R_k, k∈N\ {1}, p= charK.

1) Пусть p= 2.

1а) Если, кроме того, k3, то алгебра когомологий Хохшильда HH^∗(R) как градуированная K-алгебра изоморфна алгебре A1.

1б) Если k= 2, то HH^∗(R) A2 как градуированные K-алгебры.

2) Пусть p= 3.

2а) Если, кроме того, 3 не делит k, то HH^∗(R) A3 как граду- ированные K-алгебры.

2б) Если же 3 делит k, то HH^∗(R) A4 как градуированные K-алгебры.

3) Пусть p∈ {2,3}.

3а) Если при этом p не делит ни 3−2k, ни k, то HH^∗(R) A5

как градуированные K-алгебры.

3б) Если p не делит 3−2k и делит k, то HH^∗(R) A6 как градуированные K-алгебры.

3в) Если жеpделит 3−2k, тоHH^∗(R) A7 как градуированные K-алгебры.

Из этого описания алгебры когомологий Хохшильда немедленно вытека- ет следующее утверждение.

Следствие 1.2. ПустьG— обобщенная группа кватернионов порядка2ⁿ (n 3), K — алгебраически замкнутое поле характеристики 2. Тогда (приk= 2ⁿ⁻²)

HH^∗(KG)

A1, если n >3, A2, если n= 3.

В процессе доказательства теоремы 1.1 мы вычисляем также размерности групп HHⁿ(R). Соответствующие результаты представляют самостоятель- ный интерес, и мы их объединим в следующем утверждении.

Предложение 1.3. ПустьR =Rk. 1) Еслиp= 2, то

dimKHHⁿ(R) =

k+ 3, еслиn≡0,3 (mod 4), k+ 5, еслиn≡1,2 (mod 4).

2) Пусть p= 3.

2а) Если, кроме того, 3не делит k, то dimKHHⁿ(R) =

k+ 3, еслиn= 0, k+ 2, еслиn >0.

2б) Если же 3делитk, тоdimKHHⁿ(R) =k+3для любогоn0.

3) Пусть p∈ {2,3}.

3а) Если, кроме того, pне делит ни 3−2k, ни k, то dimKHHⁿ(R) =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

k+ 3, еслиn= 0,

k+ 1, еслиn≡1,2 (mod 4),

k+ 2, еслиn >0 иn≡0,3 (mod 4).

3б) Если p не делит 3−2k, но делит k, то dimKHHⁿ(R) =

k+ 3, еслиn≡0,3 (mod 4), k+ 1, еслиn≡1,2 (mod 4).

3в) Если p делит 3−2k, то dimKHHⁿ(R) =

k+ 3, еслиn= 0, k+ 2, еслиn >0.

Замечание 1.4. Для случая charK= 2 предложение 1.3, п. 1) распростра- няет на всю серию алгебр Rk соответствующий результат для групповых алгебр обобщенных групп кватернионов, полученный в [10].

§2. Резольвента

Пусть R =Rk (k 2). Алгебра R допускает в качестве K-базиса мно- жество

Bst={(xy)ⁱ|0ik−1} ∪ {(yx)ⁱ |1ik},

состоящее из всех ненулевых путей колчана алгебры R (он состоит из одной вершины и двух петель x и y). Назовем Bst стандартным базисом алгебры R. В свою очередьобертывающая алгебра Λ алгебры R допускает K-базис, состоящий из элементов вида

u⊗v, где u, v∈ Bst. (2.1) Этот базис алгебры Λ также назовем стандартным. Введем на Λ сле- дующую градуировку: для элемента вида (2.1) его степень — это сумма длин путей u и v, и тогда Λ =

n 0Λn, где Λn — K-подпространство, порожденное элементами вида (2.1) степени n.

Умножение справа на элемент λ∈Λ индуцирует эндоморфизм λ^∗ левого Λ-модуля Λ; в дальнейшем ради простоты мы будем часто этот эндомор- физм обозначатьтакже через λ. Иногда мы будем рассматриватьэндомо- физм правого Λ-модуля Λ, индуцированный умножением слева на λ. Этот эндоморфизм будем обозначатьчерез ^∗λ.

Построим следующую 4-периодическую последовательность в категории Λ-модулей

Q₀←−^d0 Q₁ ←−^d1 Q₂←−^d2 Q₃ ←−^d3 . . . , (2.2) в которой Q0=Q3 = Λ,Q1 =Q2= Λ²,

d₀=

x⊗1−1⊗x, y⊗1−1⊗y ,

d1=

x⊗1 + 1⊗x−^k−2

i=0

(yx)ⁱy⊗y(xy)^k−2−i −^k−1

i=0

(xy)ⁱ⊗(yx)^k−1−i

−

k−1

i=0

(yx)ⁱ⊗(xy)^k−1−i y⊗1 + 1⊗y−

k−2

i=0

(xy)ⁱx⊗x(yx)^k−2−i

,

(2.3)

d₂ =

x⊗1−1⊗x y⊗1−1⊗y

,

d3 =g^∗, гдеg= (x⊗1 + 1⊗x)· k−1

i=0

(yx)ⁱ⊗(xy)^k−1−i·(y⊗1 + 1⊗y), (2.4) а для 0j3 иl∈N

Q4l+j =Qj, d4l+j =dj.

Рассмотрим также гомоморфизм μ: Q0 = Λ → R, индуцированный умно- жением в R:μ(a⊗b) =ab.

Теорема 2.1. Последовательность(2.2) вместе с пополняющим отобра- жениемμ представляет собой минимальную Λ-проективную резольвен- ту модуляR;в частности,Λ-модульR Ω-периодичен с периодом 4, т.е.

Ω⁴(ΛR)ΛR.

Замечание 2.2. Описание модулей Q_j из резольвенты (2.2) можно было бы вывести с помощью леммы Хаппеля [22] (см. также уточнение в [23]) из строения минимальной проективной резольвенты (единственного) прос- того R-модуля, которая приводится ниже в приложении. Однако мы это получаем непосредственно в процессе доказательства теоремы 2.1.

Замечание 2.3. То, что (2.2) является дифференциальной последователь- ностью, устанавливается с помощью прямых вычислений. Отметим, что при проверке того, что d2d3 = 0 = d3d4, можно использовать следующее соотношение:

g= (y⊗1 + 1⊗y)· k−1

i=0

(xy)ⁱ⊗(yx)^k−1−i·(x⊗1 + 1⊗x).

Далее, точностьв члене Q₀, т.е. что Kerμ= Imd₀, — это хорошо извест- ный факт (см., например, [21, предложение 2.1]).

Точностьв члене Q₁ мы получим, доказав следующую лемму.

Лемма 2.4. Kerd0 ⊂Imd1.

Доказательство. Пусть s= (q,q)∈Kerd0⊂Q1 = Λ², т.е.

q·(x⊗1−1⊗x) +q·(y⊗1−1⊗y) = 0. (2.5) Пусть q^(t) и q^(t) — однородные компоненты степени t (0 t 4k) в q и

q соответственно. Из (2.5) легко следует, что q⁽⁰⁾ = 0 = q⁽⁰⁾. Далее, фик- сируем tтакое, что однородные компоненты в q и qстепени i равны нулю для всех i < t. Мы будем последовательно изменять s, прибавляя к нему элементы изImd1 так, чтобы получитьэлемент, у которого все однородные

компоненты степеней itбыли равны нулю. Тогда после конечного числа шагов мы от первоначального s∈Kerd0 придем к нулевому элементу, что и завершит доказательство включения Kerd0 ⊂Imd1.

Введем дополнительные обозначения, а именно через h1 (соответственно h2) обозначим первый (соответственно второй) столбец матрицы диффе- ренциала d1, рассматриваемый как элемент изImd1 ⊂Q1.

Шаг 1. Рассмотрим сначала случай, когда t = 2+ 1, где 0 k−2.

Представим однородные компоненты q^(t) и q^(t) в виде линейных комбина- ций стандартных базисных элементов из Λ (с коэффициентами αi, . . ., fi,

α_i, . . .,f_i из K):

q^(t)= i=0

α_i(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ+ i=0

β_i(xy)ⁱ⊗y(xy)⁻ⁱ

+

i=1

γ_i(yx)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ+

i=1

ϕ_i(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻ⁱ

+

i=0

a_ix(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ+ −1

i=0

b_ix(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ

+

i=0

ciy(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ+ −1

i=1

fiy(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ, (2.6)

q^(t)=

i=0

α_i(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻ⁱ+

i=0

β_i(yx)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ

+

i=1

γ_i(xy)ⁱ⊗y(xy)⁻ⁱ+

i=1

ϕ_i(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ

+

i=0

a_iy(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+ −1

i=0

b_iy(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ

+

i=0

c_ix(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+ −1

i=1

f_ix(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ. (2.7)

Полезно заметить , что форма записи для q^(t) соответствует записи q^(t) в силу очевидной симметрии: x→y, y→x. Подстановка (2.6) и (2.7) в (2.5) приводит к следующим уравнениям относительно скалярных коэффициен- тов из (2.6) и (2.7) (для удобства читателя мы указываем в скобках, при

каких элементах стандартного базиса R сравниваются соответствующие скаляры):

αi =bi для 0i−1

(xy)ⁱx⊗(xy)⁻ⁱx

; (2.8)

α =a

(xy)x⊗x

; (2.9)

βi =fi для 0i−1

(xy)ⁱx⊗(yx)⁻ⁱy

; (2.10)

βi =f_i−1 для 1i

(xy)ⁱ⊗(xy)⁺¹⁻ⁱ

; (2.11)

ϕ_i =c_i−1 для 1i

(yx)ⁱ⊗(xy)^l+1−i

; (2.12)

c =β

(yx)y⊗x

;

c = 0

(yx)⁺¹⊗1

;

β0 = 0

1⊗(xy)⁺¹

. (2.13)

Ввиду отмеченной выше симметрии получаем также следующие уравнения (здесьмы не будем указыватьсоответствующие базисные векторы):

α_i =b_i(0i−1); α =a; β_i=f_i(0i−1);

β_i=f_i−1(1i); ϕ_i=c_i−1(1i); c =β = 0; β₀ = 0.

Из соотношений (2.10), (2.11) и (2.13) следует, что

0 =β0 =f0 =β1 =f1 =β2 =· · ·=f₋₁ =β. Поскольку ввиду (2.8) для 0i−1 имеем

α_i(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ+b_ix(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ =α_i(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ·(1⊗x+x⊗1), (2.14) то, заменяя sна

s = (q,q) :=s−⁻¹

i=0

αi(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ·h1, (2.15) мы получим элемент, для которого соответствующая однородная компонен- та q^(t) в q степениt не содержит ненулевых слагаемых вида

−1 i=0

α_i(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ+ −1 i=0

b_ix(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ,

где α_i, b_i ∈ K. Кроме того, при такой замене в q и q изменяются до- полнительно лишь некоторые однородные компоненты степеней, большихt.

Таким образом, можно считать, что уже в исходном элементе s имеем αi= 0 =bi для 0i−1.

Далее, так как

ϕi(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻ⁱ+c_i−1y(xy)ⁱ⁻¹⊗(xy)⁺¹⁻ⁱ

=ϕiy(xy)ⁱ⁻¹⊗y(xy)⁻ⁱ·(x⊗1 + 1⊗x), (2.16) γi(yx)ⁱ⊗x(yx)⁻ⁱ=γi(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ·(x⊗1 + 1⊗x), (2.17) где 1i,

aix(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ=ai(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ·(x⊗1 + 1⊗x), (2.18) где 0i−1,

α(xy)⊗x+ax(yx)⊗1 =α(xy)⊗1·(x⊗1 + 1⊗x), (2.19) то, изменяяsc помощью подходящего кратного столбцаh1, как в предыду- щем рассуждении (ср. (2.15)), мы приходим к новому элементу, у которого в разложении компоненты степени t, аналогичном (2.6), все коэффициенты нулевые. Поэтому мы можем предположить, что с самого начала в sимеем q^(t) = 0. По симметрии можем считать, что и q^(t) = 0 (отметим, что для обоснования этого проводятся рассуждения, аналогичные предыдущим, в которых вместо столбцаh₁ используется столбец h₂).

Шаг 2. Теперьпредположим, чтоt= 2, где 1k−1. Тогда

q^(t)= i=0

αi(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ+ −1 i=0

βi(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ

+ i=1

γi(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ+ −1 i=1

ϕi(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ

+ −1 i=0

aix(yx)ⁱ⊗x(yx)⁻¹⁻ⁱ+ −1 i=0

bix(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ

+ −1 i=0

ciy(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻¹⁻ⁱ+ −1

i=0

fiy(xy)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ, (2.20)

q^(t)=

i=0

α_i(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+ −1

i=0

β_i(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ

+ i=1

γi(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+ −1

i=1

ϕi(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ

+ −1 i=0

aiy(xy)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ+ −1 i=0

biy(xy)ⁱ⊗x(yx)⁻¹⁻ⁱ

+ −1 i=0

cix(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ+ −1 i=0

fix(yx)ⁱ⊗x(yx)⁻¹⁻ⁱ. (2.21)

где αi, . . ., fi,αi, . . .,fi ∈K. Как и на шаге 1, обозначения в (2.20) и (2.21) используют указанную ранее симметрию. Подставляя (2.20) и (2.21) в (2.5), получаем следующие уравнения (вновьмы указываем соответствующие ба- зисные элементы):

αi =bi для 0i−1

(xy)ⁱx⊗(xy)⁻ⁱ

;

α =f₋₁

(xy)⊗x

; βi =fi для 0i−1

(xy)ⁱx⊗(yx)⁻ⁱ

; (2.22) βi =f_i−1 для 1i−1

(xy)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱx

; (2.23) ϕi =c_i−1 для 1i−1

(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱx

;

γ =c₋₁

(yx)⊗x

;

β0 = 0

1⊗(xy)x

; (2.24)

α = 0

(xy)x⊗1 . Из соотношений (2.22)–(2.24) следует, что

0 =β0=f0=β1 =f1=. . .f₋₂ =β₋₁ =f₋₁. Так как

αi(xy)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+bix(yx)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ =αi(xy)ⁱ⊗y(xy)⁻¹⁻ⁱ·(1⊗x+x⊗1) при0i−1,

ϕi(yx)ⁱ⊗(yx)⁻ⁱ+c_i−1y(xy)ⁱ⁻¹⊗x(yx)⁻ⁱ

=ϕiy(xy)ⁱ⁻¹⊗(yx)⁻ⁱ·(x⊗1 + 1⊗x), γ_i(yx)ⁱ⊗(xy)⁻ⁱ =γ_i(yx)ⁱ⁻¹y⊗(xy)⁻ⁱ·(x⊗1 + 1⊗x)